第11讲 对数与对数函数（解析版）

第11讲对数与对数函数基础知识1.对数的概念(1)定义:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的,记作b=logaN,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数,logaN称为对数式.

(2)常用对数与自然对数以为底的对数称为常用对数,即log10N是常用对数,通常简写为.

以无理数e=2.71828…为底的对数称为,自然对数logeN通常简写为.

2.对数的性质(1)loga1=;

(2)logaa=1;(3)aloga3.对数的运算法则与换底公式(1)运算法则:a>0且a≠1,M>0,N>0loga(MN)=;

logaMα=(α∈R);

logaMN=(2)换底公式与推论换底公式:logab=logcblogca(a>0且a≠1,推论:logambn=,logab=4.对数函数的概念、图象与性质概念函数y=logax(a>0且a≠1)称为函数

底数a>10<a<1图象定义域

值域

性质过定点,即当x=1时,y=0

在区间(0,+∞)上是函数

在区间(0,+∞)上是函数

5.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线对称.

1.(1)对数(2)10lgN自然对数lnN2.(1)0(3)N3.(1)logaM+logaNαlogaMlogaM-logaN(2)nmloga4.对数(0,+∞)R(1,0)增减5.y=logax(a>0且a≠1)y=x常用结论1.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.2.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.分类训练探究点一对数式的化简与求值例1(1)设g(x)=ln(2x+1),则g(4)-g(3)+g(-3)-g(-4)= ()A.-1 B.1 C.ln2 D.-ln2(2)(多选题)若10a=4,10b=25,则 ()A.a+b=2 B.b-a=1C.ab>8(lg2)2 D.b-a>lg6例1[思路点拨](1)g(4)-g(3)+g(-3)-g(-4)=[g(4)-g(-4)]+[g(-3)-g(3)]=ln24+12-4+1+ln2-3+123+1,再进行化简,从而得答案.(2)由10a(1)C(2)ACD[解析](1)g(4)-g(3)+g(-3)-g(-4)=[g(4)-g(-4)]+[g(-3)-g(3)]=[ln(24+1)-ln(2-4+1)]+[ln(2-3+1)-ln(23+1)]=ln24+12-4+1+ln2-3+123+1=(2)由10a=4,10b=25,得a=lg4,b=lg25,∴a+b=lg4+lg25=lg100=2,ab=4lg2·lg5>4lg2·lg4=8(lg2)2,b-a=lg25-lg4=lg254,∵lg10=1>lg254>lg6,∴b-a>[总结反思](1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.(2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.变式题(1)已知x,y∈N*,则log2xy= (A.xlog2y B.logC.2logxy D.lo(2)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10-10.1(3)log312×log49+lg52+2lg2=变式题(1)B(2)A(3)0[解析](1)log2xy=log2(2)设太阳的星等为m1,天狼星的星等为m2,则m1=-26.7,m2=-1.45,则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25.因为m2-m1=52lgE1E2,所以lgE所以E1E2=1010(3)log312×log49+lg52+2lg2=-lg2lg3×lg3lg2+lg52+lg4=-1+lg52×4=-1+探究点二对数函数的图象及应用例2(1)函数y=1log3x图2-11-1(2)已知x1是方程2x+2x=5的根,x2是方程2x+2log2(x-1)=5的根,则x1+x2= ()A.72 B.3 C.52 D例2[思路点拨](1)根据特值,以及函数单调性即可容易判断;(2)利用互为反函数的同底指数、对数函数图象的对称性解决问题.(1)D(2)A[解析](1)当x=3时,y=1,即函数图象过点(3,1),排除A;因为y=log3x为增函数,所以y=1log3x在(0,1)和(1,+∞(2)由2x+2x=5,得52-x=2x-1,x1即为函数y=52-x与y=2x-1图象的交点A的横坐标.由2x+2log2(x-1)=5,得52-x=log2(x-1),x2即为函数y=52-x与y=log2(x-1)图象的交点B的横坐标,作出函数y=2x-1,y=log2(x-1),y=x-1,易知A,B关于直线y=x-1对称,则直线y=52-x与直线y=x-1的交点P74,34即是线段AB的中点,由中点坐标公式可得74=x1+x22,所以x[总结反思](1)在研究对数函数图象时一定要注意其定义域.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.变式题(1)定义:N{f(x)g(x)}表示f(x)<g(x)的解集中整数的个数.若f(x)=|log2x|,g(x)=a(x+1)2+1,且N{f(x)g(x)}=1,则实数a的取值范围是 ()A.-14,0 B.-14,0C.(-∞,0] D.-1,-14(2)已知函数f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,则f(a)a,f(bA.f(c)c<f(b)b<fC.f(c)c<f(a)a<f变式题(1)B(2)B[解析](1)当a>0时,易知f(x)<g(x)的解集中有无数个整数,不满足题意,所以a≤0.作出f(x),g(x)的图象,如图所示.由题知g(1)=4a+1>0,g(2)=9a(2)作出函数f(x)=log3(x+2)的图象,如图所示.由图象可知y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为a>b>c>0,所以f(a)a<f探究点三解决与对数函数性质有关的问题 微点1比较大小例3(1)设a=log23,b=ln3,c=12

