2023-2024学年云南省昆明市大哨乡中学高三数学文模拟试卷含解析

2023年云南省昆明市大哨乡中学高二数学文模拟试卷

含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

C•——+y2=1

1.如图，FHFz是椭圆「4"与双曲线Cz的公共焦点，A,B分别是&在第

二、四象限的公共点.若四边形AFBF?为矩形，则双曲线。的渐近线方程是（）

士返返

A.尸土B.2XC.y=+V3xD.y=+2x

参考答案：

B

【考点】椭圆的简单性质.

22

【分析】由题意可知：AF1|+|AF2|=2a=4,IAFiI+IAF2I=IFIF2I贝I]II=2-

222

V2,|AF2|=2+^2,由双曲线的定义可知：2a't|AF2|-|AF」，c?=«,b=c-a=l,

b

则双曲线C2的渐近线方程y=±Ix.

【解答】解：设|AF1=x,|AF21=y,

2

x2

•••点A为椭圆r4y-上的点，

2a=4,b=l,c=V3；

A|AFi|+|AF2k2a=4,即x+y=4；①

又四边形AFiBFz为矩形，

222

IAFi|+|AF2|%|FIF2I2,即x+y=(2c)2=12,②

"x+y=4

,22

由①②得lx'+y=12,

解得：x=2-V2,y=2+V2,

设双曲线G的实轴长为2a',焦距为2c，

则2a，=|AF2|-|AFij=y-x=2V2,a=V2,

2c'=2V3,则c=V^,b2=c2-a2=L

且返

双曲线G的渐近线方程y=±Ix=+^-x,

2.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的

参考答案:

B

【分析】

通过三视图还原几的直观图，是一个条侧棱与底面垂直的三棱锥，利用三视图的数据求出

几何体的体积即可。

【详解】该几何体是三棱锥力-A6,如图所示：

F=-=63)3=9

则3g32。

【点睛】本题以三视图为载体，要求还原几何体的直观图，再通过三视图的数据，考查三

棱锥体积公式的应用。

3.抛物线x2=8y的焦点坐标为()

A.(2,0)B.(4,0)C.(0,2)D.(0,4)

参考答案：

C

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】根据抛物线的标准方程的形式，求出焦参数P值，即可得到该抛物线的焦点坐

标.

【解答】解：由题意，抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上

P

:抛物线x'8y中，2P=8,得工=2

抛物线的焦点坐标为F(0,2)

故选：C

ax2+l

4.已知函数f(x)=ex(e为自然对数的底数)，函数g(x)满足g，(x)=f'

(x)+2f(x),其中f'(x),g'(x)分别为函数f(x)和g(x)的导函数，若函数

g(x)在［-1,1］上是单调函数，则实数a的取值范围为()

11

A.aWlB.-3WaWlC.a>lD.a2-3

参考答案：

B

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】求出f(X)的导数，从而求出g(x)的导数，构造？(x)=ax2+2ax+l,通过讨论

a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可.

【解答】解：Yf(x)=ex,

z,、2axex-(ax2+l)ex2ax-ax2-l

f(x)=----------------2----------=--------x------

(ex)e,

2

g,(x)=f‘(x)+2f(x产122

・・.ex,

Vg(x)在［-L1］上是单调函数，

则当-IWxWl时，g(x)20恒成立或g'(x)W0恒成立，

又・・・g'(0)=1>0,所以当-IWxWl时，g'(x)W0恒成立必定无解,

・・・必有当-IWxWl时，g'(x)20恒成立，

设？(x)=ax2+2ax+l,

当a=0时，？(x)二1成立；

当a>0时，由于？(x)在［-1,1］上是单调递增，

所以？(-1)20得aWl；

当aVO时，由于？(x)在在［-1,1］上是单调递减，

故选：B

5.已知m,n是两条不同直线，Q,B,Y是三个不同平面，下列命题中正确的是

()

A.若。_1丫，8_1丫，则。〃68,若m_La,n_La,则m//n

C.若m//a,n〃a,则m//nD.若m//a,m//8,则a〃8

参考答案:

A

考点：空间中直线与平面之间的位置关系.

