河北省唐山市2022-2023学年高一年级上册学业水平调研数学试题（含解析）

唐山市2022-2023学年度高一年级第一学期学业水平调研考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合L,集合—>,则MCN=()

A.[0,1]B.[-1,0]C.~,1]D.[-1,1]

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性求出集合再根据交集的定义即可得解.

【详解】M={x|2r<l}={x|x<0},

所以McN=[—1,0].

故选：B.

2.sin(-330。)=()

A.1B.也C.--D.一@

2222

【答案】A

【解析】

【分析】由诱导公式一求解即可.

[详解]sin(-330°)=sin(-360°+30°)=sin30°=1

故选：A

3.命题“三%>0,sinx-xW0”的否定为()

A.Vx<0,sinx-x>0B.Hx〉0,sinx-x<0

C.Vx〉0,sinx-x>0D.Hx<0>sinx—x>0

【答案】C

【解析】

【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.

【详解】由题意知命题“Hx>0,sinx—xWO”为存在量词命题，

其否定为全程量词命题，即\&>0,sinx—x>0,

故选：c

4.若幕函数/（可=靖的图象经过第三象限，则a的值可以是（）

11

A.-2B.2C.*D.-

23

【答案】D

【解析】

【分析】根据累函数的图象和性质，一一判断各选项，即得答案.

【详解】当&=-2时，/（%）=广2为偶函数，图象在第一和第二象限，

不经过第三象限，A不合题意；

当。=2时，/（%）=九2为偶函数，图象过原点分布在第一和第二象限，

图象不经过第三象限，B不合题意；

11

当[=5时，/（x）=x5,xe[0,+8），图象过原点分布在第一象限，不经过第三象限，C不合题意;

11

当&=§时，/（x）=/,xeR为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意，

故选：D

5.方程/+log2x=6的解一定位于区间（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】C

【解析】

【分析】令/（x）=d+log2x—6,再根据零点的存在性定理即可得出答案.

2

【详解】4/（x）=x+log2x-6,定义域为（0,+“），

因为函数y=x-,y=log2x—6在（0,+oo）都是增函数，

所以函数/（力=*+10821-6在（0,+8）是增函数，

又因/（2）=4+l-6=-l<0,/（3）=3+log23>0,贝U/（2）/⑶<0,

所以函数/（X）=三+1082尸6在区间（2,3）上，

即方程犬+log2x=6的解一定位于区间（2,3）上.

故选：C.

6.已知函数满足〃x)+2/(—x)=x,则/⑴=()

11

A.—1B.1C.—D.—

33

【答案】A

【解析】

【分析】分别令x=l,x=-l,然后解方程组可得.

【详解】分别令x=l,x=-l,贝U八二/二，，解得八D=-L

故选：A

3

7.已知无eR,贝仁——21”是“兀42”成立的()

x+1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式，然后根据集合的包含关系可得.

33r-2

【详解】不等式——》1=---------120=——<0,解得—1<%W2

x+1x+1x+1

记A={尤|-1<XW2},B={x\x<2}

..3

因为AU3,所以“——21”是“xW2”成立充分不必要条件.

x+1

故选：A

8.下列结论正确的是()

0904401

A.4-<8B.log20.2>2

C.若狐〉的，则Y〉/D.若&〉6，则/>〃

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性即可判断A；根据指数函数与对数函数的单调性结合中间量法即可判断B；

根据不等式的性质即可判断CD.

【详解】对于A,因为4°-9=2-8°44=升32,所以2">力32,

即4。9>8。型，故A错误;

1

对于B,H^log20.2<log21=0,2°>2°=1,所以log2().2<2°]，故B错误；

对于C,当a=l,b=—8时,=1>y/b=-2，

此时储=1<64=〃，故c错误；

对于D,若J7〉扬，则a>Z?»0,所以1>户，故D正确.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.将函数〉=5诂[；+2]+2图象上的所有点的横坐标缩短为原来的工，纵坐标不变；再向右平移△个单

6J63

位长度，然后再向下平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，贝M)

A.g(九)=cos2无B.函数y=+为奇函数

C.g(x)的图象关于点(兀,0)对称D.g(x)的图象关于直线尤=；对称

【答案】BD

【解析】

【分析】根据周期变换和平移变换的原则求出函数g(x)的解析式，再根据正余弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】函数y=sin[=+V]+2图象上的所有点的横坐标缩短为原来的5，

可得y=sin

TT

再向右平移一个单位长度,

3

可得y=sin+2=sin+2=-cos2x,

然后再向下平移2个单位长度，可得g(x)=-cos2x,故A错误;

71

XH----=-cos=sin2x,

4

因为g

所以函数y=g[x+；J为奇函数，故B正确；

因为g（兀）=—cos2兀=-1,所以点（兀,0）不是函数g（x）的对称中心，故c错误；

因为gg]=_COS7T=1,所以g（x）的图象关于直线X、对称，故D正确.

故选：BD.