log30.3,则A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a(2)(多选题)已知x>0,y>0,z>0,若-1<log3x=log5y=log7z<0,则()A.z<y<x B.x<z<yC.3x<5y<7z D.5y<3x<7z例3[思路点拨](1)根据指数函数和对数函数的性质求解.(2)设log3x=log5y=log7z=t,则x=3t,y=5t,z=7t,再利用y=xt在(0,+∞)上的单调性进行比较;由3x=3t+1,5y=5t+1,7z=7t+1,利用y=xt+1在(0,+∞)上的单调性进行比较.(1)B(2)AC[解析](1)因为1=log22<a=log23<log24=2,1=lne<b=ln3<lne2=2,所以a,b∈(1,2),又ab=log2e>1,所以b<a,又c=12

log30.3=2log3(2)设log3x=log5y=log7z=t,所以x=3t,y=5t,z=7t,因为-1<log3x=log5y=log7z<0,所以-1<t<0,所以y=xt在(0,+∞)上是减函数,所以z<y<x,而3x=3t+1,5y=5t+1,7z=7t+1,y=xt+1在(0,+∞)上是增函数,所以3x<5y<7z,故选AC.[总结反思]比较对数式的大小,一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较,二是采用中间值0或1等进行比较,三是将对数式转化为指数式,再将指数式转化为对数式,通过循环转化进行比较.微点2解简单的对数不等式例4(1)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,A.(-∞,-ln2]∪(0,e]B.(-∞,-ln2)C.(0,e]D.(-∞,-ln2)∪(0,e)(2)若loga(a+1)<loga(2a)<0(a>0,a≠1),则实数a的取值范围是.

例4[思路点拨](1)根据分段函数,分x≤0或x>0两种情况,分别根据指数函数和对数函数的性质求解即可;(2)由均值不等式可得a+1>2a,结合对数函数的单调性可求解.(1)A(2)14,1[解析](1)当x≤0时,由f(x)≤12得ex≤12,解得x≤-ln2;当x>0时,由f(x)≤12得lnx≤12,解得0<x≤e.综上,x≤-ln2或0<x≤(2)由a>0且a≠1,可得a+1>2a,结合loga(a+1)<loga(2a),可得0<a<1,由loga(2a)<0,得2a>1,所以14<a<1[总结反思]对于形如logaf(x)>b的不等式,一般转化为logaf(x)>logaab的形式,再根据底数的范围转化为f(x)>ab或0<f(x)<ab.而对于形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.微点3对数函数性质的综合问题例5(1)若2x+log2x=4y+2log4y,则 ()A.x>2y B.x<2yC.x=2y D.x与2y的关系不确定(2)已知函数f(x)=ln(x-a),若∃x1,x2∈(a,+∞),使得[x1-f(x2)]2+[x2-f(x1)]2=4,则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,2-1] B.-∞,22C.(-∞,2] D.(-∞,2]例5[思路点拨](1)设f(x)=2x+log2x,利用f(x)的单调性即可得到答案;(2)根据题意,[x1-f(x2)]2+[x2-f(x1)]2表示两点(x1,f(x1)),(f(x2),x2)间距离的平方,利用分类讨论和数形结合的思想求出a的取值范围.(1)B(2)A[解析](1)由题意,2x+log2x=4y+2log4y,可化为2x+log2x=22y+log2y,又由22y+log2y<22y+log2y+1=22y+log2(2y),所以2x+log2x<22y+log2(2y).令函数f(x)=2x+log2x,易知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,由2x+log2x<22y+log2(2y),得f(x)<f(2y),所以x<2y.故选B.(2)令t=f(x2),S(x1,x2)=[x1-f(x2)]2+[x2-f(x1)]2,则S(x1,x2)为两点(x1,f(x1)),(t,et+a)间距离的平方,画出y=f(x)=ln(x-a)与y=ex+a的图象,如图所示.设A(1+a,0),B(0,1+a),两函数图象在A,B处的切线斜率都为1,kAB=-1,当a>-1时,可知|AB|2为S(x1,x2)的最小值,即4≥[2(a+1)]2,解得-1<a≤2-1.当a≤-1时,显然成立,故a≤2-1.故选A.[总结反思]利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.▶应用演练1.【微点1】已知a=log52,b=log72,c=0.5a-2,则a,b,c的大小关系为 ()A.b<a<c B.a<b<cC.c<b<a D.c<a<b1.A[解析]因为a=log52=lg2lg5,b=log72=lg2lg7,而函数y=lgx为(0,+∞)上的增函数,所以0=lg1<lg2<lg5<lg7,所以a>b,又因为0=log51<log52<log55=1,故可得a-2<0,则0.5a-2>1.综上所述,b<a<c.2.【微点3】如图2-11-2,点O为坐标原点,点A(1,1),若函数y=ax(a>0且a≠1)及y=logbx(b>0且b≠1)的图象与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,则 ()图2-11-2A.a<b<1 B.b<a<1C.b>a>1 D.a>b>12.A[解析]因为A(1,1),且M,N恰好是线段OA的两个三等分点,所以M13,13,N23,23,由13=a13,解得a=127,由23=logb23,解得b=23

