《16.2 二次根式的乘除》教案和同步练习

PAGE1第27页共27页《16.2二次根式的乘除》教案（第1课时）【教学任务分析】教学目标知识技能1.使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算；2.会进行简单的二次根式的乘法运算．过程方法让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的.情感态度培养学生用分类讨论的思想分析生活中出现的不同事物.重点（a≥0，b≥0），（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．【教学环节安排】环节教学问题设计教学活动设计情境引入计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律(1)，=(2)=,=(3)×=____，=___；教师出示问题，引导学生观察运算结果，发现和总结式子有什么规律？学生计算，观察，分小组讨论．全班交流，体会结果特点.自主探究合作交流【问题1】1.参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×________×__2．总结归纳：你能找出二次根式怎样进行乘法运算吗？字母表达式怎样？结论：·＝（a≥0，b≥0）【问题2】把（a≥0，b≥0）反过来，仍然成立吗？积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0）思考：（1）a,b的取值有什么特点？（2）这个公式与二次根式乘法在用法上有什么区别和联系？注意:1、公式中的非负数的条件；2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解）；3、·＝可推广为：··＝(a≥0，b≥0，c≥0)学生通过计算，能对于公式有些感性上的认识，并且能举一些类似的式子.学生先完成填空，对于公式的推导有更深一步的认识，再通过观察，分析，合作交流，得出公式.·＝（a≥0，b≥0）学生说出结论并且能分析公式的特点及注意点.小组内讨论验证，得出结论.分析、总结，交流学生口答，并说明理由，学生补充.小组讨论得出结论：a≥0，b≥0（2）两个公式可以相互转化.尝试应用1．填空（1）＝，（2）＝，（3）＝，（4）＝.2.例1计算：（1）×（2）×（3）3×2（4）·3.例2化简：（1）（2）（3）（4）1.学生口答.2,3题指定学生到黑板上完成，其他同学先独立完成，然后小组内交流；教师巡视发现共性的问题及时讲解清楚也可以提出问题让学生探讨正确答案.教师要提醒学生应用公式要注意解题灵活性.通过练习培养学生养成良好的分析问题能力和习惯．方法归纳：你能体会出何时用·＝（a≥0，b≥0）何时用（a≥0，b≥0）吗？成果展示（1）计算：①×②3×2③·（2）化简：;;;独立完成后，学习小组内互相交流，讨论，展示.补偿提高1．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）（2）×=4××=4×=4=82.计算：（1）；（2）；（3）.3．选择题：（1）等式成立的条件是（）A．≥1B．≥－1C．－1≤≤1D．≥1或≤－1（2）已知a=，b=，用含a、b的代数式表示，这个代数式是（）A．a+bB．abC．2aD．24.比较大小(1)6与4；(2)4－2与4－3教师提出问题.学生独立完成回答.教师可适当点拨.2，4，5题学生板演，其他同学独立完成，然后小组内交流答案；教师巡回辅导，对于重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，对于共性问题，做好补教.通过练习使学生进一步理解公式，进一步熟练应用公式.作业设计教材第12页.习题21.2复习巩固1题，3题(1)、(2)综合运用4题（2），5题教师布置作业，并分层提出要求.学生课完成.二次根式的除法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而进一步降低学习的难度，提高学习的效率，但在教与学中，可以明显感受到学生对分母有理化概念在运用中的不灵活性，这也是应在今后的复习中给予加强的《16.2二次根式的乘除》教案（第2课时）【教学任务分析】教学目标知识技能1.会进行简单的二次根式的除法运算．2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．过程方法1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则．2.引导学生利用从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题．情感态度通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.重点会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算．难点熟练进行二次根式的除法运算．【教学环节安排】环节教学问题设计教学活动设计情境引入光明中学有一块直角三角形的空地,已知直角边AC=m,BC=6m,你能求出斜边AB的长吗？在上面的问题中，你会计算的结果吗？教师出示问题，分析，点拨方法，适时设疑.学生动手计算，体会结果特点.自主探究合作交流探究1.计算,观察计算结果,你发现什么规律?（1）=____，=______；（2）=______，=_____；规律：；______．2.结论二次根式的除法法则:=（a≥0，b>0），反过来得到,商的算术平方根的性质：=（a≥0，b>0）注意：（1）运用公式时，条件a≥0,b﹥0；运算结果化到最简，即开得尽方得因式或数要开出来;（2）商的算术平方根的运算性质式二次根式除法的逆运算；利用商的算术平方根的运算性质可以化简二次根式，使其被开方数不含分母.【问题】观察2、、，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？(1)．被开方数不含分母；(2)．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．教师引导学生，发现结论:二次根式的除法和商的算术平方根的性质与前面学习的积的算术平方根的性质和二次根式的乘法类似，应注意前后联系.教师引导,分析a,b取值不同的原因.学生先自主探索，再小组讨论，总结方法.进一步理解a,b的取值不同的原因，学生举例,验证两个公式的正确性教师引导学生自主、合作、探究、强调①被开方数不含分母，其实就是说被开方数的因数是整数，因式时整式.②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，是指被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2.学生积极思考,对最简二次根式的定义进行讨论,相互交流.尝试应用1．例4计算：（1）；（2）.2.计算（1）；（2）.3.例5化简：（1）；（2）.解：（1）；（2）=.4.化简（1）；（2）.5.例6计算：（1）；（2）；（3）.解：（1）=；（2）=；（3）=.教师出示问题，组织学生练习，学生独立完成，2名学生板演，教师巡回辅导，对于共性问题，做好补教.对于例5，教师引导学生利用公式化简.学生独立完成，小组对答案，探讨正确的方法及答案.分母有理化是例6的主要方法，根据分式的性质分子分母同时扩大相同的倍数，分数的值不变来化简.成果展示这节课你有哪些收获？谈谈自己的想法.师提问:(1)二次根式的除法公式与乘法公式有什么区别和联系?它们各有何特点?(2)最简二次根式有什么特点?学习小组内互相交流，讨论，展示.补偿提高1．分母有理化:(1)=______;(2)=_____;(3)=______.2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．教师出示题目.第1题、由学生独立完成.教师巡视，个别辅导.请四位学生板练.师生共同评析.存在的共性问题共同讨论解决.作业设计教材第12页.习题21.2复习巩固2题，3题(3)、(4)综合运用4题（2），6题(3)、(4)教师布置作业，并分层提出要求.学生独立完成.《16.2二次函数的乘除》同步练习一、单选题（共15题；共30分）1、计算×的结果是（）A、B、4C、D、22、化简的结果是().A、B、C、D、3、化简的结果是（）A、-B、-C、-D、-4、当x=-2时，二次根式的值为(

