河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2023-2024学年高二上学期阶段考试（三）数学

环际大联考“逐梦计划”2023~2024学年度第一学期阶段考试（三）高二数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为A.0 B. C. D.不存在2.已知双曲线的离心率为，则实数的值为（）A. B. C. D.3.，，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（）A.24 B.120 C.48 D.604.已知点，，如果直线上，有且只有一个点，使得，那么实数的值为（）A.20 B. C. D.105.若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且，则线段的中点到轴的距离为（）A. B. C. D.6.已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（）A. B.或C.且 D.且7.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x8.在棱长为1的正方体中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则下列说法正确的是（）A.四面体的体积为B.C.向量在方向上的投影向量为D.∥平面10.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若，则为椭圆B.若，则为双曲线C.若为椭圆，则其长轴长一定大于2D.曲线不能表示圆11.已知圆则下列说话正确的是（）A.圆与直线必有两个交点B.圆上存在4个点到直线距离都等于1C.圆与圆恰有三条公切线，则D.动点在圆上，则12.已知椭圆左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则下列说法正确的是（）A. B.的面积等于C.直线的斜率为 D.的离心率等于三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为________.14.已知直线过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为________.15.如图，正方体的棱长为1，、分别为与的中点，则点到平面的距离为______.16.已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为12的正三角形.则抛物线的方程为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知△ABC三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程.18.已知直线与圆相交于，两点.（1）求；（2）若为圆上的动点，求的取值范围.19.如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．（1）求异面直线EF与所成角的大小．（2）证明：平面．20.已知拋物线的准线方程为，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，.（1）求取值范围；（2）若为直角三角形，且，求的值.21.如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别、.若，，，将梯形沿，折起，且平面平面（如图2）.图1图2（1）证明：；（2）若，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.22.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点.（1）求的方程；（2）设过点的动直线与相交于，两点，若为坐标原点，当面积最大时，求的方程.环际大联考“逐梦计划”2023~2024学年度第一学期阶段考试（三）高二数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为A.0 B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】垂直于y轴的直线倾斜角为.【详解】表示一条垂直于y轴的直线，故倾斜角为.故选：C【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于基础题.2.已知双曲线的离心率为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】直接利用离心率公式计算得到答案.【详解】曲线的离心率为，故，解得.故选：A.3.，，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（）A.24 B.120 C.48 D.60【答案】C【解析】【分析】利用捆绑法以及分步计数原理求解.【详解】将，看成一体，，的排列方法有种方法，然后将和当成一个整体与其他三个人一共个元素进行全排列，即不同的排列方式有，根据分步计数原理可知排法种数为，故选：.4.已知点，，如果直线上，有且只有一个点，使得，那么实数值为（）A.20 B. C. D.10【答案】D【解析】【分析】依题意由直线和圆的位置关系，利用点到直线距离即可求得.【详解】根据题意可知，以为直径的圆与直线相切，如下图所示：所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，又，所以.故选：D5.若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且，则线段的中点到轴的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得，再由中点坐标公式即可得解.【详解】由题意，抛物线的准线为，设，所以，即，所以点的横坐标为，所以点到轴的距离为6.故选：A.6.已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（）A. B.或C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】由直线，可得直线恒过定点，转化为只需点在椭圆的内部或在椭圆上，结合椭圆的性质，即可求解.【详解】由题意，直线，可得直线恒过定点，要使得直线与椭圆恒有公共点，只需点在椭圆的内部或在椭圆上，可得，即实数的取值范围为且.故选：C.7.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x【答案】B【解析】【分析】分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．【详解】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.故选：B8.在棱长为1的正方体中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先通过位置关系的证明说明在平面内，然后根据已知条件求解出的长度，根据的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.【详解】如图，在棱长为1的正方体中，，因为、为线段上的两个三等分点，所以，易知，平面，平面，所以平面，则，同理可证，又平面，平面，，则平面，设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，则，所以在平面内，则，所以，所以平面内点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图，在正三角形中，为中心，圆的半径为，即，，所以在直角三角形中，则，所以三个虚线弧圆心角弧度数为，则三个实线弧圆心角弧度数为，所以点的轨迹长度为.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则下列说法正确的是（）A.四面体的体积为B.C.向量在方向上的投影向量为D.∥平面【答案】ACD【解析】【分析】根据体积公式计算即可判断A；以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间坐标系，利用空间向量法计算即可判断B，C；根据线面平行的判定即可判断D．