北京市顺义区2023届高三一模数学试题（解析版）

顺义区2023届高三第一次统练

数学试卷

考生须知：

1.本试卷共5页，共两部分，第一部分共10道小题，共40分，第二部分共U道小题，共

110分，满分150分.考试时间120分钟.

2.在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号.

3.试题《答案】一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1,已知集合A={-2,T,0},5={x卜3<x≤τ},则AIB=()

A.{-1}B.{-1,0}C.{-2,—1}D.{-2,0}

K答案1c

K解析D

K祥解1直接由集合的交集运算得出K答案U.

详析IIQA={—2,T,0},β={x∣-3<%≤-l},

AB={-2,-↑},

故选：C.

2.在复平面内，复数Z对应的点的坐标为(1,-1),则i∙z=()

A.l+iB.-l-iC.1-iD.-l+i

K答案』A

K解析H

"羊解》根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果.

K详析D因为复数Z对应的点的坐标为(1,-1),则z=l-i

所以i∙z=ix(l-i)=i+l

故选:A

3.∖2X-M的展开式中的常数项为()

IXJ

A.-24B.-6C.6D.24

K答案XD

K解析H

K祥解2利用二项展开式通项公式求出展开式的通项，令X的指数为O求出，•，将厂的值代入通项求出展

开式的常数项.

K详析D解：二项式展开式的通项为4M=(T)'2JC%4-2"

令4一2厂=0,解得r=2,

所以展开式的常数项为4C：=24.

故选：D

4.若等差数列｛叫和等比数列｛5｝满足q=4，4="=2,4=16,则｛%｝的公差为()

A.1B.-IC.-2D.2

K答案UA

K解析H

K祥解D根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解.

K详析》设等差数列｛《,｝的公差为d,等比数列｛〃,｝的公比为q

∙.∙a2=b2=2

:.%+d=t∖∙q,又%=t∖

4+d=%∙q=2

rt,3

又.b5=b['C｛-ax-q=(alq)∙c[=2q=16

.∙.g=2,α∣=I,d—1

故选：A

5.函数/(x)=e'-eτ的大致图象是()

R解析】

K祥解』分析给定函数f(χ)的奇偶性、单调性即可判断作答.

K详析1函数/(x)=e*-e一定义域为R,f(-x)=ex-QX=-(ex-e-x)=-f(x),函数/(工)是R上的

奇函数，

函数/(x)的图象关于y轴对称，选项A,D不满足；

因函数y=e'在R上单调递增，y=e-*在R上单调递减，则函数AX)在R上单调递增，选项C不满足,

B满足.

故选：B

22

6.若双曲线C：「—[=l(α＞方＞0)的离心率为e,则e的取值范围是()

a~b~

A.(1,2)B.(√2,+∞)C.(1,√2)D.(2,+∞)

R答案UC

K解析》

K样解Il根据双曲线离心率的知识求得正确K答案』.

K详析》e=£

a

h(b^(b∖

由于a>6>0,所以0<—<l,0<∣—<1,1<1+—<2

a∖a)∖a)

所以e1l+(£|e(l,ʌ/ŋ,

故选：C

7.已知α,∕∈R,则"存在％∈Z使得α=(2Z+l)兀+/7”是“cosα+cosA=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

K答案》A

K解析X

R祥解》由诱导公式和余弦函数的特殊函数值，结合充分、必要条件知识进行推理可得.

R详析U若存在左∈Z使得α=(2A+l)兀+£,

则8sɑ=cos[2Z+l)兀+4]=cos(2^π+π+⑶=cos(兀+m=-cosβ,

*

..cosa=-cosyff,即cosa÷cos∕7=0,

/.存在左∈Z使得a=Qk÷l)π+/?=>cosα+cos4=0,

・・・”存在k∈Z使得α=(2R+l)π+4”是“cosa+cos尸=0”的充分条件;

Jl

当α=∕J=5时，cosa-cosβ,此时

COSa+cos∕?=O%存在左∈Z使得a=(2Zc+l)π+/?,

.∙.”存在ZeZ使得ɑ=(2A+l)π+/”不是"cosc+cos∕7=0”的必要条件.