专题：空间位置关系与距离.

分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

解答：解：若a丫，B_L丫，则a与B相交或平行，故A正确；

若mLa,n_La,则由直线与平面垂直的性质得m〃n,故B正确；

若m〃a,n〃a,则m与n相交、平行或异面，故C错误；

若m〃a,6,则a与B相交或平行，故D错误.

故选：A.

点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养.

6.的内角4,B,c的对边分别为a,b,c,若3,c-j,b-Za,则

UC的面积为（）

3^j32-/2+/

A.丁B.4C.应D.4

参考答案：

A

*1

由余弦定理得：32ab2,二又b-3a,所以1球1-3a1,

二。-1,b-3,—2224,故选A.

x-y+1^0

<y+l>0

7.如果实数x、y满足条件x+y+l<0,那么2x-y的最大值为（）

A.2B.1C.-2D.-3

参考答案:

B

【考点】简单线性规划的应用.

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴

上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.

【解答】解：先根据约束条件画出可行域，

当直线2x-y=t过点A(0,-1)时，

t最大是1,

故选B.

8.在△ABC中，a===则B等于（）

A.30°B.60°C.12O°D.1500

参考答案：

B

9.已知△ABC中，bssChccosB,试判断AABC的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形

参考答案：

A

10.阀个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013,箭头的方向依次为

()

03..47-・811…

1IIIII

1-25—*69—10

A.IfB.fIC.

D.一f

参考答案：

B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知一个正三棱锥的高是4,底面为边长是2的等边三角形，其俯

视图如图所示，则其侧视图的面积为

参考答案：

24

略

12.AABC的三边满足a2+b2=c2-ab,则小ABC的最大内角为（）.

A.60°B.90°C.120°D.150°

参考答案：

A

略

13.在半径为2的圆内有一个边长为1的正方形，若向圆内随机投

一点，则该点落在正方形内的概率为.

参考答案：

1

4n

14.“x>2”是-4>0”的条件(在“充分不必要”、“必要不充

分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空).

参考答案：

充分不必要

15.如图所示，在三棱柱ABC-A1BQ中,AA」底面ABC,AB=BC=AA1,ZABC=90°,点E、F

分别是棱AB、BBi的中点，则直线EF和BC的夹角是.

参考答案:

兀

~3

【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角.

【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出.

【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系.

由于AB=BC=AAi,不妨取AB=2,

贝1JE(0,1,0),F(0,0,1),Ci(2,0,2).

AEF=(0,-1,1),BC1=(2,0,2).

EF'BC?

r.——」一21

...cos<EF,BC]>=|而||Bq|J/2^Js=2

7T

.♦.异面直线EF和BQ的夹角为"T.

故答案为：T.

【点评】本题考查了通过建立空间直角坐标系和向量的夹角公式求异面直线的夹角，属于

基础题.

16.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三

角形的个数n之间的关系式可以是.

参考答案:

an=2n+1

略

17.球。被平面a所截得的截面圆的面积为兀，且球心到a的距离为屈，则球。的体积

为.

参考答案：

256

----x

3

【分析】

先求出截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球的体积公式可得结果.

【详解】设截面圆的半径为九球O的半径为R,

则Itr5=X,r-1,

•胪二/.（、讨=]6

4'256256

=----X-----X

...£=4,球O的体积为33,故答案为3.

【点睛】本题主要考查球的性质以及球的体积公式，属于中档题.球的截面问题，做题过程

中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；

②注意运用性质/=/+3

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（2016秋?邢台期末）在四棱锥P-ABCD中，PA，底面ABCD,底面ABCD是一直角梯

形，ZBAD=90°,AD〃BC,AB=BC=a,PA=3a,AD=2a.

（1）若AELPD,E为垂足，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；

（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.

P

4\

参考答案：

【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角.