)A、1B、±1C、3D、±35、计算÷×结果为（

）A、3B、4C、5D、66、下列计算正确的是（

）A、B、C、D、7、下列计算正确的是（）A、ab•ab=2abB、（2a）3=2a3C、3﹣=3（a≥0）D、•=（a≥0，b≥0）8、计算÷÷的结果是（

）A、B、C、D、9、估计的运算结果应在（

）A、1到2之间B、2到3之间C、3到4之间D、4到5之间10、•的值是一个整数，则正整数a的最小值是（）A、1B、2C、3D、511、下列计算正确的是（）A、B、C、D、12、下列根式中，属于最简二次根式的是（）A、B、C、D、-13、化简的结果是（）A、-B、-C、-D、-14、化简结果正确的是（）A、3+2B、3-

C、17+12D、17﹣1215、下列各式是最简二次根式的是（）A、B、C、D、二、填空题（共5题；共5分）16、化简：的结果为________17、计算：=

________．18、计算：÷=________19、计算的结果是________.20、如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②=1，③÷=﹣b，其中正确的是________

（填序号）三、计算题（共1题；共5分）21、计算：．四、解答题（共3题；共15分）22、把下列二次根式化成最简二次根式．（1）；（2）；（3）；（4）．23、已知x=，y=，求的值．24、方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是cm，宽是cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径.五、综合题（共1题；共10分）25、计算：(1)•2•（﹣）；(2)•（÷2）．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】×==4．故选：B．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可．2、【答案】A【考点】二次根式的乘除法【解析】解答：原式===，故选A分析：正解运用二次根式乘法法则进行化简计算是一个基本的数学计算能力3、【答案】C【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：原式==﹣．【分析】直接进行分母有理化即可求解．4、【答案】C【考点】二次根式的化简求值【解析】【分析】把x=-2代入已知二次根式，通过开平方求得答案．【解答】把x=-2代入得，=3，故答案为：3．故选：C5、【答案】B【考点】二次根式的乘除法【解析】【分析】根据二次根式的乘除法法则，被开方数相乘除，根指数不变，进行计算，最后化成最简根式即可．【解答】原式===4，故选B．【点评】本题主要考查对二次根式的乘除法，二次根式的性质，最简二次根式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算和化简是解此题的关键．6、【答案】B【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】选项A是二次根式乘法的运算，选项C不符合二次根式的运算条件，选项D中被开方数不能为负，故A、C、D都是错误的，唯有B符合二次根式除法运算法则，故选B【分析】正确运用二次根式除法运算法则进行计算，并能辨析运算的正误，是本节的教学难点，学生可以通过比较分析或正确计算加以判断7、【答案】D【考点】幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，二次根式的乘除法，二次根式的加减法【解析】【解答】A、ab•ab=a2b2，故此选项错误；