综上所述，“存在左eZ使得。=(2攵+1)兀+£”是“cosα+cos£=O”的充分不必要条件.

故选：A.

8.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.PeUkert于1898年提

出蓄电池的容量C(单位：Ah).放电时间r(单位：h)与放电电流/(单位：A)之间关系的经验公

式：C=∕"∙f,其中"为PeUkert常数.为测算某蓄电池的PeUkert常数”，在电池容量不变的条件下，

当放电电流/=2OA时.，放电时间∕=2()h;当放电电流/=5OA时.，放电时间f=5h∙若计算时取

Ig2a0.3,则该蓄电池的PeUkert常数"大约为()

A.1.67B.1.5C.2.5D.0.4

K答案DB

R解析H

20"X20=C/S、"

R祥解》由己知可得出〈,可得出ɪ=4.利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的

50,,×5=C

运算法则计算可得〃的近似值.

20,1×20=C(5丫

K详析D由题意可得〈„,所以，20"χ20=5()"x5,所以，1=4,

50,,×5=C{2)

14Ig421g221g22×0.3,.

所以,To噌不二”=ErErI$

218Ξlg7

故选：B.

9.在棱长为1的正方体ABCD-A片GA中，动点P在棱AM上，动点Q在线段BG上、若

AxP=λ,BQ=μ,则三棱锥Di-APQ的体积（）

A.与；I无关，与〃有关B.与丸有关，与〃无关

C.与九〃都有关D.与都无关

K答案HD

K解析H

R祥解H根据G。得出AA〃平面ABGA,所以点P到平面ABG。的距离也即Afi1到平面

的距离，得到点P到平面AQR的距离为定值，而底面AQR的面积也是定值，并补随BQ的变化

而变化，进而得到K答案》.

K详析D因为ABCZ）-AAG。为正方体，所以CQI//A4

因为ClAU平面ABCtD],AMa平面ABClDi,所以人用〃平面ABCtDi,

所以点尸到平面ΛBCtDl的距离也即A1B1到平面ABC1D1的距离，也即点P到平面AQDt的距离不随

AP=九的变化而变化，设点P到平面AQ2的距离为m过点A作AA,根据正方体的特征可知:

AB人平面49。同，因为AFU平面ADAA，所以AB_LAF,ABADi=A,所以Λl尸，平面

ABCiDl,则有〃=A尸=正

2

因为GA//AB且GA=A8,所以四边形ABG。为平行四边形，所以BC"∕AA,

所以点。到AA的距离也即8G到ADJ的距离，且距离为I,所以S,“〃=工XANXl=也（定值），

az7∣v2*2

所以%「仍？=%∕A°=；SAD、Q∙h=gx与X与=W（定值），

则三棱锥P1-APQ的体积不随4与〃的变化而变化，也即与与九〃都无关.

故选：D.

10.已知点A,B在圆O:/+y2=]6上，且∣A8∣=4,尸为圆。上任意一点，则AB∙BP的最小值为（）

A.0B.-12C,-18D.-24

K答案DD

K解析H

K祥解2由题可设A（—2,2@,8（2,26），P（4cosα,4sinα）,然后根据向量数量积的坐标表示及三

角函数的性质即得.

K详析》因为点A,B在圆O:V+y2=]6上，且IABI=4,P为圆。上任意一点，

则ZAOB=1，设4—2,26),8(2,27§),P(4cosα,4sinα),

所以AB=(4,0),BP=^4cosof-2,4sinσ-2V3j,

所以AB∙BP=4(4cosa_2)=16cos二-8∈[-24,8],

即ABBP的最小值为—24

故选：D.

Kr点石成金9方法r点石成金』：向量数量积问题常用方法

一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解；

二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.

第二部分(非选择题共UO分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数/(x)=Ig(X+1)+」一的定义域为.

X-1

K答案H(-1,1)(l,4w)

K解析R

K祥解H根据题意，列出不等式，求解即可得到结果.