10.已知关于X的不等式依2+法+c>0的解集为<xg<x<l",则下列结论正确的是（）

A.a>0

B.c<0

C.a+b>0

D.关于尤的不等式c£+法+°>o的解集为{乂—3<x<-l}

【答案】BC

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得

a=3c,b=-4c（a<0）,进而结合选项即可求解.

【详解】由不等式or?+bx+c>0的解集为<x=<x<l>,所以「和1是方程or?+法+0=0的两个根,

[3J3

bl，

由根与系数的关系可得a,3，解得

C1I

—=—xl

3

Q=3C,Z?=-4C（Qv0）,

故A错误，B正确，〃+〃=—c>0,故C正确，

不等式ex2+bx+a>0变为ex2—4cx+3c>0=>x2—4x+3<0，解得{九[1<九<3},故D错误,

故选：BC

11.定义域为R的函数/（九）满足/（2+X）=/（尤），f（2-x）=f（x）,当xe[0,l]时,f（x）=2x-l,已

知g（x）=；|x_q，则（）

A.””的最大值是1B.g(〃5))=15

c.〃g(5))=0D./(%)与g(x)的图像有4个交点

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据/(尤)的对称性以及周期性即可判断ABC,根据画图，即可根据

函数图象的交点个数求解.

【详解】对于A,由于/(%)=2、—1在xe[O,l]单调递增,故此时/⑺1mx=61)=1,由“2—x)=f(x)可

知“力关于x=1对称，故xG[0,2]的最大值也为1,又“2+x)=〃尤)知/(%)是周期为2的周期函数，

因此在定义域内，/(^)max=h故A正确，

对于B,/(5)=/(l)=l,所以g(/(5))=g(l)=0,故B错误，

对于C,g(5)=2,f(g(5))=/(2)=/(0)=0,故C正确,

对于D,在同一直角坐标系中，画出/(x),g(x)的图象如下图，即可根据图象得两个函数图象有4个交点，

故D正确.

故选：ACD

12.对任意的锐角a,(3,下列不等关系中正确的是()

A.sin(a+夕)<sina+sin夕B.sin(a+〃)>cosa+cos〃

C.cos(a+〃)<sina+sin/D.cos(cz+/3}<cosa+cos/3

【答案】AD

【解析】

【分析】根据和角公式结合正弦余弦函数的性质判断AB；取a=〃=15。判断C；由0＜夕＜。+〃〈万结

合余弦函数的单调性判断D.

【详解】因为a，P是锐角，所以sin(c+/?)=sinacos/?+cosasin£<sincr-1+sin/?-1=sina+sin/?,

sin(6Z+/?)=sinacos(3+cosasm/3<cos/?-1+cosal=cosa+cos(3,故A正确，B错误；

当a=〃=15°时，cos(a+，)=cos30°=孝，sina+sin』=sinl5°+sinl5°=遍二后,(其中

J=J£尸^G3)，孝〉吟正，故C错误;

因a,2是锐角，则0<。<(/+/，而函数丁=85兀在(0,疳上单调递减，于是得cos(a+6)<cosa,

又cos/7>0,有cos(a+6)<cosa+cos夕，D正确.

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2

13.log23xlog34x^(-2)=--------

【答案】4

【解析】

【分析】直接利用对数的换底公式求解即可.

【详解】log23xlog34xJ(-2/

=lg3xlg4x2=lg3x21g2x2=4

lg2lg3lg2lg3

故答案为：4.

14.已知ae[>I，兀)，sin(7T-a)=Y^，贝i]tan2a=

')3

【答案】2&

【解析】

【分析】根据诱导公式以及同角关系可得tana=空区=-&,由正切的二倍角公式即可代入求解.

cosa

【详解】由sin(兀一a)=得sina=，由。可得cosa=-Jl-sin2a,故

sinanr

tana=------=,

cosa

由二倍角公式得tan2a=2tan^=二述=2、历，

1—tan~a1-2

故答案：2起

15.已知正数乂丁满足x+y—孙+3=0,则孙的最小值为.

【答案】9

【解析】

【分析】利用基本不等式，结合解一元二次不等式，即可求得答案.

【详解】对于正数乂V,有x+y22而,当且仅当x=y时取得等号,

故由％+>一孙+3=。得移一3=x+y»2^^,即孙一322A,

所以一3）（J^+l）20,故或W-1（舍去），

故孙29,即孙的最小值为9,当且仅当x=y=3时取最小值，

故答案为：9

"2

16.已知函,数“/（、x）力-x++3m2x,1x<1

①当根=1时，不等式/（£）—3>0的解集为；

②若/（九）是定义在R上的增函数，则实数机的取值范围为.

【答案】①.（2,+s）②.|,1

【解析】

【分析】①分类讨论解分段函数不等式；②分段函数单调递增等价于各分段单调递增以及分段处单调递增,

分别根据二次函数性质、幕函数性质列式求解即可.

