《24.1.2 垂直于弦的直径》教案、导学案

《24．1.2垂直于弦的直径》教案【教学目标】1．进一步认识圆是轴对称图形．2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题．3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．【教学过程】一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代开皇大业年间(605～618)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】垂径定理的理解如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是()A．2eq\r(3)cmB．3eq\r(2)cmC．4eq\r(2)cmD．4eq\r(3)cm解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝eq\r(3).∴OD＝2eq\r(3)，∴AB＝4eq\r(3).故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．【类型二】垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的eq\o(AB,\s\up8(︵)))，点O是这段弧的圆心，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠MON的度数是()A．100°B．110°C．120°D．130°解析：已知M、N分别是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.【类型二】利用垂径定理的推论求边如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．解析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×10＝5cm.方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．【类型三】动点问题如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝eq\f(1,2)AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝eq\r(OA2－AD2)＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3≤OP≤5(单位：cm)．方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.《24．1．2垂直于弦的直径》教案【教学目标】1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。【教学重点】垂直于弦的直径的性质及其应用。【教学难点】1、垂径定理的证明。2、垂径定理的题设与结论的区分。【教学辅助】多媒体、可折叠的圆形纸板。【教学方法】本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。【教学过程】教学环节教师活动学生活动设计目的情景创设情景创设情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一些实际问题转化为数学问题思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。回顾旧识回顾旧识我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？2）我们学习过的轴对称图形有哪些？（电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）学生观察一些图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。引入新课引入新课问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？（2）如果是，它的对称轴是什么？拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无穷多条实验：把圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次观察：两部分重合，发现得出圆的对称性的结论培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题揭示课题揭示课题电脑上用几何画板上作图：（1）做一圆(2)在圆上任意作一条弦AB；(3)过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。（板书课题：垂直于弦的直径）在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E师生互动师生互动运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论（1）图中圆可能会有哪些等量关系？（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？实验：将圆沿直径CD对折观察：图形重合部分，思考图中的等量关系猜想：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB(电脑显示))垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质拓展升华如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论学生自主探证通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标归纳小结归纳小结由学生小结，电脑显示知识总结：这节课我们主要学习了两个问题：一是圆的轴对称性（学生回答），它是理解和证明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，还推知它的里定理。另外它的其他推论级应用我们下节课探讨。讲评总结：1学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？2应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用3这节课的学习你有什么疑问？4这节课的学习方式拟喜欢吗？你有什么好的建议？讲评回答回顾这节课的内容，加深学生对知识的印象，反馈学生这节课收获节疑问，使教学效果得到提高分层作业分层作业1、必做题:习题24.1—1,92、选做题:习题24.1—12九、板书设计（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无穷多条24.1.2垂直于垂径定理：垂径定理逆定理：弦的直径垂径定理证明：方法归纳：技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。重要思路：（由）垂径定理——构造Rt△——（结合）勾股定理——建立方程构造Rt△的“七字口诀”：半径半弦弦心距《24．1．2垂直于弦的直径》导学案一、知识点回顾：1．圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。2．如右图，____________是直径，___________是弦，____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。3．圆的半径是4，则弦长x的取值范围是_______________。4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。5．利用身边常见的工具，你能在操场中画一个直径是5m的圆吗？说说你的方法。二、新知学习：（一）．学习目标：1-知识目标：掌握垂径定理2-能力目标：利用垂径定理解答圆的一般问题（二）．自学要求：P80—P81垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.符号语言：∵是⊙的直径又∵∴推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧符号语言：∵是⊙的直径又∵∴三、典型拓展例题：1．你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？2．如图，在⊙中，弦的长为8，圆心到的距离为3.求⊙的半径。3．如图，在⊙中，、为互相垂直且相等的两条弦，于，于.求证：四边形为正方形。4．如图所示，两个同心圆，大圆的弦交小圆于、。求证：5．如图所示，在⊙中，、是弦上的两点，且.求