专题01小船渡河模型与速度关联问题

专题01小船渡河模型与速度关联问题内容概览TOC\o"13"\h\u模型一：小船渡河模型 1题型1：最短过河时间问题 1题型2：最短过河位移问题 3题型3：小船过河模型在其他运动中的应用 6模型二：速度关联问题 8题型1：杆连接物体的运动分析 9题型2：斜牵引运动中的受力分析 11题型3：斜牵引运动的运动分析 14自测专用 16模型一：小船渡河模型船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度).三种情景（1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝eq\f(d,v1)(d为河宽).（2）过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cosα＝eq\f(v2,v1).（3）过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图8所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.由图可知：cosα＝eq\f(v1,v2)，最短航程：s短＝eq\f(d,cosα)＝eq\f(v2,v1)d.题型1：最短过河时间问题【典例1】（2024上·湖北·高一校联考期末）2023年武汉市举办了第48届7•16武汉国际渡江节，比赛前某运动员热身时游过一段宽的河道，河水的流速与离河岸的距离d变化的关系如图所示，运动员在静水中的速度为，若运动员以最短的时间渡河，则（

）A．运动员在渡河过程中，的方向应与上游河岸成45°角B．运动员运动的轨迹是直线C．运动员渡河的最短时间是D．运动员在河水中的最大速度是【答案】D【详解】AC．运动员以最短的时间渡河，可知运动员在渡河过程中，的方向垂直河岸，运动员渡河的最短时间为，故AC错误；BD．运动员在渡河过程中，垂直于河岸方向做匀速直线运动，沿河岸方向做变速直线运动，则运动员的合运动为曲线运动，运动员运动的轨迹是曲线，运动员在河水中的最大速度为，故B错误，D正确。故选D。【变式11】（2022下·全国·高一校联考期末）一小船要渡过两岸平行的河，第一次以最短的时间过河，第二次以最短的航程过河，第一次和第二次航程之比为。设船在静水中的速度大小为，水流的速度大小为，且。则为（）A．k B． C． D．【答案】B【详解】设河宽为d，渡河时间最短时，船的航向垂直河岸，航程为由于水流速度大于船在静水中的速度，所以最短的航程为由题意可知，，联立解得，故选B。【变式12】（多选）（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）小船要渡过200m宽的河面，水流速度是4m/s，船在静水中的航速是5m/s，则下列说法正确的是（）A．船头指向即船的实际航线，也就是合速度方向B．由于水流速度小，小船过河的最短位移为200mC．小船过河所需的最短时间是50sD．如果水流速度增大为6m/s，小船过河所需的最短时间不变【答案】BD【详解】A．在静水中船头指向只是船速方向，不是船的实际航线，合速度方向是船的实际航线方向，故A错误；B．由于水流速度小，小船可以垂直过河，所以最短位移等于200m，故B正确；C．船头垂直于河岸时渡河时间最短，小船过河所需的最短时间为故C错误；D．船渡河的最短时间是由船速决定的，与水流速度无关，则如果水流速度增大，小船过河所需的最短时间不变，故D正确。故选BD。题型2：最短过河位移问题【典例2】（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）一小船在静水中的速度为，它在一条河宽、水流速度为的河流中渡河，则下列说法正确的是（）A．小船不可能到达正对岸 B．若船头始终朝向正对岸，小船的轨迹是曲线C．小船渡河的最短时间为10s D．以最短位移渡河时，渡河时间为10s【答案】C【详解】AD．根据题意可知，船在静水中的速度大于水流速度，通过调整船头方向，小船可以到达正对岸，此时小船渡河位移最短为，由几何关系可得，小船的渡河时的合速度为渡河时间为，故AD错误；B．若船头始终朝向正对岸，小船渡河过程中，沿河岸做匀速直线运动，同时垂直河岸也做匀速直线运动，则合运动为匀速直线运动，小船在河水中航行的轨迹是一条直线，故B错误；C．当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短的时间为，故C正确。故选C。【变式21】（2024上·江苏南通·高一统考期末）在静水中速度为的小船，为垂直渡过宽度为d的河流，船头与河岸成θ角斜向上游，如图甲所示。航行中发现河水流速与河岸间距离x的关系如图乙所示，为使小船仍能到达正对岸，下列措施中可行的是（）A．保持船头方向不变，先增大后变小 B．保持船头方向不变，先变小后增大C．保持船速大小不变，θ先增大后减小 D．保持船速大小不变，θ一直减小【答案】A【详解】AB．航行中发现河水流速先增大后减小，为使小船仍能到达正对岸，即合速度方向指向正对岸，根据平行四边形定则，如图，可以保持船头方向不变，先增大后变小，故A正确，B错误；CD．