重组卷02-2023年高考数学真题重组卷（上海）（解析版）

绝密☆启用前

冲刺2023年高考数学真题重组卷02

数学（上海地区专用）

考生注意：

1、本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2、本试卷分设试卷和答题卡.试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选

择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1一6题每题4分，第7—12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

sinɪ2

fM=

1、（2012年上海高考真题）函数T8SX的最小正周期是

【答案】万

12乃

【详解】/（x）=sinxcosx+2=—sin2x+2,Λ---π,

2、（2016•上海・统考高考真题）设xeR,则不等式卜一5<1的解集为.

［答案］（2.4）

［详解］试题分析：X-3<1O-1<X-3<1=2<X<4故不等式∣χ-3∣<1的解集

为（2用

【点睛】解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，再进一步求解，本题也可利用两边平方

的方法.本题较为容易.

3、（2021年上号高考真题）已知/（x）=m+2,则尸⑴=.

X

【答案】-3

3

令/（x）==+2=l,解得X=T

X

所以.广⑴=-3

21

4、（2018•上海高考真题）双曲线H-/=1的渐近线方程为±^χ.

4-2

【考点】KC:双曲线的性质

【专题】11：计算题.

【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲

线的渐近线方程.

2C

【解答】解：•••双曲线2--y2=ι的a=2,b=l,焦点在X轴上

4

22

而双曲线%U⅛=1的渐近线方程为y=±且X

a2b2a

2

・••双曲线5--y2=ι的渐近线方程为y=±-Lχ

故答案为：y=±*χ

【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程,

解题时要注意先定位，再定量的解题思想

5、（2014•上海・高考真题）某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，

为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名

学生，则高一、高二共抽取的学生数为

【答案】70

【详解】设高一、高二抽取的人数分别为“、儿则氤=嵩喘=端，解得中皿

【考点】分层抽样.

6、（2019年上海高考真题）在（x+∖）6的展开式中，常数项等于15.

【解答】解：（x+2）6展开式的通项为“C卡令符2=0得厂=2,

故展开式的常数项为第3项：C：=15.

故答案为：15.

7、（2017•上海统考高考真题）如图，以长方体ABC。一ABCa的顶点。为坐标原点，过

。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若“坊的坐标为（432）,则AC的

坐标为_______

4

【答案】(T.3,2)

【详解】如图所示，以长方体A8CD-A4CQ的顶点。为坐标原点,

过。的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，

因为DB1的坐标为(4,3,2),所以A(4,0,0),C(0,3,2),

所以AG=(T,3,2).

8、(20"上海高考真题)在极坐标系中，直线0(2CoSo+sinθ)=2与直线。COSe=I的夹

角大小为.

【答案】areeos^ɔ^-

5

【分析】分别将直线化为直角坐标方程，进而由斜率可求倾斜角，可得夹角.

【详解】直线zX2cose+sinO)=2化为直角坐标系方程可得：2x÷γ=2,

直线"COSe=I化为直角坐标系方程可得:χ=lt

由2x+y=2得斜率为一2,设直线与x=l的夹角为α∈[0,1L

sin(--α)…

则tan(g-α)=2,所以=一===2,

2COS(A)δmɑ

Xsin2ɑ÷cos2a=l.解得COSa=^^

5

所以α=arccos

5

故答案为∙arccos

5

9、(2015∙上海•统考高考真题)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献

血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为(结果用数值表示).

【答案】120

【详解】①1男4女，C；C：=45种；

②2男3女,C；C：=60种；

③3男2女,Cg=15种;

，一共有45+60+15=120种.

故答案为120.

点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分

类”、“分步”的角度入手；(1)“分析"就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，

哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是

将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题

化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决.

10、(2018•上海高考真题)在平面直角坐标系中，已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F

是y轴上的两个动点，且I而I=2,则小•丽的最小值为-3.

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算

【专题】H：计算题；35：转化思想；41：向量法；5Λ：平面向量及应用.

【分析】据题意可设E(0,a),F(0,b),从而得出∣a-b∣=2,即a=b+2,或b=a+2,并

可求得标•而=-2+ab,将a=b+2带入上式即可求出血∙而的最小值，同理将b=a+2带入，

也可求出瓦•标的最小值.

