第07讲 拓展二：数列求和（原卷版）

第07讲拓展二：数列求和一、知识点归纳知识点一：倒序相加法即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.知识点二：分组求和法1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.知识点三：裂项相消法1、等差型=1\*GB3①特别注意②如：（尤其要注意不能丢前边的）2、无理型=1\*GB3①如：3、指数型①如：4、通项裂项为“”型如：①②本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.知识点四：错位相减法错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．知识点五：奇偶项讨论求和1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：角度1：求的前项和角度2：求的前项和2、通项含有的类型；例如：二、题型精讲题型01倒序相加法1．（2023秋·山东潍坊·高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（

）A． B．2017 C．4034 D．80682．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（

）A．230 B．115 C．110 D．1003．（2023秋·江苏·高二专题练习）设函数，设，．(1)计算的值．(2)求数列的通项公式．4．（2023·全国·高三专题练习）设，若，试求：（1）；（2）．5．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，则；数列满足，则这个数列的前2015项的和等于.题型02分组求和法1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列满足:.(1)证明:是等比数列;(2)求数列的前项和.2．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知等比数列的各项满足，若，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．3．（2023秋·广东潮州·高三校考阶段练习）已知数列的前项和，且；(1)求它的通项(2)若，求数的前项和.4．（2023秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末）已知等差数列的前三项分别为(1)求的通项公式(2)若，求数列的前项和．题型03裂项相消法（等差型）1．（2023秋·广东惠州·高三博师高中校考阶段练习）已知是等差数列且为数列的前项和，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.2．（2023秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知等差数列满足，且与的等差中项为5.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.3．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前项和.4．（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城拖船中学校考开学考试）设是公差不为0的等差数列，，成等比数列．(1)求的通项公式：(2)设，求数列的前项和．题型04裂项相消法（无理型）1．（2023春·河南南阳·高二镇平县第一高级中学校考阶段练习）数列的前2022项和为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的前n项和．3．（2023秋·重庆北碚·高二统考期末）已知数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若，求n的值．4．（2023春·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若，.(1)求数列的通项公式；(2)若（），求数列的前项和.题型05裂项相消法（指数型）1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．2．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．3．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知递增等比数列的前项和为，，，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．4．（2023春·山东日照·高二统考期中）将正奇数数列1，3，5，7，9，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表.(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列，求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.5．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知，且数列是公比为的等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，证明：．题型06裂项相消法（通项裂项为“”型）1．（2023·全国·高三专题练习）设为数列的前项和，满足，其中，数列的前项和为，满足，则．2．（2023秋·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前20项和.3．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.题型07错位相减法1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.(1)求与的通项公式；(2)设，求的前项和.2．（2023秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知数列的首项，其前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.3．（2023秋·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和为且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.4．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在等差数列中，，，数列的前项和为，且.(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.题型08奇偶项讨论求和（求的前项和）1．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．2．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列满足，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．3．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试）已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，.(1)求数列，的通项公式；(2)数列满足，求数列的前2n项的和.题型09奇偶项讨论求和（求的前项和）1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设数列满足求的前项和.2．（2023春·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知数列满足，.(1)记，写出、，并求数列的通项公式；(2)求的前项和.3．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）已知数列的前n项和为，，且.(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和.4．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前n项和，且，数列为单调递增的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.题型10通项含绝对值数列求和1．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式(2)若，求的前项和.2．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）在