为使小船仍能到达正对岸，即船在水平方向的分速度和水的速度大小相同，即船与河岸的夹角可以先变小后变大，故CD错误。故选A。【变式22】（2024上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考期末）小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，出发后10min到达对岸下游120m处；当船头保持与上游河岸成角航行，出发后12.5min到达正对岸，水流速度保持不变，下列说法正确的是（）A．水流的速度大小为 B．C．小船在静水中的速度大小为 D．河的宽度为200m【答案】D【详解】A.船头垂直对岸方向航行时，如图所示由，得水流的速度大小为，A错误；BCD．船头保持与河岸成角航行时，如图乙所示可知，，由图甲可得，，联立解得，，，，故BC错误，D正确。故选D。题型3：小船过河模型在其他运动中的应用【典例3】（2023下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）调整跑步机使跑带水平，将一标尺垂直两侧踏板放置，处于静止状态。跑步机模式选择“慢跑”，跑带以运行。将一玩具小车的速率调至，然后将玩具小车的车头与水平线成角放到跑带的一侧，如图所示。若玩具小车始终能平行于标尺前进，则下列判断正确的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】如图所示，若玩具小车始终能平行于标尺前进则平行于标尺，由平行四边形定则知，，代入选项数据，D选项符合题意；故选D。【变式31】（2023下·安徽安庆·高一校联考期中）有一只小青蛙要穿过一条宽为的小河到对岸寻找食物。已知两侧河岸平行，河水流动的速度为，小青蛙没有采用跳跃方式，而是采用游泳方式过河。小青蛙在静止水面上最大的游动速度为，下列说法正确的是（）A．若小青蛙以最短时间渡河，到达河对岸时在出发点的下游处B．若小青蛙以最短时间渡河，其到达对岸的最短的运动时间为C．若小青蛙以最短时间渡河，小青蛙在水中运动的轨迹是一条曲线D．小青蛙不管如何渡河，都不能垂直游到河对岸【答案】B【详解】AB．根据题意可知，当青蛙垂直河岸游动时，在水中运动时间最短，最短时间为到达河对岸时在出发点的下游位置为，故A错误，B正确；C．若青蛙以最短时间渡河，青蛙保持匀速运动，水流也是以恒定速度流动，则合加速度为匀速直线运动，则青蛙在水中运动的轨迹是一条直线，故C错误；D．由于水流速度小于青蛙在相对于水的运动速度，则青蛙可以垂直游到河对岸，故D错误。故选B。【变式32】（多选）（2024上·河北衡水·高一河北衡水中学校考期末）骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，如图甲所示，选手骑马沿如图乙所示直线匀速前进，速度大小为，运动员静止时射出的箭速度大小为，且有，靶中心P到的距离为d，垂足为D，忽略箭在竖直方向的运动，下列说法正确的是（）A．为保证箭能命中靶心，选手应瞄准靶心放箭B．为保证箭能命中靶心，选手必须在到达D点之前某处把箭射出C．为保证箭能命中靶心，且运动时间最短，箭射中靶心的最短时间为D．为保证箭能命中靶心，且运动位移最短，箭射中靶心的时间为【答案】CD【详解】A．箭射出的同时，箭也要参与沿直线方向的匀速运动，若运动员瞄准靶心放箭，根据矢量合成可知，箭的合速度方向不会指向靶心，即箭不能命中靶心，故A错误；B．箭射出的同时，箭有沿直线匀速前进的速度和沿射出方向的匀速运动的速度，根据运动的合成可知，只要箭的合速度方向指向P点，均能射中靶心，由于大于，根据矢量合成规律，可知，选手在到达D点之后某处把箭射出，也可能使箭的合速度方向指向P点，即不一定必须在到达D点之前某处把箭射出，故B错误；C．根据分运动的独立性与等时性可知，当箭垂直直线方向射出时用时最短，则箭运动的最短时间为，故C正确；D．由于大于，可知，当箭的实际位移垂直直线时位移最短，最短位移大小为d，此时的时间为，故D正确。故选CD。模型二：速度关联问题1.模型特点沿绳(杆)方向的速度分量大小相等.2.思路与方法合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v分速度→eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(其一：沿绳杆的速度v1,其二：与绳杆垂直的分速度v2))方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则.3.解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图所示.题型1：杆连接物体的运动分析【典例4】（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考期中）如图所示。AB杆和墙的夹角为a时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则下列关系正确的是（）A．v1=v2B．v1=v2cosa C．v1=v2tana D．