5.1导数的概念及意义（作业）（解析版）

5.1导数的概念及意义（作业）一、单选题1．（2023·上海·高三专题练习），在处切线方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出再结合直线的点斜式公式，即可求解．【详解】由已知，，令，∴＝，解，∴在处切线方程为，即．故选：B．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．二、填空题2．（2022·上海·闵行中学高二期末）函数在区间上的平均变化率等于______．【答案】6【分析】由平均变化率的定义计算．【详解】所求平均变化率为．故答案为：6．3．（2022·上海·闵行中学高二期末）已知函数，则______．【答案】－1【分析】根据导数的定义计算．【详解】．故答案为：．4．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知，将函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线C.若对于每一个.曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为___________.【答案】π4##45°【分析】利用运动是相对的，函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解.【详解】解：利用运动是相对的，函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图），可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转（右图），根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应，即直线绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与的图像有且只有一个交点，故只需求函数在原点处的切线方程，，此时切线方程为，故直线最多绕坐标原点顺时针方向旋转，则函数,的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转，故的最大值为，故答案为：5．（2022·上海师范大学附属嘉定高级中学高三期中）曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【分析】利用导数的几何意义可以得出切线方程的斜率，进而利用点斜式方程即得．【详解】由可得，切线的斜率为，所以切线方程为，即.故答案为：.6．（2022·上海师大附中高三阶段练习）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是_________【答案】【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数与直线相交即可.【详解】若关于的方程有解，即与的图像有交点，因为与互为反函数，所以与的图像关于直线对称，如图所示：设函数与直线相切，切点为，，则有，解得：，由图像可知，当时，曲线与直线有交点，即与的图像有交点，即方程有解.故答案为：7．（2023·上海·高三专题练习）已知，则曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【分析】利用导函数求得即为切线斜率，由原函数求得，由直线点斜式方程整理得到结果.【详解】因为，所以，又，故所求切线方程为，即.故答案为：.8．（2022·上海市金山中学高三期中）曲线在点处的切线方程为______．【答案】【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.【详解】解：由可得，曲线在点处的切线斜率为，所以所求切线方程为即，故答案为：9．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）已知为可导函数，且，则_______．【答案】【分析】根据函数在处的导数的定义及极限的运算即可求解.【详解】解：因为.故答案为：.10．（2023·上海·高三专题练习）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．【答案】【分析】整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点，即为点，即可求解两点间的最短距离.【详解】解：令，则，，．因为与关于直线对称，所以函数与函数关于直线对称，所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，函数在点处的切线斜率为，令得，，，所以点P到直线距离的最小值为，所以这两点之间距离的最小值为．故答案为：.三、解答题11．（2022·上海市实验学校高二期末）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(