【分析】（1）法一（几何法）：

过点E作EM〃CD交PC于M,连接AM,则AE与ME所成角即为AE与CD所成角.由此能求

出异面直线AE与CD所成角的余弦值.

法二（向量法）：

建立空间直角坐标系A-xyz,利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的余弦值.

（2）求出平面PAB的一个法向量和平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出平面PAB

与平面PCD所成锐二面角的正切值.

【解答】解：（1）法一（几何法）：

过点E作EM〃CD交PC于M,连接AM,

则AE与ME所成角即为AE与CD所成角.

在RtZ\PAD中，ZPAD=90°,

由PA玉，得/PDA=30°,PA33.

.•.AE=AD?sin30°=a.

J如J

PA2.(~a)_V3

PE=a

PD-4g-3

丁a,CD=V2a.

g十近

CD-PE

ME=

PD

3&

连接AC,：在4ACD中，AD=2a,AC二CD=&a,

.•.AD2=AC2+CD2,.,.ZACD=90°,ACOXAC,AME±AC.

又,.,PA_L底面ABCD,APA±CD,.\ME±PA.；.MEJ_平面PAC.

•••MA?平面PAC,VME±AM.

ME近

・•.在RtZMlME中，cos/MEA而〒.

返

...异面直线AE与CD所成角的余弦值为4.

法二（向量法）：

如图建立空间直角坐标系A-xyz,

E(O,1

则A(0,0,0),B(a,0,0)，，C(a,a,0),D(0,2a,0),

273

P(o,0,、

La返一

AE=(0,22a),CD=(-a,a,0).

设AE与CD所成角为e，

返

...异面直线AE与CD所成角的余弦值为4.

解：（2）由题设知，CB±AB,CB±PA,则CBJ_平面PAB.

・・・平面PAB的一个法向量为BC=（0,a,0）.

设平面PCD的一个法向量为ir=(x,y,z),

,2A/3____.__

*.*PC=(a,a,-3a),CD=(-a,a,0),・••由n?PC=O,ir?CD=O.

r2V3

,ax+ay^-az=On卜=了

得-ax+ay=O.,/.Iz=V3y.,令y=i,得7=(1,1,.

设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为a,

成端|OXHaXJ+OX-二二泥

5

则cosa=夜高手出军而后1。电.

/.tana-2.

平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值为2.

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题

时要认真审题，注意向量法的合理运用.

19.(本小题满分10分)

已知函数〃力="1,解不等式x+(x+D〃x+l)*T

参考答案:

解：由题意知'（x+】）=x+2,

则原不等式可化为x+（X+1乂x+34一1

即J+4x+3$05分

又方程K+4x+3=0的两根为-1和-3

原不等式的解集为；‘卜7〕10分

略

20.如图，已知在多面体ABCQE中，A5_L平面ACD,OE_L平面AC7）,

AC=AD=CD=DE^2AB,尸为CE的中点.

（1）求证：直线CEJ_平面8DF.

（2）求平面BCE与平面AC。所成的锐二面角的大小.

参考答案：

（1）设3-a,♦.•⑷5,平面/CD,

，在直角中，+■、氏1......1分

在直角梯形〃皿中，"-"初’+（阿-瑟）1・&..............2分

.•.时=/•.•〃为CK的中点BF1CK.............................3分

•;DC-DE：.DF±CE............................4分

V1yA是平面1My内的两条相交直线.............5分

二直线CKJ•平面政审..............6分

(2)•/JC=JD=CD=DB=2AB,14s，平面/CD,平面/CD,

AB^-DK

.•.AB〃丛且2............................7分

延长ZH和相交于点M,连接"，则CM是平面皿与平面所成的二面

角的棱..............9分

是AMD«的边ZW的中位线，BC-RE-BM

...45为直角三角形，.•.se_LCM

同理.•.AMW为直角三角形，.•.OC_LC"

/.NOCK就是二面角DCMK的平面角..............11分

r

在直角MDC中，・・・DC-ZW,・・.NDCK一彳

r

・・・平面故Z与平面所成的锐二面角的大小为4..................