v1=v2sina【答案】C【详解】将A点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度为将B点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度为由于，解得故选C。【变式41】（2023下·广西柳州·高一校考期中）2021年3月11日宁夏银川，一家餐厅后厨起火后，三名顾客被困。如图是火警设计的一种快捷让当事人逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高h，当时，则此时被救人员向B点运动的速率是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设杆与水平面CD的夹角为，由几何关系可知，，即将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度和垂直杆转动的速度，由矢量三角形可知，而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为。故选C。【变式42】（2023下·江苏常州·高一统考期中）如图所示，一轻杆的下端连接在O点的光滑铰链上，上端固定一光滑小球Q，光滑水平地面上有一与小球质量相等的立方体P，小球Q靠在P的左侧面上，撤去F，当轻杆与地面的夹角为θ时，P和Q尚未分离，此时P和Q的动能之比为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可知，小球Q做圆周运动，设其速度为v，该速度在水平方向的分速度为，可知立方体P的水平速度大小是，则有此时P和Q的动能之比为，

ABD错误，C正确。故选C。题型2：斜牵引运动中的受力分析【典例5】（2023上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，重力加速度为g，货车前进了一小段距离，将货物提升到如图所示的位置，此过程中下列说法正确的是（）A．此过程中货物对货箱底部的压力在变小 B．此时货箱向上运动的速率大于vC．此时货箱向上运动的速率等于 D．此过程中缆绳中的拉力大于并在变大【答案】A【详解】BC．将货车的速度进行正交分解，如图所示由于绳子不可伸长，货箱和货物整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，故货箱向上运动的速率为，可知此时货箱向上运动的速率小于v，故BC错误；A．由于逐渐减小，货箱与货物的速度逐渐趋近于货车的速度，即加速度逐渐趋近于零，即加速度逐渐减小，对货物，根据牛顿第二定律有，可知此过程中货箱底部对货物的支持力逐渐减小，根据牛顿第三定律，货物对货箱底部的压力逐渐减小，故A正确；D．对货箱与货物，根据牛顿第二定律有，此过程中缆绳中的拉力大于并在变小，故D错误。故选A。【变式51】（多选）（2023上·江苏扬州·高一校考）如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦和绳子质量，与水平面的夹角为时，下列说法正确的是（）A．物体A在匀速上升 B．物体A的速度大小为C．物体A的速度大小为 D．绳子对物体A的拉力大于物体A的重力【答案】BD【详解】将车的速度分解如图则物体A的速度等于车沿沿绳子方向的分速度，为小车匀速向右运动时，θ减小，则A速度增大，所以A加速上升，加速度方向向上，所以A的合力向上，故绳子对物体A的拉力大于物体A的重力。故选BD。【变式52】（多选）（2023下·福建泉州·高一晋江市第一中学校考期中）如图所示，一段绳子跨过距地面高度为H的两个定滑轮，绳子一端连接小车P，另一端连接物块Q，当小车P向左行驶并带动物块Q匀速上升，下列说法正确的是（

）A．小车P做匀速运动 B．小车P做减速运动C．绳子对物块Q的拉力大小不变 D．小车P对地面的压力逐渐减小【答案】BC【详解】AB．将小车P的速度分解到沿绳子方向和垂直于绳子方向，如下图所示小车P沿绳子方向的分速度与物块Q的速度大小相等，则有小车P向左行驶并带动物块Q匀速上升，即大小不变，变小，则变小，所以小车P做减速运动，故A错误，B正确；C．物块Q匀速上升，则绳子对物块Q的拉力大小等于物块Q的重力大小保持不变，故C正确；D．设绳子拉力为T，对小车P分析，在竖直方向上则有，物块Q匀速上升，绳子拉力T大小不变，逐渐变小，则地面对小车的支持力逐渐变大，所以小车P对地面的压力逐渐变大，故D错误。故选BC。题型3：斜牵引运动的运动分析【典例6】（2023下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）如图所示，水平地面上做匀加速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体。若某一时刻汽车的速度大小为，汽车与定滑轮之间的绳子与水平方向的夹角为，则（）A．物体做匀速运动 B．物体做减速运动C．物体此时的速度大小 D．物体此时的速度大小【答案】C【详解】绳子末端的速度可分解为沿绳方向和垂直于绳方向的两个速度，而物体的速度大小与沿着绳子方向的分速度大小相等，由几何关系有，2因汽车做匀加速直线运动，均匀增大，汽车向左运动的过程中，θ逐渐减小，cosθ增大，逐渐增大，即物体做加速运动。故选C。