R详析H因为函数/(x)=Ig(X+1)+」一

X-I

x+1>0

则V1八，解得x>-l且XWl

x-l≠0

所以函数的定义域为(1,+8)

故R答案』为：(-l,l)U(l,4w)

12.已知圆/：/+,2一2%-8=0,点4、8在圆”上，且尸(0,2)为AB的中点，则直线AB的方程为

K答案1x-2y+4=0

K解析』

K祥解》根据垂径定理得到PM_LAB,根据两直线垂直时斜率的关系得到心B，

然后利用斜截式写直线方程，最后整理一般式即可.

K详析DM:%2+y2—2x—8=0可整理为(x—lf+y2=9,

所以圆心为"(1,0),根据垂径定理可得PM,ΛB,kpM=——=—2,

I-O

所以原8=；，直线AB的方程为y=gx+2整理得x-2y+4=°∙

故K答案』为：x-2),+4=0

13.若存在XeR使得f+2χ+m≤o,则，〃可取的一个值为.

K答案IlI((F,1］内的任一值均可)

K解析H

K祥解』根据题意可知：函数/。)=/+2%+加有零点，则A=4—4m≥0,解之即可，在所得到的范

围内任取一个值即可求解.

K详析D因为存在XeR使得χ2+2χ+m≤o,

也即函数/(x)=f+2x+m有零点，则有A=4-4mN0,解得：mi,∖,

所以〃?可取(-∞,1］内的任意一个值，取加=1,

故K答案』为：L((一8』内的任一值均可)

14.在「ABc中，^sinB=V3⅛cosA>a=V19>b=2,则A=，C=.

K答案H①.⅛60②.5

K解析』

K样解Il利用正弦定理化简可得出tanA的值，结合角A的取值范围可得出角A的值；利用余弦定理可得

出关于C的等式，结合c>0可得出C的值.

R详析》因为"sin3=J8bcosA，由正弦定理可得SinASinB=GSinBCOsA，

因为A、B∈(0,π),则SinB>0,所以，SinA=百CoSA>0，则tanA=百，故力=方，

由余弦定理可得/CCOSA，即c2-2c-15=0，Qc>O,解得c=5.

故K答案2为：一；5.

3

15.如果函数/(x)满足对任意s,∕e(0,+8),有/(s+a<∕(s)+∕Q),则称/(X)为优函数.给出下列

四个结论：

①g(x)=ln(l+x)(x>())为优函数；

②若/(x)为优函数，则/(2023)<2023/(1)；

③若/(x)为优函数，则/(x)在(0,+∞)上单调递增；

④若F(x)=以2在(0,+∞)上单调递减，则/(X)为优函数.

X

其中，所有正确结论的序号是.

K答案，①②④

K解析H

K样解D①计算出g(s)+g(f)-g(s+f)=ln1+-——>In1=0,故g(s)+g(f)>g(s+f),得到

∖JL^τ^ɔ十IJ

①正确；

②赋值法得到2/(1)>/(2),3/(1)>/(3),依次类推得到/(2023)<2023/⑴；

③举出反例；

④由F(X)=丛。在。+8)上单调递减，得至IJ/(S+”<2,/C+')<四,整理变形后相加得到

XSΛ-tS5+Zt

(5+r)∕(5+r)<(5+z)[∕(5)+∕(/)],即/(s+r)<∕(s)+∕(r),④正确.

K详析H因为s,r∈(0,+s),

所以g(s)+g(∕)-g(s+t)=In(I+s)+In(I+r)-ln(l+s+f)=

,l+s+t+st.(.st)