33.【微点3】函数f(x)=log0.5(x2-2x)的单调递增区间是.

3.(-∞,0)[解析]由x2-2x>0,解得x>2或x<0,∴函数f(x)=log0.5(x2-2x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),又y=log0.5x在(0,+∞)上单调递减,y=x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,∴函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0).4.【微点2】对任意实数x,都有loga(ex+3)≥1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是.

4.(1,3][解析]由题意得loga(ex+3)≥1=logaa,因为ex+3>3恒成立,所以a>1且a≤ex+3对任意实数x都成立,所以1<a≤3,即a的取值范围是(1,3].5.【微点3】已知函数f(x)=|log2x|,实数a,b满足0<a<b,且f(a)=f(b),若f(x)在[a2,b]上的最大值为2,则1a+b=

5.4[解析]作出函数f(x)=|log2x|的图象,如图所示,由题意结合函数图象可知0<a<1<b,则0<a2<a<1<b,据此可知函数f(x)在区间[a2,b]上的最大值为f(a2)=|log2a2|=2,解得a=12或a=2(舍去),则f(b)=|log2b|=f(a)=1,可得b=2,故1a+b=同步作业1.函数f(x)=log(x-2)(3-x)的定义域是 ()A.(2,3) B.(2,+∞)C.(-∞,3) D.(2,3)∪(3,+∞)1.A[解析]要使函数有意义,则3-x>0,x2.已知集合A={x|-1<x<1},B={x|lnx≤1},则A∩B= ()A.(-1,e] B.(0,1]C.(0,e] D.(0,1)2.D[解析]由题意得B={x|lnx≤1}={x|0<x≤e},所以A∩B={x|-1<x<1}∩{x|0<x≤e}={x|0<x<1}=(0,1).故选D.3.函数f(x)=lg(x2-1)-lg(x-1)在[2,9]上的最大值为 ()A.0 B.1C.2 D.33.B[解析]由x2-1>0,x-1>0,得x>1,所以函数f(x)的定义域为(1,+∞),f(x)=lg(x2-1)-lg(x-1)=lg(x+1),故f(x)在区间[2,9]上是增函数,所以函数f(x)在[2,9]上的最大值为f(9)=lg(9+1)=4.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数;1637年笛卡尔开始使用指数运算;1770年,欧拉发现了指数与对数的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数,称为历史上的珍闻.若2x=52,lg2=0.3010,则x的值约为 (A.1.322 B.1.410C.1.507 D.1.6694.A[解析]∵2x=52,∴x=log252=lg5-lg2lg2=1-5.化简:log2.56.25+lg0.001+2lne-21+log25.-6[解析]log2.56.25+lg0.001+2lne-21+log23=log2.56.25+lg0.001+lne-(2×2log23)=2+lg10-3+1-6=2-6.函数f(x)=cosx·log21-x1+x图K11-16.A[解析]由1-x1+x>0,得-1<x<1,故f(x)的定义域为(-1,1).由f(-x)=cos(-x)·log21+x1-x=cosx·log21-x1+x-1=-cosx·log21-x1+x=-f(x),得函数f(x)为奇函数,故其图象关于原点对称,排除C,D;当x∈(0,1)时,cosx>0,log21-x1+x=7.已知55<84,134<85,设a=log53,b=log85,c=log138,则 ()A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b7.A[解析]由题意可知a,b,c∈(0,1),∵ab=log53log85=lg3lg5·lg8lg5<1(lg5)2·lg3+lg822=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1,∴a<b.