【变式61】（2023上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）如图所示，一质量为2m的小球（视为质点）套在光滑水平杆上，通过不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮连接质量为m的物块，设轻绳与杆的夹角为，现从图示位置将小球静止释放，当小球到达图中竖直虚线位置时速率为v，物块尚未落地。重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（）A．当时，物块的速率也为vB．当时，物块处于失重状态C．小球到达虚线位置之前，小球向右先加速后减速D．小球到达虚线位置之前，轻绳的拉力先小于mg后大于mg【答案】D【详解】ABD．设物块和小球的速度大小分别为和，将物块的速度沿绳方向与垂直于绳方向分解，则有故当时，物块的速率为零，可知小球到达虚线位置之前，物块向下先做加速运动后做减速运动，轻绳的拉力先小于mg后大于mg，当时，物块处于超重状态，故AB错误，D正确；C．小球到达虚线位置之前，，只有轻绳对小球做功且一直做正功，根据动能定理可知，小球的速度一直增大，小球一直向右做加速运动，故C错误。故选D。【变式62】（2023上·云南·高一校联考期末）有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物块A和B，它们通过一根绕过光滑定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，轻绳始终处于紧绷状态，物块A向右运动。如图所示，当绳与轨道成30°角时，物块A和B的速度大小之比为（

）A．1:1 B．1:2 C． D．【答案】C【详解】将B的速度分解，如图所示，则有，，解得故选C。自测专用1．（2023上·辽宁抚顺·高一校联考期末）1935年5月，红军为突破“围剩”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽，水流速度，木船相对静水速度，则突击队渡河所需的最短时间为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据分运动的独立性与等时性可知，当船头指向垂直于河岸时，渡河时间最短，可知，最短时间为故选C。2．（2023上·吉林·高一校联考期末）在静水中的速度大小不变、方向可变的某艘小船渡过一条宽为40m、方向平行于河岸的、水流速度为1.5m/s的河，用时最短为20s，则下列说法正确的是（）A．小船在静水中的速度大小为2m/sB．小船以最短时间渡河时的合速度大小为2m/sC．调整小船渡河时的船头方向，小船的合速度大小可能为4m/sD．小船无论如何调整船头方向，都无法以垂直河岸方向的速度渡河【答案】A【详解】A．小船船头方向垂直河岸过河时，渡河时间最短，由此可知小船在静水中的速度大小故A正确；B．小船以最短时间渡河时的合速度大小为，故B错误；C．根据速度的合成规律可知小船的合速度大小应满足，故C错误；D．由可知，小船适当调整船头方向时能以垂直河岸方向的速度渡河。故D错误。故选A。3．（2023上·辽宁·高一校联考期末）如图，某河流中水流速度大小恒为，A处的下游C处有个漩涡，漩涡与河岸相切于B点，漩涡的半径为r，。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，当小船相对地面的运动轨迹恰好与旋涡边界相切，且小船在静水中的速度v船与其相对地面的速度垂直时，小船在静水中的速度最小由几何关系，，故所以小船相对地面的速度与水平方向的夹角为故故选B。4．（2023下·广东广州·高一统考期末）骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，如图甲所示，选手骑马沿直线匀速前进，速度大小为，运动员静止时射出的箭速度为，靶中心P距为d，垂足为D，如图乙所示。忽略箭在竖直方向的运动，下列说法正确的是（）A．为保证箭能命中靶心，选手应瞄准靶心放箭B．为保证箭能命中靶心，选手必须在到达D点之前某处把箭射出C．为保证箭能命中靶心，且运动时间最短，箭射中靶心的最短时间为D．为保证箭能命中靶心，且运动位移最短，箭射中靶心的最短时间为【答案】C【详解】A．箭射出的同时，箭也要参与沿跑道方向的运动。若运动员瞄准靶心放箭，则箭的合速度不会指向靶心，选项A错误；B．箭参与沿直线匀速前进的速度和沿射出方向的匀速运动的速度，根据运动的合成可知，只要箭的合速度方向指向P点，均能射中靶心，不一定必须在到达D点之前某处把箭射出，选项B错误；CD．当箭垂直方向射出时用时间最短，则箭运动的最短时间为，选项C正确，选项D错误；故选C。5．（2023上·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为时，人以速度v匀速向左运动，此时人的拉力大小为F，则此时（

）A．船的速度为 B．船的速度为C．船将匀速靠岸 D．船的加速度为【答案】B【详解】ABC．将船的速度分解为沿绳子方向与垂直绳子方向的两个分速度，其中沿绳子方向的分速度等于人的速度，则有，可得由于船在靠岸过程中，逐渐增大，逐渐减小