【解答】解：根据题意，设E(0,a),F(0,b)；

.∙.IEFI=∣a-b1=2;

a=b+2,或b=a+2；

且标=(1,a),BF=(-2,b)；

.∙.AE∙BF=-2+ab;

当a=b+2时,Ag-BF=-2+（b+2）∙b=b2+2b-2；

∙∙∙b⅛b-2的最小值为;

4

AE∙BF的最小值为-3,同理求出b=a+2时，AE∙BF的最小值为-3.

故答案为：-3.

【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的

数量积运算，二次函数求最值的公式.

11、（2013∙上海・高考真题）在X8平面上，将两个半圆弧（X-I）\y2=l（x≥l）和

2

（x-3）+r=l（x≥3）s两条直线y=l和V=T围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记

D绕y轴旋转一周而成的几何体为O,过（°/）（卜区1）作C的水平截面，所得截面面积为

4万任了+8万，试利用祖R恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出。的体积值为

【答案】乃∙12∙2τ+2∙8∙τ=2万2+16万

【详解】根据提示，一个半径为L高为2;T的圆柱平放，一个高为2,底面面积肺的长方

体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖迪原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故

它们的体积相等，即Ω的体积值为H∙F∙2万+2∙8万=2/+16万.

【考点定位】考查旋转体组合体体积的计算，重点考查空间想象能力，属难题.

12、（2012•上海高考真题）如图，AO与BC是四面体ABC。中互相垂直的棱，BC=2.若

AD=2c,且AB+BD=AC+CD^2a,其中a、C为常数，则四面体ABCD的体积的最大值

是

D

B

作8EUE＞于E,连接CE,则平面8EC,所以CEU。，由题设，8与C都是在以

AQ为焦距的椭球上，且8E、CE都垂直于焦距AD所以BE=CE取BC中点尸，

连接Ef贝IJ£7U8C,EF=2.=：3C•二:=∙√3F-：,四面体ABCO的体积

「=±ΛDS.C=宇、庭=1显然，当E在"）中点，即8是短轴端点时，BE有最大

值为b=G'-c-`所以*'a二⅝J£-J-I

［评注］本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大！当然，作为填空押轴题，

区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：A8=BD（同时

AC=CD）,从而致命一击，逃出生天！

二、选择题（本大题共有4题，满分2（）分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生

应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13、（2011•上海・高考真题）若α,°eR,且必则下列不等式中，恒成立的是

ɪɪ2ba

A.a2+b2＞2abB.a+h≥C.一+工＞~7=7D.—+f22

abyJabab

【答案】D

【详解】试题分析：语、F心电所以A错；无•-。，只能说明两实数同号，同为正数,

ab

或同为负数，所以当。<°力<°时B错；同时C错；2或。都是正数，根据基本不等式

一"2^1=2

求最值，3a^V*a,故D正确.

考点：不等式的性质

14、(2012・上海・高考真题)在上山。中，若sin：H-sin：S<sin：。，则上归。的形状是

()

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.不能确定.

【答案】A

【详解】由条件结合正弦定理，得人+方</,再由余弦定理，

cθsC=∙⅛≤.<0

所以三角形是钝角三角形，故选A.

15、(2016•上海・统考高考真题)设awR,"以。：菊若对任意实数X都有

sin(3x)=sin(0r+h)

3,则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】试题分析：sin(3x-g)=sin(3x-g+2;T)=Sin(31+等，(G.i>)=，3.三1,

Xsin(3x-y)=sin[Λ∙-(3Λ-ɪ)]=sin(-3x+ʒ-).(α∕)=(-3,f),

注意到资[0,2万)，只有这两组.故选B.

【考点】三角函数

【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式,利用分类讨论的方法,

确定得到α力的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合

思想、分类讨论思想等.

