第9讲 图形的旋转与中心对称八年级数学下册同步讲义（北师大版）

第9讲图形的旋转与中心对称

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1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；

2、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念，理解他们的区别和联系，并会判

别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形；

3、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对

称的图形.

瞅知识精讲

知识点Ol生活中的旋转现象

（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点城转一个角度的图形变换叫做旋转.点

加Ll做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点图过旋转变为点〃，那么这两个点叫

做对应点.

（2）注意：

①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后

图形能够重合，这时判断旋转的关键.

②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向.

③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点.

【知识拓展1】（2021秋•建华区期末）时钟的时针从上午的8时到上午10时，时针旋转的旋转角

为—.

【即学即练1】（2021秋•太原期中）几何图形由点、线、面组成，点动成线、线动成面、面动

成体.下列现象中能反映“线动成面”的是（）

Λ.流星划过夜空B.笔尖在纸上快速滑动

C.汽车雨刷的转动D.旋转门的旋转

【即学即练2】（2021春•凤翔县期末）下列运动形式属于旋转的是（）

A.在空中上升的氢气球B.飞驰的火车

C.时钟上钟摆的摆动D.运动员掷出的标枪

知识点02旋转的性质

（1）旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离相等.

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

③旋转前、后的图形全等.

（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.

注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.

【知识拓展2】（2021秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板

ABC,将另一一块三角板颇绕公共顶点例页时针旋转（旋转角度不超过180。）.若两块三角板有一

边平行，则三角板姐旋转的度数可能是（）

C.45°或90°或135°D.15°或45°或90°或135°

【即学即练1】（2021秋•湖北期末）如图，在△/αψ,N为C=Il0。，将C绕点便时针旋

转得到△应G点4B的对应点分别为2,E,连接力〃当点4D,£在同一条直线上时，则旋

【即学即练2】（2021秋•莆田期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来

的.借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角.如图②，这个“三等分角仪”由

两根有槽的棒力，砒且成，两根棒在。点相连并可绕旗动，点涸定，点。，胸在槽中滑动,

OC=CD=DE.若NBDE=81°,则乙4必的度数是（）

知识点03旋转对称图形

（1）旋转对称图形

如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图

形就叫做旋转对称图形.

（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等.

【知识拓展3】（2021秋•北仑区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的

B.

D.

【即学即练1】（2021秋•荆门期末）把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重

合，则这个旋转角度可能是（)

B.72°C.90°D.108°

【即学即练2】（2021秋•丰润区期末）如图,五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆

心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合,那么这个角度至少为（)

A.60°B.72°C.75°D.90°

知识点04中心对称

（1）中心对称的定义

把一个图形绕着某个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关

于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称

点..

（2）中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形能够完全重合；

②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

【知识拓展4】（2021秋•淮南月考）如图，△/犯与占C关于减中心对称，下列结论中不

成立的是（

B.NABC=NAC8

C.点6的对称点是9D.BC//BC

【即学即练1】（2021秋•黄陂区期中）如图，点儿粉别是两个半圆的圆心，则该图案的对称

中心是（）

A.点/B.点8

C.线段/弼中点D.无法确定

【即学即练2】（2021春•清苑区期末）如图，/XABC与AA'B'C关于点颂中心对称，则下列

结论不成立的是（）

A.点力与点4'是对称点B.BO=B'O

C.AB//A'B'D.NACB=NCA'B'

知识点05中心对称图形

（1）定义

把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形

就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一

个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同.

（2）常见的中心对称图形

平行四边形、圆形、正方形、长方形等等.

【知识拓展5】（2021秋•交城县期末）下列交通标志中，是中心对称图形的是（)

知识点06关于原点对称的点的坐标

关于原点对称的点的坐标特点

（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点尸（x,y）关于原点族对称点是尸

（.-X,-y）.

（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具

有中心对称的所有性质.但它主要是用坐标变化确定图形.

注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐

标.

【知识拓展6］（2021秋•沙河口区期末）在平面直角坐标系中，点巴点供于原点对称，若点

/的坐标是（2,3）,则点冰坐标是.

【即学即练1】（2021秋•新吴区期末）若点户（a,2）点。（-4,b）关于原点对称，则点M

（a,b）在第_象限.

【即学即练2】（2021秋•开州区期末）平面直角坐标系中点P（7,-9）关于原点对称的点的坐

标是（）

A.（-9,7）B.（-7,9）C.（7,9）D.（-7,-9）

知识点07作图-旋转变换

（1）旋转图形的作法：

根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的

角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.

（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中

心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等∙

【知识拓展7】(2021秋•南开区期末)如图，已知点力(2,0),5(0,4),C(2,4),若

在所给的网格中存在一点〃使得⑶与4⅛直且相等.

(1)直接写出点颂坐标；

(2)将直线4方绕某一点旋转一定角度，使其与线段迹合，则这个旋转中心的坐标

为.