=In--------------=In1+--------->1In1l=nO,

1+s+fI1+s+tJ

故g(s)+g(r)>g(s+f),故g(x)=ln(l+x)(x>O)是优函数，①正确；

因为/(x)为优函数,故〃1)+"1)>∕(1+1),即2∕(1)>”2),

"2)+"l)>∕(2+l)=∕(3),故3∕(1)>∕(3),

同理可得4/⑴>44),……，2023/(1)>/(2023),②正确；

例如f(x)--x2,x>0,满足/(s+a-∕(s)-∕Q)=-(s+r)2+.y2+/=-2st<O,

即/(s+f)<∕G)+∕Q),为优函数，但〃X)=T2在XG(O,+。。)上单调递减,

故③错误；

若F(x)=2区在(0,+∞)上单调递减，

X

任取s,t∈(0,+∞),s+t>s,s+t>t,

则E(S+/)<F(s),F(S+O</⑺，即"7)<也,/丁)<华，

J

变形为4(s+。<(s+f)/(s),货(s+f)<(s+/)/G),

两式相加得：(s+f)∕(s+f)<(s+f)[∕(s)+/(，)],

因为s+f>0,所以y(s+f)<∕(s)+∕(f),

则/(X)为优函数，④正确.

故K答案』为：①②④

Kr点石成金D函数新定义问题的方法和技巧:

(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用

书上的概念.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(χ)=Asinxcosx-GcosZx的一个零点为我.

6

(1)求A和函数/(χ)的最小正周期；

(2)当Xe0,|时，若/(X)4根恒成立，求实数”的取值范围.

K答案，(1)A=2;π

(2)[2,+∞)

K解析U

K样解U(I)解方程/(i)=0即可求A,然后把函数/(X)降塞辅助角公式后再求周期.

(2)若/(X)<"2恒成立，即求/(x)nm

K小问1详析》

f(x)=ASinXCOSX-JCoS2x的一个零点为百

6

∙∙∙∕[g]=Asing∙cosB-6cos1=0,即A∙L∙3-g∙L=0,.∙.A=2

⑹663222

.,./(x)=2sinX∙cosx-y∣3cos2x=sin2x-ʌ/ɜcos2x=2sin2x--

所以函数/(x)=2sin∣2x-1J的最小正周期为夸=兀.

K小问2详析』

Cπ

x∈0,—

2

兀2兀

∙,∙2x^ie3,T

当2x—L时有最大值,即/(x)max=2sin^=2.

若/(ɪ)≤m恒成立，即/(©max≤，”，

所以m≥2,故阳的取值范围为［2,+∞).

17.为调查A,B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物8的

患者的康复时间，经整理得到如下数据：

康复时间只服用药物A只服用药物B

7天内康复360人160人

8至14天康复228人200人

14天内未康复12人40人

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立.

(1)若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；

(2)从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复

的人数，求X的分布列和数学期望：

(3)从只服用药物4的患者中随机抽取100人，用“Ex)(Q”表示这100人中恰有&人在14天内未康复的

概率，其中攵=0,1,2,,100.当月OO(Q最大时，写出人的值.(只需写出结论)

R答案』(1),49

(2)分布列见K解析数学期望为1

(3)2

K解析H

K祥解II(I)结合表格中数据求出概率;

（2）先得到只服用药物4和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到X的可能取值及相应的概率，得

到分布列和期望；

（3）求出只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到

/o（幻=CoO（弓），列出不等式组，求出结合左∈N得到K答案》.

K小问1详析』

只服用药物A的人数为360+228+12=600人，且能在14天内康复的人数有360+228=588人，

CQQ49

故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为三=F；

60050

R小问2详析U

只服用药物A的患者7天内康复的概率为黑=?,

只服用药物B的患者7天内康复的概率为—————=-,

160+200+405

其中X的可能取值为0』,2,

132上

P(X=I)=

5j525

c∕"c∖326

P(X=2)=—X—=——

`75525

则分布列为：

X012

6136

P

252525

数学期望为EX=OX——+lx，+2x——=l

252525

R小问3详析』

121

只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为——=—

60050

IOo-It

149

Ioo(Q=C；,Λ=0,1,2,,100

5050

%(Q*伏+1)

令＜00

书OO(Qz/0(ZT)'

50

解得：V因为攵eN,所以攵=2.

50

18.如图，在四棱锥产一ABC。中，侧面PA。为等边三角形，AB=BC=-AD=X,

2

NfiAO=NABC=90°,E是PZ）的中点.

(I)求证：直线CE〃平面Z¾jβ;

(2)已知，点M在棱PC上，且二面角M—AB—O的大小为30。，再从条件①、条件②这两个条件中选

CM

择一个作为已知，求——的值.

