第05讲 复数的概念（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

第05讲复数的概念【人教A版2019】·模块一数系的扩充和复数的概念·模块二复数的几何意义·模块三课后作业模块一模块一数系的扩充和复数的概念1．数系的扩充与复数的相关概念(1)复数的引入

为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：

①=-1，即i是方程+1=0的根；

②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.

在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.(2)复数的概念

我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.(3)复数的表示复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.(4)复数的分类对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.

复数z=a+bi可以分类如下：

复数，

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.2．复数相等在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.【考点1复数的分类及辨析】【例1.1】（2022·高一课时练习）在2+7，27i，8+5i，(1-3A．0 B．1 C．2 D．3【例1.2】（2023下·高一课前预习）下列关于复数x+i的说法一定正确的是（

A．是虚数 B．存在x使得x+iC．不是实数 D．实部和虚部均为1【变式1.1】（2023上·四川遂宁·高二校考阶段练习）如果复数z=m+3+(m-3)i是纯虚数,则实数m=

(

A．m≠3 B．m=3 C．m=-3 D．m=±3【变式1.2】（2023·高一课时练习）对于复数z=a+bia,b∈R，下列结论中正确的是（A．若a=0，则a+biB．若a-bi=3+2i，则C．若b=0，则a+biD．若a=b=0，则z不是复数【考点2复数的相等】【例2.1】（2023·内蒙古包头·一模）设a(1+i)+b=-i，其中a，bA．a=-1,b=-1 B．a=-1,b=1 C．a=1,b=1 D．a=1,b=-1【例2.2】（2022·高一课时练习）若xi-2i2=y+2yi，A．-2+i B．4+2i C．1-2i【变式2.1】（2023下·山西阳泉·高一统考期末）已知复数z1=m+4-m2i,A．-916,1C．-916,+【变式2.2】（2022·全国·高一专题练习）下列命题：①若a+bi=0，则a=b=0；②x+yi=2+2i⇔x=y=2；③若y∈R，且yA．0个 B．1个 C．2个 D．3个模块二模块二复数的几何意义1．复数的几何意义(1)复平面

根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.(2)复数的几何意义——与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.(3)复数的几何意义——与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.2．复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共轭复数(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.(2)几何意义互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.(3)性质①=z.

②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.4．复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部.【考点1复数的几何意义】【例1.1】（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）若复数z=m3+i-2+i，其中2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例1.2】（2023上·宁夏银川·高三校考阶段练习）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（

）A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数【变式1.1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知z=1+im+3-iA．-3,1 B．-1,3C．1,+∞ D．【变式1.2】（2023上·江苏南通·高三校考阶段练习）已知复数z1=1+2i，z2=2-i（i为虚数单位），z3在复平面上对应的点分别为A，B，C.若四边形OABCA．1-3i B．1+3i C．-1+3i【考点2共轭复数】【例2.1】（2023上·云南红河·高二校考阶段练习）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为-1,2，则z=（

A．-1+2i B．1+2i C．1-2i【例2.2】（2022下·浙江宁波·高二校考学业考试）已知z=2-3i（i虚数单位），则z的共轭复数z的虚部为（

A．2 B．i C．3 D．3【变式2.1】（2023上·北京东城·高三校考期末）复数z=3+2i1-i，在复平面内z的共轭复数A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2.2】（2023上·河北衡水·高三校考阶段练习）已知复数z=2-i1+A．z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 B．z的虚部为-C．z的共轭复数-12-32【考点3复数的模的计算】【例3.1】（2023·全国·模拟预测）若a∈R，z为纯虚数，且2+a-1i=2a+zA．5 B．5 C．373 D．【例3.2】（2023下·广东河源·高二校考期中）已知复数z=a+b-a-bi为纯虚数（a,b∈R，i是虚数单位），且A．a=1且b=1 B．a=1且b=-1 C．a=1或b=-1 D．b=1或b=-1【变式3.1】（2022·陕西·统考二模）设复数z满足z=z-1=1，且z的实部小于虚部，则z=A．32+1C．32-1【变式3.2】（2023·江苏南通·统考一模）在复平面内，复数z1,z2对应的点关于直线x-y=0对称，若z1A．2 B．2 C．22 D．【考点4复数的模的几何意义】【例4.1】（2023·全国·高一课堂例题）设：z∈C，点Z对应复数z，在复平面内满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)z=2(2)2≤z【例4.2】（2023下·高一课时练习）已知复平面内的动点P所对应的复数为z，且z满足|z-i|+|z+i|=2，求【变式4.1】（2023上·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知复数z满足z=5（1）若4+3i⋅z是实数，求复数（2）求z2+2-【变式4.2】（2022·高一单元测试）已知复数z满足|z+2-2i|=2，且复数z在复平面内的对应点为(1)确定点M的集合构成图形的形状；(2)求|z-1+2i模块三模块三课后作业1．（2023下·高一课时练习）下列四种说法正确的是（

）A．如果实数a=b，那么a-b+(a+b)iB．实数是复数．C．如果a=0，那么z=a+biD．任何数的偶数次幂都不小于零．2．（2023上·云南昆明·高二校考阶段练习）若a∈R，则“a=-1”是复数“z=a2-1-(a-1)i为纯虚数A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023上·北京·高三校考阶段练习）在复平面内，复数z对应的点的坐标是1,-3，则z的共轭复数zA．1-3 i BC．-1+3 i D4．（2023下·内蒙古兴安盟·高二校考期中）若复数z=a+1-ai在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是（A．1,+∞ B．-∞,0 C．0,15．（2023上·云南·高二校联考期中）已知a,b∈R，a-2i=b-ii，若A．-2 B．1 C．-2i D．2i6．（2023下·浙江台州·高一校联考期中）若a，b∈R，i是虚数单位，且b+a-2i=1+iA．1 B．2 C．3 D．47．（2023下·广东肇庆·高一统考期末）设z为复数，若(1+i)z>0，则z在复平面内对应的点位于（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2023上·安徽阜阳·高三校考期末）已知i为虚数单位，复数z满足z+2i=z，则zA．－1 B．－2 C．1 D．29．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）若a2+i+b1-2i=4-3i，其中a，b∈A．2 B．5 C．3 D．510．（2023·全国·高一随堂练习）设z∈C，则满足1≤z≤3的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（A．π B．4π C．8π D11．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期中）当实数m取什么值时，复数(m(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.12．（2023下·河北·高一校联考期末）已知复数z1=4-m2+(m-2)i，(1)若z1为纯虚数，求m(2)若z1=z13．（2022下·山东青岛·高一统考期末）已知复数z=m2-7m+10+m(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)若在复