【即学即练1】(2021秋•南沙区期末)如图，将44¾戏点/顺时针旋转α,得到若点〃

恰好在点的延长线上，则

NG½等于()

A.aB.900+工C.90°--D.180o-2a

22

【即学即练2】(2021秋•铅山县期末)如图，在平面直角坐标系中，点4、⑹的坐标分别为/(-

2,3)、8(-3,1).

(1)画出庞绕点物页时针旋转90°后的△外傲;

(2)求四边形加M山的面积.

y

Q能力拓展

例题1.（2020•浙江八年级期末）如图，在RJA6C中，NC=90。，点仍AC边上的一

点，将线段ΛP绕点/顺时针方向旋转（点网应点RAP=AP.当AP旋转至APUAB

时，点5,P,P,恰好在同一直线上，此时作P'ELAC于点反

（1）求证：NCBP=ZABP；

（2）若AB—BC=4,AC=8,求PBC的面积；

（3）在（2）的条件下，点A为边BC上一动点，点,步3边BP上一个动点，连接MCMN,

求MC+MV的最小值.

【变式1】（2021•河南郑州市•八年级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的

三角尺AOE固定不动，将含30。的三角尺ABe绕顶点H顺时针转动，使两块三角尺至少有

一组边互相平行.

BCHDE.求其它所有可能符合条件的角

NC4E（0°<NC4E<I80°）的度数，画出对应的图形并证明.

【变式2】（2021•内蒙古呼伦贝尔市•八年级期末）已知：如图1,.AOB和CoD都是等边

三角形.

(1)求证：①AC=BD;②NAPB=60°；

(2)如图2,在AAOB和ACOD中,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=ɑ,则AC与BD间的等量

关系为—，/APB的大小为.

SlS2

模块三、中心对称

例题L（2020•辽宁锦州市•八年级期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图

所示的平面直角坐标系，△4BC的顶点都在格点上.请回答下列问题：

（1）作出AABC向左平移4个单位长度后得到445G,并写出A的坐标；

（2）作出AABC关于原点删称的并写出与，C2点的坐标.

【变式1】（2021•山东济南市•八年级期末）如图网格中，AAOB的顶点均在格点上，点

A、8的坐标分别是43,2）、3（1,3）.

（1）点A关于点。中心对称点的坐标为（,）；

（2）AZOB绕点。顺时针旋转90°后得到A1OB1,在方格纸中画出AQB∣,并写出点名

的坐标（,）;

（3）在V轴上找一点尸，使得PA+JPB最小，请在图中标出点P的位置，并求出这个最小

值.

【变式2］（2021•山东烟台市•八年级期末）如图所示，网格中每个小正方冠的边长为1，

请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案.解答下列问题：

（1）图①中的三个图案面积都是,且都具有一个共同特征：都是.

对称图形；

（2）请在图②中设计出一个面积与图①阴影部分面积相同，且具备上述共同特征的图案,

要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同.

分层提分

题组A基础过关练

选择题（共8小题）

1.（2021秋•澄海区期末）如图，将△加!δ绕点侬逆时针方向旋转60°后得到OB',若N

AOB=25°,则N/如'的度数是（）

2.（2021秋•峪恫区期末）2022年2月4日-2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬

奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片.旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重

合，至少需要旋转（）

O务

A.180oB.120oC.90oD.60°

3.（2021秋•雨花区期末）如图，△协是由比绕点颇转180°得到的，则下列结论不成立的

是

A.点ZI与点虚对应点B.BO=EO

C.ZACB=NFEDD.AB//DE

4.（2021秋•沙河口区期末）下列图案是一些电视台的台标，是中心对称图形的是（）

扁◎

血今

5.（2021秋•澄海区期末）在平面直角坐标系中，点4（1,-2）和点8（如2）关于原点对称，

则0的值为（）

A.2B.-2C.1D.-1

6.（2021秋•铅山县期末）如图，将比绕点/逆时针旋转80°,得到若点〃在线段式的

延长线上，则/95的度数为（）

7.（2021秋•绥滨县期末）已知，如图，在△加肿，∕AOB=90°,AO=3cm,BO=Acm.将4

加6绕顶点雨顺时针方向旋转到44阳处，此时线段眼与｛弼交点〃恰好为/瑚中点，则线段

A.1.5cmB.3cmC.5cmD.2.5cm

8.（2021秋•澄海区期末）如图，将△力式绕点/按逆时针方向旋转得到△月夕C.若点夕刚好

落在灰边上，且力夕=CB',若NC=20°,则△/式旋转的角度为（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

二.填空题（共1小题）

9.（2021秋•杜尔伯特县期末）时针从数字“9”到“12”按时针方向旋转了90°.