CP

条件①：平面R40_L平面ABCr＞；

条件②：PC=PD.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

R答案W(I)证明过程见详析

⑵-

3

R解析2

K祥解D(I)根据中位线定理和线面平行判定即可求解；(2)根据线面垂直的判定或性质，以及建立空间

直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值即可进一步得解.

R小问1详析Il

,Λ∕

CB

取∕¾中点F,

连接ERB几

因为E是P。的中点，尸是网中点,

所以ER是中位线，

所以石户平行且等于AO的一半，

因为N84O=NABC=90°,

所以BC平行于A。，

又BC='AO,

2

所以ER与BC平行且相等，

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以CE平行于B凡

而CE(Z平面

平面/¾B,

所以直线CE〃平面Z½β.

K小问2详析?

若选①：平面∕¾r＞，平面ABC

取A。中点0,

因为侧面PAO为等边三角形，

所以POl平面ABCD,

易证OC_L平面AO，

以。点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-型,

A(—1,0,0),3(-1,1,0),C(0,l,0),P(0,0,®

所以M(X,y,z),CP=(0,T,6)

所以CM=(X,y,z)=;ICP=X((),—l,√i),

x=0,

所以＜y=-Λ,

z=ʌ/ɜ/,

所以M(O,-;l,G∕l),

所以M4=(-1,%—百;I),MB=(-l,l+2,-√32),

设平面MAJB的一个法向量为nɪ=(xl,yl,zl),

κiy∙MA—(X],X,Z])(—1,λ,—∙∖∕3Λ)———x1+y∣4—y∕3z^Λ——0

所以

/2]∙MB=(X],ʃɪ,Zj)(—1,1+λ,~y∕3Λ')=—九]+X(1+Λ)—∙∖∕3z∣Λ=0

令Zl=1,

Λ∣-—∖∣3λ,

解得＜X=O，

Zl=I

所以勺=(-G4o,i),

易知地面一个法向量为，”=(0,0,1),

又二面角M—AB—。的大小为30。,

√3

所以CoS/e'励∖=m丽∙π1=E1

^2^,

所以c。S/e,〃)∖=丽m∙n.=R1√3

V

解得∕l=±!,

3

又点M在棱PC上，所以∕l>(),

所以/I=',

3

所以空的值为;.

CP2

若选②:

因为侧面PAo为等边三角形，

所以Pol平面A。，

连接0A,OC,0D,

易知/Q4三一POB三一POD,

所以NPQA=NPOB=NPoQ=90，

以。点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z,

A(-l,0,0),B(-l,l,0),C(0,l,0),P(0,0,√i),

所以M(x,y,z),CP=((),7,6)

所以CM=(x,y,z)=ACP=2(0,-1,√3),

x=0,

所以<y=T,

z—∖∣3λ,

所以M(O,-;1,百口)，

所以MA=(—1,九一百㈤,MB=(-l,l+2,-√3Λ),

设平面的一个法向量为

MASn1=(Xl,y,z∣),

n-MA-(%,y,z)(-1,λ,-∖∣2>λ)--x+yλ-布>z7-0

所以《ll1ll

λi∣∙MB—(Λ∣,y∣,Z])(-1,1+Λ,—y/32.)——x∣+ʃɪ(1+Λ)—y]3z^A,=0

令Z=1,

N=-∖[τ>λ

解得,y=0

Zl=I

所以n1=(-G∕l,O,l),

易知地面一个法向量为机=(O,O,l),

又二面角M—AB—O的大小为30。，

/∖m∙n1√3

所以C曲,相丽λ=R-,

/∖m∙n,1_7|

所以cos(m,=

√322+l

解得;ι=±L,

3

又点M棱PC上，所以4>(),

所以χ=L

3

所以色■的值为

CP3

19.已知函数/(ɪ)=(%—2)ex-∙^-(%-l)2,<2∈R.

(1)当α=2时，求曲线y=/(χ)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)求函数/(χ)的单调区间.