16、(2021年上海高考真题)已知两两不同的％，%々，%，%为满足

X1+%=Λ2+%=马+%,且

xl<jl,x2<J2,X3<y3,若NM+x3y3=2x2y2>0,则下列不等式中恒成立的是（）

A.XB.XC.2D.2

22<XI+X322>XI+X3x2<xlx3x2>xlx3

［法一］设玉=s—a,X=S+α,α>O,类似定义

x2=s-h,y2=s+h,x3=s-c,y3=s+c,b,c>O,则已知条件可以按以下方式写出：

222222222

a+c=2b,s-b>0,=≠>α+c<2Z><=>xl+x3>2x2,(α+c)<2(0+cj=4⅛,

剩下的选项找反例即可，故选4

［法二］设X=S-a,yl=s+a,a>O,类似定义々=S_"%=5+"看=5_。，%=5+©,

b,c>Q,则已知条件可以按以下方式写出：a2+c2^2b2,s2-b2>0,

2222

=>α+c<2bo玉+七>2々,(α+c,)<2^0+cj=4∕7o

X］=2;y∣=6

令z-z7,对玉，％分三种不同情况依次讨论

Λ2=4-√6;J2=4+√6

七=3;%=5=2X,=8-2∖∕6<3+2=5,排除B;

2

=>x2=22-8√6<2x3=6,排除。;

2

x3=liy3=7=>x2=22-8√6>1×2=2,排除。；故选A

【法三：群友清序老师提供】不妨设％+y=々+%=W+%=2,

所以Xly+/%=2%%化为石（2-玉）+七（2-X3）=2x2（2-Λ2）,

设"=x（2-x）,又因为％<yi,x2<y2,x3<%（所以玉,/，刍<1•

由图可知，

【法四：群友欧阳老师提供】设不=s-alX=s+a,a>O,

类似定义％2=s-b,y2=s+/?,b>0,x3=s-c,y3=s+c,c>0,

那么条件就可以写为/+¢2=2/,$2一〃>0,我们有不等式

（α+cf=2（/+c2）-（β-c）2<2（«2+C2）=4ZJ2

由于α,0,c>O,开方得到=α+c<28=%+£>2%2

所以A恒成立，B恒错误，选A

C选项是x；>XlX3,D选项是x2<XIX3，

实际上我们取玉=4,3=5,x2=2,y2=7,x3=1,y3=8

就4=X,Λ3,C,D同时排除了.事实上C,D选项中的大于或小于或等于都是会发生的.

【法五：特殊值法】取4.5/2.7/1.8即可

三、解答题(本大题共5小题，满分76分)

17、(2021年上海高考真题)如图，在正三棱锥P-ABC中，

PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=6.

(1)若尸3的中点为M,8C的中点为N,求AC与MN的夹角；

(2)求P-ABC的体积.

【解答】解：(1)M.N分别为PB,BC的中点，.∙.Λ4W∕PC,

则NPe4为AC与MN所成角，

在ΔE4C中，由B4=PC=2,AC=B

:.AC与MN的夹角为arccos—；

(2)过P作底面垂线，垂直为O,则O为底面三角形的中心,

连接Ao并延长，交BCTN,则AN=AO=-ATV=I.

.∖PO=y∣22-l2=√3.

/(x)=Cos2x-sin2x+-,x∈(O,zr)

18、(2017•上海・统考高考真题)已知函数

(1)求/(x)的单调递增区间；

(2)设ABC为锐角三角形，角A所对边α=M,角B所对边6=5,若/(A)=O,求ABC

的面积.

【答案】(I)加；⑵M

g204

【分析】(1)利用降次公式化简/(X),然后利用三角函数单调区间的求法，求得/(X)的单

调递增区间.

(2)由/(A)=O求得A,用余弦定理求得J由此求得三角形ABC的面积.

【详解】⑴依题意/(x)=CoS2尤-sin。+g=cos2x+g(x?(0,兀))，由2E-7t42x≤2Aπ

得E-W≤X≤E,令女=1得与≤X≤π.所以"X)的单调递增区间S,pJ.

22g20

(2)由于α<b.所以A为锐角，即0<A<∕,0<2A<限由/(A)=O,得

I2τττt

cos2A÷—=0,cos2A=—,所以2A=—,A=—.

2233

由余弦定理得a?=Z??+¢2-28C∙COSA,c2-5c+6=0.解得C=2或C=3.

当c=2时，COSB="+C'"=一巫<0,则B为钝角，与已知三角形ABC为锐角三角形

2ac38

矛盾.所以c=3.