三.解答题（共9小题）

10.（2021秋•大洼区期末）如图，将Rt就点。顿时针旋转90°,在所给的直角坐标系中画

出旋转后的Rta。.

（1）以浦⅛为对称轴画出C的对称图形△/!'/?C；

（2）画出△?!比绕点急顺时针旋转90°后的△/"B"G

12.（2021秋•尧都区期末）如图，已知。是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3,-1）,

（2,1）,将△觥绕点醴时针旋转90度，得到△台阳，画出460G,并写出6、晒点的对

应点打、G的坐标，

13.（2021秋•富县期中）如图，逆时针旋转一定角度后与43≡合，且点以E49上.若/

6=21°,NACB=26：求出旋转的度数，并指出旋转中心.

在边长为1的小正方形格中，4∕6!δ的顶点均在格点上.

（1）6点关于通的对称点坐标为

16.（2021春•绿园区期末）如图，将△/比以点仍旋转中心，顺时针旋转180°,得到△应C,

过点4作4i1〃班；交应的延长线于点E试问：Nb与NH相等吗？为什么？

D

E

17.(2021春•商河县校级期末)如图，〃是△被鬼!龙的中点，连接A9并延长到点£；使OE=加,

连接战

(1)哪两个图形成中心对称？

(2)已知比的面积为4,求△4%的面积;

(3)己知4?=5,AC=3,求/W的取值范围.

18.(2020春•肇源县期末)如图所示，在平面直角坐标系中，已知4(0,1),8(2,0),C

(4,3).

(1)在平面直角坐标系中画出44¾7,则449C的面积是；

(2)若点。与点C关于原点对称，则点〃的坐标为；

(3)已知∕¾x轴上一点，若△/幽面积为4,求点解J坐标.

题组B能力提升练

一.选择题（共5小题）

1.（2021秋•椒江区期末）如图，△加C是由△/比绕点。顿时针旋转30°所得，近DE,｛疗目交于

点反若//=35°,则N0%的度数为（）

2.（2021秋∙铜官区期末）如图，将△/比绕点C逆时针旋转ɑ,得到△庞C,若点/恰好在先的延

A.ɑ-30oB.180°-ɑC.90°D..ɪ-ei+45°

3.（2021秋•句容市期末）如图，边长为5的等边三角形/式中，J健高〃所在直线上的一个动

点，连接脑，将线段8（端点碘时针旋转60°得到Z⅛V,连接倒：则在点,庭动过程中，线段HV

42

4.（2021秋•宜州区期末）如图，将RtC绕点4顺时针旋转40°,得到RtC',点。'恰

好落在斜边46上，连接班'，则N/1仍'的度数为（）

A.50oB.60oC.70oD.80o

5.(2021秋•绵阳期末)如图，将4/8C绕点例页时针旋转角ɑ,得到448G,此时点4点、B,点

,则旋转角ɑ=()

C.78°D.81°

二.填空题(共5小题)

6.(2021秋•廉江市期末)如图，与关于点C成中心对称，AB=2,,AC=∖,ND=

90°,则45的长是,

7.(2021秋•山亭区期末)如图，将〃个边长都为的正方形按如图所示摆放，点4,A2,

4分别是正方形的中心,则"个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为

8.3),6(-5,3y-3)关于原点对称，则户y

9.(2021秋•海门市期末)点M(-3,2)关于原点对称的点的坐标是.

10.(2015秋•天津期末)点/(-2,3)与点8(a,b)关于坐标原点对称，则a+6的值

为.

三.解答题(共8小题)

11.(2021秋•沙河口区期末)如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1.将△儿?，绕点敬

时针旋转90°后得到40NC,其中力和1,脚笈，疗口C是对应点.

(1)画出AdSC；

(2)在该网格中建立平面直角坐标系，点巴力坐标分别为P(0,1),A(1,1),直接写出

该坐标系下4,B,0的坐标.

(1)画出△力施绕点。顺时针旋转90°后的44(¾;

(2)求线段①旋转到你时所扫过的扇形面积.

13.(2021秋•芝聚区期末)如图，a＜式的顶点坐标分别为力(4,5),B(2,2),C(5,

2).

(1)将式绕点(0,1)顺时针旋转180°,请画出旋转后的4484:

(2)将平移后得到民C,若点力对应点儿坐标为(1,-2),请画出平移后的4

A2B1C1,若宛内部--点/的坐标为(a,b),则点/的对应点8的坐标是;

(3)将加G绕某一点桢⅛转可得到△及民C，请画出点,郝J位置(保留痕迹)，并直接写出

点浦⅛坐标.

y个

14.(2021秋•晋安区校级月考)如图，线段/C、放相交于点O,AB//CD,AB=CD.线段的两

15.(2021•鄂温克族自治旗二模)如图，Z∖∕6舛，BC=2AB,D,明■别是边及7,ICfi勺中点.将

△会绕点碓转180度，得AAFE.