【详解】对于A，因为，故A正确；以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间坐标系，如图所示，则，，，，，，，对于B，因为，，则，所以与不垂直，即直线与直线不垂直，故B错误；对于C，因为，，则，，，所以在方向上的投影向量为，故C正确；对于D，连接，，，，且交于，连接，则是和的中点，所以在中，，又平面，而平面，所以∥平面，故D正确．故选：ACD．10.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若，则为椭圆B.若，则为双曲线C.若为椭圆，则其长轴长一定大于2D.曲线不能表示圆【答案】BC【解析】【分析】A，B项，求出的范围，即可判断曲线的形状；C项，求出为椭圆时的范围，分类讨论即可得出其长轴长的范围；D项，通过A选项即可得出结论.【详解】由题意，曲线中，A项，当时，，但当即时，曲线为圆，故A错误；B项，当时，，为双曲线，B正确；C项，若为椭圆，由A选项知，，当时，，∴长轴为，当时，∴长轴为，故C正确；D项，由A知当时，曲线为圆，D错误.故选：BC.11.已知圆则下列说话正确的是（）A.圆与直线必有两个交点B.圆上存在4个点到直线的距离都等于1C.圆与圆恰有三条公切线，则D.动点在圆上，则【答案】ABCD【解析】【分析】根据直线过定点，得到定点在圆内，进而即可A；圆心到直线的距离为，即可得到有4个点满足进而即可B；根据条件可知两圆外切，进而即可判断C；令，可得表示为直线截距的2倍，再根据直线与圆相切时，直线的截距取得最值，进而即可判断D正确.【详解】对于A，由，则，即直线过定点，又，则定点在圆内，所以圆与直线必有两个交点，故A正确；对于B，由圆的圆心到直线的距离为，又圆的半径为3，则到直线的距离为1的两条直线都与圆相交，所以存在4个点满足，故B正确；对于C，圆化简得到，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，故C正确；对于D，令，则，则表示为直线截距的2倍，又动点在圆上，则当直线与圆相切时，直线的截距取得最值，则，解得，所以，故D正确．故选：ABCD．12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则下列说法正确的是（）A. B.的面积等于C.直线的斜率为 D.的离心率等于【答案】AB【解析】【分析】由题意可设：设，由椭圆定义可得，进而可得，分析可知点为短轴的顶点，，结合椭圆性质逐项分析判断.【详解】因为，设，则，可得，即，可得，可知点为短轴的顶点，且，即，故A正确；因为，故B正确；因为，且，则，所以直线的斜率为，的离心率等于，故CD错误；故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为________.【答案】12【解析】【分析】分是否为0判断即可.【详解】①当时，取范围内任一实数均有实数解，此时有4对；②当时，有解则满足，即，当时，可取的值有、0、2、3，当时，可取的值有、0，当时，可取的值有、0，共有12对.故答案为：12.14.已知直线过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为________.【答案】或【解析】【分析】设出直线的斜率，根据点斜式写出直线的方程，根据点到直线的距离公式列方程求解即可.【详解】当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，由点到直线的距离公式可知，解得或，当时直线的方程为，当时直线的方程为；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，两点到直线的距离不相等，所以此种情况不存在，故答案为；或.15.如图，正方体的棱长为1，、分别为与的中点，则点到平面的距离为______.【答案】##【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式进行计算.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，故平面的法向量为，又，则点到平面的距离为.故答案为：16.已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为12的正三角形.则抛物线的方程为______.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，设准线与轴交于，则，在中求得，即可求解.【详解】由是周长为12的等边三角形，得，又由抛物线的定义可得.设准线与轴交于，则，从而，在中，，即.所以抛物线的方程为.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程.【答案】（1）x+y6=0；（2）3x+y10=0.【解析】【分析】（1）由中点坐标公式可得BC的中点为M(4，2)，由两点式可得BC边上的中线所在直线的方程；（2）因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，由直线BC的斜率，可得BC边上的高所在直线的斜率，再由点斜式可得BC边上的高的直线方程.【详解】（1）因为B(1，1)，C(7，3)，所以BC的中点为M(4，2).因为A(2，4)在BC边上的中线上，所以所求直线方程为=，即BC边上的中线所在直线的方程为x+y6=0.（2）因为B(1，1)，C(7，3)，所以直线BC的斜率为=.因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为3.因为A(2，4)在BC边上的高上，所以所求直线方程为y4=3(x2)，即BC边上高所在直线的方程为3x+y10=0.【点睛】本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式、两直线垂直的关系的应用，及两点式、点斜式、一般式等直线方程的表示形式，属于基础题.18.已知直线与圆相交于，两点.（1）求；（2）若为圆上动点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直线和圆相交的弦长公式求解即可；（2）将转化为圆上的任意点与连线的斜率求解即可.【小问1详解】∵圆∴，∴圆心为，半径，则圆心到直线的距离：，∴.【小问2详解】表示圆上的任意点与连线的斜率，设，即，则直线与圆有公共点，∴∴∴的取值范围为.19.如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．（1）求异面直线EF与所成角的大小．（2）证明：平面．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴异面直线EF和所成的角为．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．20.已知拋物线的准线方程为，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，.（1）求的取值范围；（2）若为直角三角形，且，求的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由题意可得抛物线方程，设直线方程为，联立方程，结合运算求解；（2）由题意可得：，解法一：利用直线方程消元，结合韦达定理运算求解；解法二：利用抛物线方程消元，结合韦达定理分析求解.【小问1详解】由题意可知：抛物线的方程为，直线的斜率存在，设直线方程为，联立方程组，消去得，要使直线与抛物线交于不同的两点，，则，即，解得或，所以们取值范围为或.【小问2详解】设，，由（1）可知，是的两个根，则，，解法一：因为，则，即，可得，解得或，结合（1）中的取值范围可知：.解法二：因为，所以，即，因为，所以，因为，所以，即，解得，此时满足（1）中的取值范围，所以.【点睛】21.如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别为、.若，，，将梯形沿，折起，且平面平面（如图2）.图1图2（1）证明：；（2）若，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】利用面面垂直性质定理可得平面，