2022年山西省太原市第三十中学高二数学理模拟试题含解析

2022年山西省太原市第三十中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），则当x，y∈Z时，P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是古典概型，我们列出满足|x|≤2，|y|≤2（x，y∈Z）的基本事件总数，对应的平面区域，再列出满足条件（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4（x，y∈Z）的基本事件总数，然后代入古典概型计算公式，即可得到结论．【解答】解：满足条件|x|≤2，|y|≤2（x，y∈Z）的基本事件有：（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2）（0，﹣2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）（1，﹣2），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2）（2，﹣2），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2），共25种情况其中，满足条件（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的有（0，2），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），共6种情况故满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率P=，故选：C2.设x∈R，则“|x﹣1|＜2”是“x2﹣4x﹣5＜0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：|x﹣1|＜2得：﹣1＜x＜3，解x2﹣4x﹣5＜0得：﹣1＜x＜5，故“|x﹣1|＜2”是“x2﹣4x﹣5＜0”的充分而不必要条件，故选：A3.一枚硬币，连掷三次，至少有两次正面朝上的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：A4.函数

（

）

A．既有最大值，又有最小值

B．无最大值，但有最小值

C．有最大值

，但无最小值

D．既无最大值，又无最小值参考答案：A5.已知点F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（）A．20 B．18 C．12 D．10参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：点F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|=8，a=5．则|AF2|+|BF2|+AF1||+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|BF2|+8=4a=20．|AF2|+|BF2|=12．故选：C．6.命题“若则”的否命题是（A）若则 （B）若则 （C）若则 （D）若则参考答案：C7.如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(

)A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．8.下列命题中正确的个数是（

）①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则②如果直线与平面的一条垂线垂直，则③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直A.

0

B.1

C.2

D.3参考答案：B9.已知,则的值为()A．大于0

B．小于0C．不小于0

D．不大于0参考答案：D10.设函数f（x）在R上存在导数，，有，在(0,+∞)上，，若，则实数m的取值范围为（

）A．[2,+∞)

B．[3,∞)

C．[－3，3]

D．(－∞,－2]∪[2,+∞)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算dx的结果是

．参考答案：π【考点】定积分．【分析】根据定积分的几何意义，∫02dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，问题得以解决．【解答】解：∫02dx表示的几何意义是以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，∴∫02dx==π故答案为：π12.双曲线﹣=1渐近线方程为．参考答案：y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．13.P、Q分别为与上任意一点，则的最小值为是______________.参考答案：略14.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，则函数f（x）的表达式为．参考答案：f（x）=x3+x2﹣8x+6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件．【分析】求出f′（x），由函数在x=﹣2处取得极值得到f′（﹣2）=0，又∵函数与直线在点（1，0）处相切，∴f′（1）=﹣3，联立两个关于a、b的二元一次方程，求出a和b，又由函数过点（1，0），代入求出c的值，则函数f（x）的表达式可求．【解答】解：∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0，化简得：12﹣4a+b=0

①又f′（1）=3+2a+b=﹣3

②联立①②得：a=1，b=﹣8又f（x）过点（1，0）∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6．∴f（x）=x3+x2﹣8x+6．故答案为：f（x）=x3+x2﹣8x+6．15.已知M(–3,0)，N(3,0)，给出曲线：①x–y+5=0，②2x+y–12=0，③x2+y2–12x–8y+51=0，④=1.在所给的曲线上存在点P满足|MP|=10–|NP|的所在曲线方程是

__.

参考答案：解析:满足|MP|=10–|NP|，点P的轨迹是椭圆.画图可知直线x–y+5=0及双曲线与它有交点，而直线2x+y–12=0，如图(x–6)2+(y–4)2=1与它无交点.故填①④.16.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有

．参考答案：960【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】第一步将5名志愿者先排成一排，有A55种方法，第二步将2位老人作一组插入其中，有2×4种方法，故不同的排法共有2?4?A55种，运算求得结果．【解答】解：5名志愿者先排成一排，有A55种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有2?4?A55=960种不同的排法，故答案为：960．17.已知实数1，m，16构成一个等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率为．参考答案：或【考点】曲线与方程；等比数列的通项公式．【分析】由1，m，16构成一个等比数列，得到m=±4．当m=4时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣4时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．【解答】解：∵1，m，16构成一个等比数列，∴m=±4．当m=4时，圆锥曲线x2+=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣4时，圆锥曲线x2+=1是双曲线，它的离心率是．故答案为：或．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若,,求.参考答案：【解】（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入,得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴=2,=2,∴=2n

┉┉┉┉┉┉┉┉6分（Ⅱ）,∴

①∴

②∴①-②得＝

┉┉┉┉┉┉┉┉12分略19.（12分）求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.参考答案：证法1：∵a4+b4+c4-（a2b2+b2c2+c2a2）=[(a4-2a2b2+b4)+(b4-2a2b2+c4)+(c4-2c2a2+a4)]=[(a2-b2)2+（b2-c2）2+(c2-a2)2]≥0，∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2（12分）。证法2：不妨设a2≥b2≥c2,则由排序原理顺序和≥乱序和，得a2×a2+b2×b2+c2×c2≥a2b2+b2c2+c2a2，即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2，当且仅当a2=b2=c2时，等号成立（12分）.略20.（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知（b－2a）cosC＋ccosB＝0．（1）求C；（2）若c＝，b＝3a，求△ABC的面积．参考答案：（1）原式可化为：

………2分

即

………3分

………5分（2）

………7分

………8分

………10分21.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.O为AB的中点(1)证明：AB⊥平面A1OC(2)若AB＝CB＝2，平面ABC⊥平面A1ABB1，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．参考答案：(1)证明：连结A1B.，因为CA＝CB，OA＝OB，所OC⊥AB因为AB＝AA1，∠BAA1＝60°，所三角形AA1B为等边三角形，所以AA1＝A1B，又OA＝OB，所以OA1⊥AB，又＝，面A1OC（2）由题可知，与是边长为2的等边三角形，得平面ABC平面A1ABB

平面ABC平面A1ABB＝AB，由（1）OA1⊥AB，平面A1ABB面ABC为三棱柱ABC－A1B1C1的高＝322.设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，已知P（2，m）是抛物线C上一点，且|PF|=4．（Ⅰ）求p和m的值；（Ⅱ）设过点Q（3，2）的直线l1与抛物线C相交于A、B两点，经过点F与直线l1垂直的直线l2交抛物线C于M、N两点，若|MN|是|QA|、|QB|的等比中项，求|MN|．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过将P（2，m）代入抛物线C方程及抛物线的定义计算即得结论；（Ⅱ）设l1：x=m（y﹣2）+3（m≠0），l2：x=﹣y+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x3，y3）、N（x4，y4），分别与抛物线方程联立，利用韦达定理及|QA|?|QB|=|MN|2，计算即可．【解答】解：（Ⅰ）根据抛物线的定义得|PF|即为点P到准线的距离，∴|PF|=2+=4，∴p=4，又P（2，m）是抛物线C上一点，∴m2=2×4×2=16，∴