新版高中数学人教A版选修1-2习题第二章推理与证明2.2.1.2

第2课时分析法课时过关·能力提升基础巩固1命题“对于任意角θ,cos4θsin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θsin4θ=(cos2θsin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θsin2θ=cos2θ”,其过程应用了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证法解析从证明过程来看,是从已知条件入手,经过推导得出结论,符合综合法的证明思路.答案B2欲证2A.(C.(解析由分析法知,欲证2-答案C3在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足()A.a2<b2+c2 B.a2=b2+c2C.a2>b2+c2 D.a2≤b2+c2答案C4已知a,b是不相等的正数,x=aA.x>y B.x<y C.x=y D.不确定解析因为a,b>0,所以x>0,y>0.要比较x与y的大小,只需比较x2与y2的大小,即比较a+b因为a,b为不相等的正数,所以所以a+b+2ab2<a答案B5分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c,且a+b+c=0,求证:bA.ab>0 B.ac>0C.(ab)(ac)>0 D.(ab)(ac)<0解析b2-ac<3a⇔b2ac<3a2⇔(a+c)2ac<3a2⇔(ac)(2a+c)>0⇔(ac)(ab答案C6将下面用分析法证明a2+b22≥ab的步骤补充完整:要证明a2+b22≥ab,只需证明a2+b2≥2ab,也就是证明答案a2+b22ab≥0(ab)2≥0(ab)2≥07若aa解析要使aa>b只需a3>b3≥0,即a,b应满足a>b≥0.答案a>b≥08在△ABC中,∠C=60°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则a解析因为∠C=60°,所以a2+b2=c2+ab.所以(a2+ac)+(b2+bc)=c2+ab+ac+bc=(a+c)(b+c),所以答案19设a,b∈(0,+∞),且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.分析本题要证明的不等式有些复杂,且不易发现与已知条件间的联系,直接应用综合法证明的思路不明显,故先采用分析法证明.证明方法一(分析法):要证a3+b3>a2b+ab2成立,即需证(a+b)(a2ab+b2)>ab(a+b)成立.又因a+b>0,故只需证a2ab+b2>ab成立,即需证a22ab+b2>0成立,即需证(ab)2>0成立.而依题设a≠b,则(ab)2>0显然成立.由此命题得证.方法二(综合法):a≠b⇔ab≠0⇔(ab)2>0⇔a22ab+b2>0⇔a2ab+b2>ab.∵a,b∈(0,+∞),∴a+b>0,∴(a+b)(a2ab+b2)>ab(a+b).∴a3+b3>a2b+ab2.10已知a,b,c是不全相等的正数,且0<x<1.求证:logx证明要证明logx只需要证明logx由已知0<x<1,只需证明由公式知因为a,b,c不全相等,上面三式相乘,可得即a所以logxa能力提升1如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一解析因为a+b=cd=4,由基本不等式,得a+b≥2故ab≤4.又cd≤(所以c+d≥4,所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.故选A.答案A2要证3A.ab<0,且a>bB.ab>0,且a>bC.ab<0,且a<bD.ab>0,且a>b或ab<0,且a<b解析要证只需证即证ab3即证只需证ab2<a2b,即证ab(ba)<0.只需ab>0,且ba<0或ab<0,且ba>0.故选D.答案D3设a,b,c,d均为正实数,若a+d=b+c,且|ad|<|bc|,则有()A.ad=bc B.ad<bcC.ad>bc D.ad≤bc解析∵a+d=b+c,∴(a+d)2=(b+c)2,∴a2+d2b2c2=2bc2ad.∵|ad|<|bc|,∴(ad)2<(bc)2,∴a2+d2b2c2<2ad2bc.∴2bc2ad<2ad2bc,∴ad>bc.答案C4“a=1”是“对任意正数x,2x+ax≥1”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析当a=1时,2x+ax=2x+1x≥22若对任意正数x,2x+ax≥1,即2x2-x+ax≥0恒成立,则有2x2x+a≥当a≥18时,命题成立,不一定有a=故“a=1”是“对任意正数x,2x+ax≥1”答案A5如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).

解析本题答案不唯一,要证A1C⊥B1D1,只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1.因为该四棱柱为直四棱柱,所以B1D1⊥CC1.故只需证B1D1⊥A1C1即可,而BD∥B1D1,AC∥A1C1,故只需AC⊥BD.答案答案不唯一,如AC⊥BD★6若a>b>c,n∈N*,且1解析由a>b>c,得ab>0,bc>0,ac>0,要使1只需a-ca只需(a-b显然2+b-ca-b+a-所以只需n≤4成立,即n能取的最大值为4.答案47已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试分别用分析法和综合法证明∠B为锐角.分析在△ABC中,要证∠B为锐角,只要证cosB>0,结合余弦定理可解决问题.证法一(分析法)要证明∠B为锐角,只需证cosB>0.∵cosB=∴只需证明a2+c2b2>0,即a2+c2>b2.又a2+c2≥2ac,∴只需证明2ac>b2.由已知2b=1a∴只需证明b(a+c)>b2,即只需证明a+c>b.而a+c>b成立,∴∠B为锐角.证法二(综合法)由题意,得2b∵a+c>b,∴2ac=b(a+c)>b2.∴cosB=又0<∠B<π,∴0<∠B<π2,即★8已知α,β≠kπ+π2(k∈Z),且sinθ+cosθ=2sinα,sinθcosθ=sin2β证明要证1即证即证cos2αsin2α=即证12sin