(1)判断四边形｛财的形状，并证明：

(2)已知4?=5,AD^BF=U,求四边形ZI质的面积S.

16.(2021春•宽城区期末)如图，在△/比中，4龌比边上的中线，被与△力用于点〃成中

心对称.

(1)直接写出图中所有相等的线段.

(2)若46=5,/IC=3,求线段/厢取值范围.

A'

17.(2021秋•桓台县期末)如图，在直角坐标系内，已知点4(-1,0).

(1)图中点6的坐标是：

(2)点岐于原点对称的点〃的坐标是；点4关于游由对称的点亦坐标是

(3)四边形480的面积是；

(4)在渊上找一点尸，使5λw=S△做■.那么点却勺坐标为.

y八

A

X

18.(2021秋•建安区期中)数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1,在△/!比中若/8=

5,AC=3,求比边上的中线4隅取值范围.

解决方法：延长4®JE使得应一4。再连接麻(或将加唳点〃逆时针旋转180°得到△

EBD).把AB,AC,24燎中在班中，利用三角形的三边关系可得2</£<8,则1<4X4.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中

心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：

如图2,在△/!比中，废比边上的中点，DELDF,D咬A阡点、E,D咬AC于点F,连接跖

(1)求证：BE+CF>EFi

(2)若N∕=90°,探索线段跳；CF,1之间的等量关系，并加以证明.

图1图2

题组C培优拔尖练

-.填空题（共5小题）

1.（2021秋•新抚区期末）如图，比是边长为3的等边三角形，炼/C上且力£=2,〃是直线比

上一动点，线段遮点侬时针旋转90°,得到线段"'，连接以；AF,下列结论：

①加的最小值为逅：

2

②"的最小值是1+返；

2

③当09=1时，DEHAB；

④当龙〃4周寸，DE=X.正确结论的题号是.

2.（2021秋•思明区校级期中）如图，在RtZ∖48C中，N4CB=9Q°,AB=5,8C=3,将△力比绕

点例页时针旋转得到BC,其中点力、C的对应点分别为点片、C,连接4∕'、CC,

直线Cr交A4'于点〃，点£为水的中点，连接应：则外的最小值为.

3.（2021•西湖区校级三模）如图，已知Rt△戊况AACB=WQ,/5=60°,^C=4√3）点外E

。所在直线上运动，以/妫边作等边三角形4%则6S=.在点〃运动过程中，Q的最

小值•

4.（2021春•龙岗区期末）如图，等腰式中，N%U150°,龌/6上一点，AD=I,BD=K

6点在边比上，若点浚点碘时针旋转15°的对应点，恰好在则段的长度为.

D

BEC

5.（2019春•市南区期中）如图，一“L”型纸片是由5个边长都是IOC涌正方形拼接而成，过点

/的直线分别与46,於交于点、P,Q,且“L”型纸片被直线/铝分成面积相等的上下两部分，将

该纸片沿阳，CH,DI,村成一个无盖的正方体盒子后，点尺4之间的距离为cm.

J

O

二.解答题（共7小题）

6.（2021秋•沙坪坝区校级期末）（1）如图1,在6X6正方形网格中，有一格点（即448C

三个顶点都在小正方形的顶点处），其面积为7e√,则这个方格纸的面积等于CRh

（2）若点的是图1中不同于点C的一个格点，且△?）式的面积与4∕I8描面积相等，则满足条件

的点"⅛∙个；

（3）如图2,在12X12正方形网格中，每个小正方形的边长为1,给定了点〃，£的位置，请先

画一个△加R使OF,牙的长分别为√F,2√5,再画哄于点〃成中心对称的

Γ

L

I

L

I

I

r

I

r

L

I

U

I

r

I

F

L

I

L

图1

7.（2021秋•阳东区期中）直角坐标系第二象限内的点P（V+2x,3）与另一点0（户2,y）关于

原点对称，试求产2郝值.

8.（2019春•港南区期中）如图，在△/α中，点龌45边上的中点，已知46=4,BC=6,

（1）画出486Z决于点Z⅛勺中心对称图形；

（2）根据图形说明线段⑺长的取值范围.

9.（2017•中原区校级三模）有这样一个问题：探究函数y=^_的图象与性质.

2x+2

下面是小强的探究过程，请补充完整：

2

（1）函数尸的自变量X的取值范围；

2x+2

（2）如表是y与对勺几组对应值.

X•••-5-4-3-20123…

…

y.25__8__9-20ɪ2_9•••

T3^Iɪ3^8^

如图1,在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为目2标的点

①观察图中各点的位置发现：点4和A，心和区，A和区，4和其均关于某点中心对称，则该点

的坐标为；

2

②小文分析函数y=二一的表达式发现：当x<-l时，该函数的最大值为-2,