重难点01常见数列通项的20种解题策略

重难点01：常见数列通项的20种解题策略知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前n项和与通项的关系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,Sn－Sn－1))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1，,n≥2；))(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．考点01：观察法求通项1．根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式：(1)，，，，…；(2)，，，，…；(3)0，1，0，1，…；(4)9，99，999，9999，….【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）观察数列的前4项的特征，写出符合条件的通项公式即得.【详解】（1）依题意，，则原数列可变为：，显然各项分子均为4，分母是17减去3的项数倍的差，所以符合条件的一个通项公式是.（2）各项的绝对值依次为，显然该数列第n项的分子是2n，分母为对应分子平方减去1的差，又原数列的奇数项为负，偶数项为正，则第n项的符号由符号因式决定，所以符合条件的一个通项公式是.（3）数列前4项依次化为：，所以符合条件的一个通项公式是.（4）依题意，，所以符合条件的一个通项公式是.2．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)a，b，a，b，…；(2)，，，，…；(3)；(4)，，，，…；(5)，2，，8，，…；(6)，33，，3333，….【答案】(1)（）(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）根据奇偶项的特征即可写出通项公式；（2）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式；（3）根据奇偶项的符号与序号之间的关系即可写出通项公式；（4）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式；（5）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式；（6）根据前4项的结构特征即可写出通项公式；【详解】（1）数列的奇数项为a，偶数项为b，因此通项公式可用分段形式来表示，记为，也可记为．（2）这个数列的前4项为，，，，其分母都是序号n加上1，分子都是分母的平方减去1，故．（3）数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的奇数，且奇数项为正，偶数项为负，故．（4）这个数列的前4项为，，，，它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故.（5）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察，其分母都是2，分子都是序号的平方，故.（6）因为所以．考点02：由递推公式求通项3．数列对任意正整数，满足，数列通项公式.【答案】【分析】利用各项积与通项公式的关系可得答案.【详解】当时，；当时，由可得两式作商可得，又不符合上式，所以.故答案为：4．已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用递推式得出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出，进而求解即可.（2）利用错位相减法求解数列前项和即可.【详解】（1）由，得，又，是以1为首项，3为公比的等比数列，，，即数列的通项公式为.（2）由（1）知，，则，①得，②①－②得，故．考点03：等差数列公式求通项推论公式：a5．已知数列满足，（，），则．【答案】【分析】由题意得到为等差数列，公差为1，从而求出通项公式.【详解】因为（，），故为等差数列，公差为1，所以.故答案为：6．已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式．【答案】【分析】根据等差数列得通项求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可得解.【详解】由，，得，由解得，所以.故答案为：.考点04：等比数列公式求通项推论公式：an7．设是各项不为0的无穷数列,“”是“为等比数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等比数列的定义可以判断“”是“为等比数列”的充分必要条件,即可选出结果.【详解】解:由题知是各项不为0,若,则,故为等比数列;若为等比数列,则有,即;综上“”是“为等比数列”的充分必要条件.故选:C8．已知数列，则数列的通项公式．【答案】【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解．【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列，得，即，故答案为：考点05：累加法求通项解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。9．已知数列满足：，，则数列的通项公式为.【答案】【分析】由题意利用累加法，即可求得答案.【详解】由题意知数列满足：，，故，,也适合该式，故，故答案为：10．已知数列满足，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对同时除以可得，再由累加法求解即可得出答案.【详解】若，则，则，这与矛盾，所以，对同时除以，所以，则，，……，，上面的式子相加可得：，所以，所以，故选：D.考点06：累乘法求通项11．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（

）A．28 B．29 C．30 D．31【答案】B【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案.【详解】依题意，数列满足，，，所以，也符合，所以，是单调递增数列，由，解得，所以的最大值为.故选：B12.数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】【分析】根据累加法求通项公式即可.【详解】解：因为，所以，，，，累乘得：，，所以，．由于，所以，．显然当时，满足，所以，．故答案为：考点07：构造等比数列(其中p，q均为常数，且)。13．设数列的前n项和为，，，则.【答案】【分析】化简，判断出为等比数列，从而计算出.【详解】由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：14．已知数列满足，，则满足的最小正整数．【答案】5【分析】根据题意先求得，，从而求得，再构造等比数列，从而得到数列的通项公式，进而根据的单调性即可求解．【详解】由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，易知是递增数列，又，，所以满足的最小正整数．故答案为：5．【点睛】本题考查递推数列．15．已知：，时，，求的通项公式．【答案】【分析】构造等比数列，即可由等比数列的性质求解.【详解】设，所以，∴，解得：，又，∴是以3为首项，为公比的等比数列，∴，∴．16．已知数列满足，，设.(1)求；(2)求的通项公式.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据得到，即可得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，然后求解即可；（2）根据等比数列的通项公式得到，然后求即可.【详解】（1）由得，，所以数列，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，，.（2）由（1）可得，所以.考点08：构造等差数列17．在数列中，，．求数列的通项公式.【答案】【分析】递推公式推得，判断数列为等差数列，求出公差d，再写出通项公式.【详解】因为，所以.由可得，所以.又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.18.已知数列满足.求数列的通项公式；解：（1）由，可得=1，则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，则=，即；考点09：递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用19．已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)数列是否为等差数列？【答案】(1)(2)数列不是等差数列【分析】（1）根据直接求通项公式即可；（2）根据等差数列相关概念进行判断即可.【详解】（1）当时，；当时，.又因为当时，不满足上式，所以数列{an}的通项公式为（2）由（1）知，当时，，但，所以数列不是等差数列20．已知数列满足，若，求的通项公式．【答案】【分析】利用关系求数列通项，所得通项公式注意验证，进而确定通项公式.【详解】由题设，当时，可得，则．而，，显然，所以.考点10：倒数法一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。21．数列中，，，则是这个数列的第几项（

