陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高三上学期期末考试数学（理）

高三年级教学质量监测数学（理科）考生注意：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选报题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2．请将各题答案填写在答题卡上。3．本试卷主要考试内容；高考全部内容。第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（）A．0 B． C． D．2．已知集合，则（）A． B． C． D．3．跑步是一项健康的运动，可以让我们的身体更加强壮：某跑步爱好者坚持每天跑步，如图，这是该跑步爱好者某周跑步时长的折线图．该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是（）A．25 B．35 C．37.5 D．394．已知地物线的焦点为，点在上，且，则（）A．8 B．10 C．11 D．155．已知是奇函数，则（）A．－1 B．1 C．－2 D．26．设数列是递增的等比数列，公比为，前项和为．若，则（）A．31 B．32 C．63 D．647．如图，在长方体中，，异面直线与所成仍的余弦值为，则（）A． B． C． D．8．在中，在上，且在上，且．若，则（）A． B． C． D．9．已知函数若，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知为第一象限角，若函数的最大值是，则（）A． B． C． D．11．已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．12．若函数的导函数都存在，恒成立，且，则必有（）A． B．C． D．第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．展开式的系数之和是______．（用数字作答）14．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则______．15．某企业举办职工技能大赛，经过层层选拔，最终等5名职工进入决赛．假设这5名职工的水平相当，则两人中至少有1人进入前3名的概率是______．16．已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是______．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在中，内角的对边分别是，且．（1）求的值；（2）若的凩长为18，求的面积．18．（12分）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙．为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：成绩人数年龄段 31岁40岁48139641岁50岁28102218规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高．（1）从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；（2）将频率视为概率，现从该地41岁50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望．19．（12分）如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点．（1）证明：平面．（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率是，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程．（2）直线与椭圆交于（异于点）两点，记直线的斜率分别为，试问直线是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性．（2）是否存在两个正整数，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．［选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）是圆上的动点，求点到直线的距离的最大值．23．［选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，求的最小值．高三年级教学质量监测数学参考答案（理科）1．C．2．D由题意可得，则．3．B将该跑步爱好者这周的跑步时长按从小到大的顺序排列为，则该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是35．4．B由抛物线的定义可得，解得，则，故．5．B由题意可得．因为是奇函数，所以，即，整理得，解得，故．6．A由题意可得整理得，解得或（舍去），则，故．7．C连接，交于点，取的中点，连接．因为，所以与所成的角为（或其补角）．令，在中，由，得．又，，由余弦定理得，解得，所以8．C因为，所以，则．因为，所以，则．9．A作出的大致图象（图略），由图可得的取值范围是．10．D因为，所以，所以，则，故．11．C在三棱锥中，底面是以为斜边的直角三角形．设底面外接圆的圆心为，则其半径，设三棱锥外接球的球心为，半径为，因为二面角为，所以点到底面的距离为，且点在底面的射影为的中点，所以．设球心到底面的距离为，则，且，解得，所以．12．D由，得．设函数，则，所以单调递增，所以，即．因为，所以，即．13．256令，得．14．5由等差数列性质可得，则，故．15．由题意可知这5名职工最终的排名情况有种，其中两人中恰有1人进入前3名的情况有种，两人都进入前3名的情况有种，故所求概率．16．如图，直线与轴交于点，设，则．因为，所以．因．因为，当且仅当时，等号成立，所以，整理得，则，解得．17．解：（1）因为，所以．因为，所以，则．（2）因为，所以．因为，所以，解得．因为的周长为18，所以，解得，则．故的面积为．18．解：（1）抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为．（2）根据表格可知从41岁~50岁年龄段中随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率．由题意可知的可能取值为，则，，，，故的分布列为0123的数学期望．注：也可以写成．19．（1）证明：取的中点，连接．因为为圆弧的两个三等分点，所以．因为分别为的中点，所以，则，从而四边形为平行四边形，故．因为平面平面，所以平面．（2）解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以，，则．设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则令，得．设平面与平面所成锐二面角为，则．20．解：（1）由题意可得解得，则椭圆的标准方程为．（2）当直线的斜率为0时，设，则，从而．因为在椭圆上，所以，所以，则，不符合题意．当直线的斜率不为0时，设直线．联立整理得，由题意可知，则．因为，所以，则．因为，所以，所以．将代入上式，得，则，整理得，即．因为，所以．故直线过定点．21．解：（1），当时，对时恒成立，单调递减．当时，，则在上单调递增，，,则在上单调递减．（2）由（1）知，令，得在上单调递增，在上单调递减，则．因为，所以，即，即，因为为正整数，所以．当时，，因为，所以，这与矛盾，不符合题意．当时，因为，所以，所以，得，即．经检验，当时，不符合题意，当时，符合题意，当时，因为，所以，当时，，所以．综上，仅存在满足条件．22．