K答案》(1)y=x-3

(2)K答案』见K解析D

R解析H

K祥解Il(1)当α=2时，求出函数/*)的导函数/'(X),利用导数的几何意义求出x=()处的切线的斜率,

利用点斜式求出切线方程；

(2)对“进行分类讨论，由此求得Ax)的单调区间.

K小问1详析』

当α=2时，/(%)=(χ-2)ev-(x-l)2,

所以f(x)=(x-De*-2(x-l)

又因为/(0)=(0-2)eo-(0-l)2=-3,k=∕,(O)=(O-l)eo-2(0-1)=1,

所以/(χ)在(0,7(0))处的切线方程为y+3=x-0,即y=x-3

K小问2详析』

由题意知，/(X)的定义域为R

∕,(x)=(x-l)ev-a(x-1)=(X-IXe*-a)

①当α≤0时，ev-Ω>0.则当x<l时/'(x)<0,当x>l时/'(x)>O,

所以Ax)在(一8,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；

②当α>O时,由/'(X)=O得X=I或X=Ina,

(i)若α=e,则/'(χ)=(χ-l)(e*-e)20,所以F(X)在R上单调递增，

(H)若O<α<e,贝IJIna<1,

所以当x<ln0或x>l时/'(x)>0,当Ina<x<l时/'(x)<0,

所以/(χ)在(Ina,l)上单调递减，在(-8,In4)和(1,+力)上单调递增，

(iii)若α>e,则Ina>1,

所以当x<l或x>In0时f'(x)>0,当l<x<ln0时f'(x)<O,

所以/S)在(1,In。)上单调递减，在(-∞,1)和(Ina,+∞)上单调递增，

综上所述，当α≤0时，/S)的单调递减区间是(一8,1),单调递增区间是(1,+“)；

当0<α<e时，/(χ)的单调递减区间是(In«,1),单调递增区间是(-8』nd)和(1,+。)；

当α=e时，/(χ)的单调递增区间是(T»,+s),无单调递减区间；

当α>e时，/(幻的单调递减区间是(1,Ina),单调递增区间是(一8,1)和(Ina,+8).

20.已知椭圆。：《+太=13>匕>0)经过点［1,孝)，离心率为乎.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线Ly=自+/QwO)与椭圆C相交于A,B两点，。为坐标原点.若以OAOB为邻边的平行四

边形Q4P3的顶点尸在椭圆C上，求证：平行四边形QAP3的面积是定值.

K答案D(1)—+√=1

2

(2)证明见K解析》

K解析U

"羊解II(I)由题意可得关于α,b,C的方程组，求得“，〃的值，则椭圆方程可求：

(2)联立直线方程与椭圆方程，化为关于X的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形04尸B是平行

堂;土利用弦长公式求得∣∣再由点

四边形，可得P点坐标，把尸点坐标代入椭圆方程，得到广A8,

到直线的距离公式求出点。到直线/的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形QV归的面积为定

值.

K小问1详析』

1

1

_.ɪ=1

a2b2

∕τ

由题意，可得〈—=~τ~，解得/=2，Z?2=1，c2=1，

a2

a2=b2^c2

2

所以椭圆为工+丁=1.

2-

K小问2详析』

证明：把y=H+f代入椭圆方程土+V1,

2-

得(2公+1)》2+43+2产一2=0,

所以A=(48)2—4(2炉+1)(2『—2)=16/一8产+8>(),即t2<2k2+l,

Akt2r-2

设A(%,j),B(X2,%)，则%+/=-X/=—;——

12⅛2+l,-2⅛2+l

2t

所以y+%=M%+尤2)+2/=2

乙K十1

因为四边形。是平行四边形,

4kt2t

所以。P=OA+。B=(Xl+x,y+%)=∣一

2i2k2+l'2k2+lJ,

(4k∕2t\

所以P点坐标为一讨'充工T.

又因为点。在椭圆上,

22

8⅛Z4»=1,即心T

所以(2如+I?+(2^+1)2

因为∣A3∣=，4+左2卜]-x21=J+攵2J(M+%)2-X1X2，

∖6k^t24(2产-