）A．100项 B．101项 C．102项 D．103项【答案】A【解析】由条件可得，则，进而可求出数列的通项公式，令，求出值即可.【详解】解：由，得，则，，令，得.故选：A.【点睛】本题考查由递推式求通项公式，考查数列中某项的项数，是基础题.22.已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】对数列两边取倒数，然后构造等比数列，通过等比数列的通项公式即可求解.【详解】因为，所以两边取倒数得则，所以数列为等比数列，则，所以，故.故选：C.考点11：对数法23.若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁.解析：∵=3且（n是正整数）∴两边取对数的lgan+1=2lgan∴lgan+1/lgan=2∴数列｛lgan｝是以lg3为首项，以2为公比的等比数列∴lgan=lg3×2n124、已知数列满足，，求数列的通项公式.解：因为，所以在式两边取常用对数得=1\*GB3①设=2\*GB3②将=1\*GB3①式代入=2\*GB3②式，得两边消去并整理，得则，故代入=2\*GB3②式，得=3\*GB3③由及=3\*GB3③式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列则，因此则.考点12：前n项积求通项25：（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为数列的前项积，已知，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据与的等式，求得的通项公式即得解.【详解】则，代入，化简得：，则.故选:C.26.（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（

）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.考点13：退位相减法已知数列前n项和求数列的通项问题，通常考虑退位相减法.27、设数列{an}满足a解：当n≥2时，所以a两式相减得：2n-1得：an=2（当n=1则an考点14：开方、平方法28若数列{an}中，a1=2且(n≥2)，求它的通项公式解将ˊ两边平方整理得an2an12=3.数列{an2)是以a=4为首项，3为公差的等差数列。an2=a1+(n1)x3=3n+1。因为an>0，所以.求递推数列的通项的主要思路是通过转化,构造新的熟知数列,使问题化陌生为熟悉,我们要根据不同的递推关系式,采取不同的变形手段,从而达到转化的目的,考点15：裂项叠加法29.在数列{an}中，a=3,nan+1=(n+2)an+2n(n+1)(n+2)，求通项公式an解:对原递推式两边同除以n(n+1)(n+2)可得:①令②则①即为:bn+1=bn+2,则数列(bn}为首项是,公差是2的等差数列,因,代入②式中得故所求的通项公式是考点16：不动点求通项不动点的定义：函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点或称(形如a分析：递归函数为（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴；（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中.30、设数列满足,求数列的通项公式.解：对等式两端同时加参数t,得：,令,解之得t=1,2代入得,,相除得,即{}是首项为，公比为的等比数列,=,解得.方法2：，两边取倒数得，令b，则b,转化为累加法来求.31、已知数列满足，求数列的通项公式.解：令，得，则是函数的两个不动点因为所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则考点17：特征根法形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得32、已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，33、已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，考点18：换元法对于题目所给的等式含有根式或是含有相似结构时，我们可以令根式或相似结构为新变量，进而求解通项.34、已知数列满足，求数列的通项公式.解：令，则代入得即因为，则即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此则，即，得。考点19：斐波那契数列通项35．斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（

）A．34 B．55 C．68 D．89【答案】B【分析】先观察数列，再利用发现的规律求出第10项.【详解】观察数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，发现从第3项起，每一项均为其前2项的数之和，则第9项：13＋21＝34，第10项：21＋34＝55.故该数列的第10项为55．故选：B.36．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即，，，，，，，，，，，，，，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，经计算发现：（），则．【答案】【分析】利用递推关系，将所求关系式中的“”换为，再利用即可求得答案．【详解】依题意，得，即.故答案为：．考点20：因式分解型（正项数列）37.已知各项都是正数的数列，前项和满足，求数列的通项公式.【答案】【详解】当时，，所以或（舍去），当时，有两式相减得，整理得，因为的各项都是正数，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以38.已知为数列的前n项和，，,求数列的通项公式.【答案】【详解】当时,，,则,当时，，则,两式相减得：即即∵，∴,∴数列是2为首项，公差为2的等差数列，∴. 走进高考1．（2013·全国·高考真题）若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=.【答案】；【详解】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=SnSn1=（）（）=整理可得an＝−an−1，即=2，故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故an=1×（2）n1=（2）n1故答案为（2）n1．考点:等比数列的通项公式．2．（2004·全国·高考真题）已知数列，满足，，则的通项．【答案】【分析】已知和的形式求，用作差法得出递推公式，用累乘法得到的通项公式.【详解】当时，有两式作差可得，即则两边同时相乘可得，，整理，得当时，可化为所以.显然，时，满足，时，不满足所以故答案为：.3．（2000·广东·高考真题）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式.【答案】【分析】由条件有，由数列为正项数列，即得，然后利用累乘法可求出数列的通项公式.【详解】由，则又数列为正项数列，即，所以，即所以故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列的通项公式，考查累乘法，属于中档题.4．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【详解】（1）因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，，即，．5．（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】：由已知条件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：

由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法

由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．那么当时，．综上，猜想对任意的都成立．即