所以三角形A6C的面积为LCSinA」x5x3x且=更3

2224

【点睛】本小题主要考查二倍角公式,考查三角函数单调性的求法,考查余弦定理解三角形，

考查三角形的面积公式，属于基础题.

19、(2019年上海高考真题)已知数列｛%｝,q=3,前〃项和为5“.

(1)若｛%｝为等差数列，且4=15,求S“；

(2)若｛α,,｝为等比数列，且IimS“<12,求公比q的取值范围.

zι→co

【解答】解：(1)%=4+3d=3+3d=15,.∙.d=4,

CCn(n-↑)“C

.∙.S=3〃H——------×4=2n2+n；

〃n2

(2)S,,=3(U),.iimS“存在，.∙.-l<√<l,

1-qnτs

：.IimSn存在，一1<qV1且qw0,/.IimSn=lim—~~—=—^―,

Π→0O"T8Λ→CO]—qɪ—Q

333

-----<12,.,.q<一,—1V夕<O或Ovqv—,

∖-q44

.∙.公比4的取值范围为(-1,O)U(0,1).

__*«

20、(2012•上海・高考真题)在平面直角坐标系QV中，已知双曲线《二亡-J'=】.

(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点,若IMFI=2?,求过M点的坐标；

(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的

面积；

(3)设斜率为同<四的直线12交C于P、Q两点，若I与圆`♦厂=】相切，

求证：QPLC)Q；

【答案】⑴阳暗土后；⑵，彳°闺LM=当；⑶见解析.

【详解】⑴双曲线CTf=1,左焦点R-茎①

设”(XJ),则Affψ=(x+孝『+『=(&+¥)[…2分

由M是右支上—点，知X2专，所以UFI=底+丰=20,得x=¥.

所以取喙圣母…5分

(2)左顶点'(一?°),渐近线方程：JX

过A与渐近线】=平行的直线方程为：》二上心:÷⅛,即)=4-L

解方程组L得I'=：,……8分

所求平行四边形的面积为‘WQMM=4,……W分

(3)设直线PQ的方程是J=H+b因直线与已知圆相切，故点=1

即b2=K+l(*),

,y=kx+b

由二亡一｝：=1⅛(2-V)√-2Jtfcc-62-l=0

∫xi+¾=⅛

设P(×l,yl)、Q(×2,y2),则∣*"：=⅛

,=∙i>⅝：∙⅛l"⅝∙⅛∙¾;所以

j3

OPOQ=xlx1+y∖y1=(1+k)x,ιx1-~kb(xl∙÷¾)+⅛

(MΛX

由(*)知Iwe@=瞰,所以OPlOQ,……16分

/(x)=Iog2p+αj

21、(2016•上海・统考高考真题)已知"GH,函数IXΛ

(1)当α=5时，解不等式"x)>0；

(2)若关于X的方程〃》)-1脸[(。-4)x+24-5]=0的解集中恰有一个元素，求”的取值

范围；

(3)设。>0,若对任意reɪ1,函数〃x)在区间上/+1]上的最大值与最小值的差不超

过L求。的取值范围.

【答案】⑴x∈^-∞-lju(O,+∞).(2)(1,2]{3,4}.(3)∣,+∞^∣.

【详解】试题分析：(1)当α=5时，解对数不等式即可；(2)根据对数的运算法则进行

化简，转化为一元二次方程，讨论。的取值范围进行求解即可；(3)根据条件得到

∕G)-∕(r+l)≤l,恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.

试题解析：⑴由1呜1+5>0,得g+5>l,解得xe(v,—・

(2)由/(x)-Iogz[(a-4)x+24-5]=0得log?(,+“)-log∑[(a-4)x+2a-5]=0.

X

即Iog2(,+q)=l0g2[(a-4)x+2a-5],

X

即,+a=Ca-4)x+2tz-5>0,①

X

则([-4)X2+(α-5)X-I=O,

即(x+l)[(α-4)χ-l]=O,②，

当。=4时，方程②的解为X=-1,代入①，成立

当α=3时，方程②的解为X=-L代入①，成立

当α≠4且α≠3时，方程②的解为X=-I或x=

若X=T是方程①的解，则La=α-l>O,即a>l,

X