由b=log85,得8b=5,由55<84,得85b<84,∴5b<4,可得b<45.由c=log138,得13c=8,由134<85,得134<135c,8.已知函数f(x)=-x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0,若A.(-∞,0] B.(-∞,1]C.[-2,1] D.[-2,0]8.D[解析]作出y=|f(x)|的图象,如图,由图可知,要使ax≤|f(x)|恒成立,则a≤0且ax<x2-2x(x<0),即a>x-2对任意x<0恒成立,所以-2≤a≤0.故选D.9.设函数f(x)=log2(x2+x+12),x>0,loA.1-32,0∪3-12,B.-∞,1-32∪3-12,C.1-32,0∪0,3-1D.-∞,1-32∪0,3-19.A[解析]当a>0时,-a<0,由f(a)>f(-a),得log2a2+a+12>log12a2+a+12,即log2a2+a+12>-log2a2+a+12,∴log2a2+a+12>0,∴a2+a+12>1,又a>0,∴a>3-12;当a<0时,-a>0,由f(a)>f(-a),得log12a2-a+12>log2a2-a+12,即-log2a2-a+12>log2a2-a+12,∴log2a2-a+12<0,∴0<a2-a+12<1,又a<0,∴1-32<a<0.综上,实数a的取值范围是1-32,0∪3-12,+∞10.(多选题)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则下列说法正确的是 ()A.f(x)在(0,1)上单调递增B.f(x)的值域是(-∞,0]C.f(x)的图象关于直线x=1对称D.f(x)的图象上存在两点关于点(1,0)对称10.ABC[解析]由x>0,2-x>0,得0<x<2,所以f(x)的定义域为(0,2),f(x)=lnx+ln(2-x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)2+1],因为y=-(x-1)2+1在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故A正确;由f(x)=ln[-(x-1)2+1],得当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=0,又当x→0时,y=-(x-1)2+1→0,f(x)→-∞,所以f(x)的值域为(-∞,0],故B正确;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+lnx=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确;假设f(x)的图象上存在两点(x1,y1),(x2,y2)关于点(1,0)对称,则x1≠x2,y1=lnx1+ln(2-x1),y2=lnx2+ln(2-x2),x1+x2=2,y1+y2=0,得lnx1+ln(2-x1)+lnx2+ln(2-x2)=0,将x2=2-x1代入上式,得lnx1+ln(2-x1)+ln(2-x1)+lnx1=0,所以lnx111.已知f1(x)=log4x,f2(x)=log6x,f3(x)=log9x,若f1(n)=f2(m)=f3(m+n),则mn=11.1+52[解析]设log4n=log6m=log9(m+n)=t,则n=4t,m=6t,m+n=9t,所以4t+6t=9t,等号两边同时除以4t得,1+32t=322t,即322t-32t-1=0,解得32t=1±52,又32t>0,所以312.设函数f(x)=log2(1+a·2x+4x),其中a为常数.(1)若f(2)=f(-1)+4,求a的值;(2)当x∈[1,+∞)时,不等式f(x)≥x-1恒成立,求a的取值范围.12.解:(1)∵f(x)=log2(1+a·2x+4x),∴f(-1)=log21+a2+14=log2a2+54,f(2)=log2(1+4a+16)=log2(4a+17),又f(2)=f(-1)+4,∴log2(4a+17)=log2a2+54+4,得4a+17=16a2+54,解得