B、（2a）3=8a3，故此选项错误；

C、3﹣=2（a≥0），故此选项错误；D、•=（a≥0，b≥0），正确．故选：D．【分析】分别利用积的乘方以及二次根式的乘法运算法则化简求出即可．8、【答案】A【考点】二次根式的乘除法【解析】解答：原式=××==，故选A分析：正确进行二次根式的除法运算，产将结果化成最简二次根式9、【答案】A【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】因为=，且<<，所以1<<2，故选A【分析】根据题意正确进行二次根式的乘法计算，并能运用平方数比较大小的方法确定无理数的大致范围是一个基本的数学方法10、【答案】B【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：•==5，∵•的值是一个整数，∴正整数a的最小值是2，故选B．【分析】根据已知得出50a能开出来，即50a是一个完全平方数，当a=2时，50a能开出来，是个整数，并且值最小．11、【答案】C【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：A、（﹣）2=3，原来的计算错误，不符合题意；B、，原来的计算错误，不符合题意；C、，原来的计算正确，符合题意；D、=3，原来的计算错误，不符合题意．故选：C．【分析】A、根据二次根式的性质与化简即可求解；B、根据二次根式的性质与化简即可求解；C、根据二次根式的性质与化简即可求解；D、根据二次根式的性质与化简即可求解．12、【答案】B【考点】最简二次根式【解析】【解答】解：A、被开方数中包含分母，不属于最简二次根式，不符合题意；B、被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，属于最简二次根式，符合题意；C、被开方数能继续开方，不属于最简二次根式，不符合题意；D、被开方数中包含分母，不属于最简二次根式，不符合题意；故选B．【分析】找到被开方数中不含分母的，不含能开得尽方的因数或因式的式子即可．13、【答案】C【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：原式==﹣．【分析】直接进行分母有理化即可求解．14、【答案】A【考点】分母有理化【解析】【解答】解：原式==3+2．故选A．【分析】原式分子分母乘以有理化因式，计算即可得到结果．15、【答案】B【考点】最简二次根式【解析】【解答】解：A、=3，故不是最简二次根式，故A选项错误；B、是最简二次根式，符合题意，故B选项正确；C、=2，故不是最简二次根式，故C选项错误；D、=，故不是最简二次根式，故D选项错误；故选：B．【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．二、填空题16、【答案】240【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】原式=6×20=240【分析】正确运用二次根式乘法法则进行计算是解题的基本方法17、【答案】3【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：原式===3．故填3．【分析】根据二次根式的乘法法则计算．18、【答案】【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：计算：÷==．【分析】根据二次根式的除法法则计算．19、【答案】5【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】=×=5．故答案为：5．【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可．20、【答案】②③【考点】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0．①根号下必须非负，错误；②==1，正确；③÷===﹣b，正确．故答案为：②③．【分析】由ab＞0，a+b＜0，可得出a＜0，b＜0，从而排除了①，再根据二次根式乘除法运算法则可得知②③正确．三、计算题21、【答案】解：原式=4×÷=3÷=．【考点】二次根式的乘除法【解析】【分析】先将二次根式化为最简，然后从左至右依次运算即可．四、解答题22、【答案】解：（1）==2；（2）==3；（3）==；（4）==．【考点】最简二次根式【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．23、【答案】解：∵x=，y=，∴=====﹣．【考点】二次根式的化简求值【解析】【分析】首先将分式因式分解进而将已知代入求出即可．24、【答案】因为长方形面积为，圆的面积等于长方形面积，不妨设圆的半径为r，于是，所以cm.【考点】二次根式的乘除法【解析】【分析】能够根据题意设计等量关系，并根据二次根式的乘法法则进行正确的计算是非常重要的.五、综合题25、【答案】（1）解：•2•（﹣）=2×（﹣）=﹣=﹣4（2）解：•（÷2）=×××=【考点】二次根式的乘除法【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可；（2）首先除法化成乘法，进而利用二次根式乘法运算法则求出即可．《16.2二次根式乘法》教案第一课时教学内容二次根式的乘法课时数学科数学年级八年级班级教学目标理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简教学重点掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。教学难点正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。教学流程备注（一）复习引入1．填空：（1）×=___，=__×__（2）×=__，=___×__（3）×=__=__×__（二）、探索新知1、学生交流活动总结规律．2、一般地，对二次根式的乘法规定为·＝．（a≥0，b≥0反过来:=·（a≥0，b≥0）例1、计算（1）×（2）×（3）3×2（4）·例2、化简（1）（2）（3）（4）（5）巩固练习（1）计算：①×②5×2③·（2）化简:;;;;（三）、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）（2）×=4××=4×=4=8（四）展示反馈（五）达标测试：A组1、选择题（1）等式成立的条件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1（2）下列各等式成立的是（）．A．4×2=8B．5×4=20C．4×3=7D．5×4=20（3）二次根式的计算结果是（）A．2B．-2C．6D．122、化简：（1）；（2）；3、计算：（1）；（2）；B组1、选择题（1）若，则=（）A．4B．2C．-2D．1（2）下列各式的计算中，不正确的是（）A．=（-2）×（-4）=8B．C．D．2、计算：（1）6×（-2）；（2）；3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。(1)-3(2)板书设计教学反思第二课时：教学内容二次根式的除法课时数1学科数学年级八年级班级教学目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。教学重点掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。教学难点正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。教学流程备注（一）复习回顾1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算：（1）3×（-4）（2）3、填空：（1）=____，=____；规律：__（2）=____，=____；__；（3）=____，=____；____；（4）=____，=___．___．一般地，对二次根式的除法规定：=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．（二）、巩固练习1、计算：（1）（2）（3）（4）2、化简：（1）（2）（3）（4）注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。（三）拓展延伸阅读下列运算过程：数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。利用上述方法化简：(1)=_______（２）=________(３)=________(４)=______（四）达标测试：A组1、选择题（1）计算的结果是（）．A．