【详解】①加=1时，〃x）=<*+3x，x,l,由/（同一3>0得

X+1,X>1

+—<0x+1-3>0

4=>%无解,或<=>2.

x>l

x<l

故所求解集为（2,+8）;

②/（九）是定义在R上的增函数等价于g（x）=—d+3,双xWl单调递增，/Z（x）=x"+Lx>l单调递增,

且g(l)W/z(l),

^>1

22「2

则有《机〉0=^>-<m<l,故实数机的取值范围为一,1

33

,一，/、2,

故答案为：(2,+8)；—,1

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知全集U=R,集合4={小2一2无一3<。},5={%|口<集}.

(1)当a=0时，求Au8，A(^B)；

(2)若AB=A,求实数a的取值范围.

【答案】(1)A5={x|x<3},A(^B)={x|0<x<3}

(2)(3,+oo)

【解析】

【分析】(1)先解不等式得集合4然后根据集合运算可得；

(2)利用数轴分析可解.

【小问1详解】

解不等式丁―2%—3<0,得人={乂—l<x<3}

当a=0时，5={吊为<。},所以AB={x\x<3}

因为%B={x|x20},所以Ac(a3)={x|0WxW3}

【小问2详解】

因为AfB=A,所以AgB

—11!----->

-13a

所以a>3,即实数a的取值范围为(3,+8)

"卜春，

18.已知函数“%)=cos2xeR.

⑴求“力的单调递增区间；

⑵求/（%）在区间-],0内的最小值及此时对应的X值.

5兀71

【答案】⑴kit--,+—(keZ)

⑵-冷时'

【解析】

【分析】（1）先根据降幕公式和辅助角公式化简，然后由正弦函数的单调性可得;

JT

⑵根据X的范围求得2%十—的范围，然后由正弦函数的性质可解.

3

【小问1详解】

1+cos2x~~

I31-cos2x1=也

f(x)=sin2x+-cos2%sin2x+—

2222I3

7

jIjIjIjIjI

由24兀---<2x+—<24兀+—.kGZ,得左兀-----<x<ku----,keZ,

2321212

57rjr

/（九）的单调递增区间为kn--,kn+—（左eZ）

【小问2详解】

71

因XGgo,所以一gs+W、

2

故当2x+m=—(即x=一时,

2一_Y*

19.已知函数/(%)=In------

2+x

（D判断了（%）在定义域内的单调性，并给出证明;

⑵求〃龙）在区间[—1』内的值域.

【答案】（1）单调递减，证明见解析

I1一

(2)In—,In3

【解析】

【分析】(1)利用复合函数的单调性性质，结合对数函数与反比例函数的单调性，可得答案，利用单调性的

定义证明即可；

(2)根据(1)所得的函数单调性，可得其最值，可得答案.

【小问1详解】

2—X4

由函数〃x)=ln^--=山£^旦山+，则函数/(可在其定义域上单调递减.

/十X2+x

证明如下：

2_v-2-r

由函数〃x)=ln——,则一->0,(2-x)(2+x)>0,(x-2)(x+2)<0,解得—2〈尤<2,即函

2+x2+x

数的定义域为(—2,2),

取任意七,七«—2,2),设石<々，

2-x2+『]4+2(/一%)一再入2

/(x)-/(x)=ln----In-——=lnx

V17V27玉

2+2+w、2+尤]2-X2>4+2(再-x2)-XjX2，

由石<%2，则%一九2<0<%2一玉，即4+2(七一元2)—%工2<4+2(兀2—%)一看兀2，故

4+2(%2-再)一平2｝］

4+2(尤］-x2)-XjX2

所以/(石)>/(々)，则函数/(%)在其定义域上单调递减.

【小问2详解】

由⑴可知函数“可在其定义域上单调递减，则函数“可在［—1』±/(x)max=/(-l)=ln3,

，(xL="l)=lng，

所以函数/(%)在［—1』上的值域为ln1,ln3.

20.某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产x(xeN*)百台，需另投入生产

2

成本R(x)万元.当年产量不足46百台时，7?(X)=3X+260%;当年产量不小于46百台时，

4900

R(x)=501x+----------4830.若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销

售完.

(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所W(x)(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式(利润=销售

额一成本);

（2）这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.

-3x2+240x-2000,0<x<46

【答案】⑴W（x）=<4900）

2830-x+x+2oj,x>46

（2）年产量为40百台时，该企业所获利润最大，最大利润是2800万元.

【解析】

【分析】⑴分0W%<46和龙246两种情况分别求出年利润所W（x）（万元）关于年产量x（百台）的函数关

系式，即得答案；

（2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意可得：当0Wx<46时，y=500x—3/—260x—2000=—3/+240x—2000,

49004900

当x»46时y=500x-（501%+——4830）-2000=2830—（x+—^）

所以年利润y（万元）关于年产量尤（百台）的函数关系式为：

—3%2+240%—2000,0<%<46

W（x）=」（4900、

\）2830-x+--------,x>46

〔Ix+20j

【小问2详解】

由（1）得0W光<46时，y=-3x2+240x-2000=-3（x-40）2+2800，

此时X=40（百台）时，>max=2800（万元），

4900I4900

当x246时，y=2830-（%+）<2850-2.（x+20）x—=2850-2x70=2710

-x+20Vx+20

4900

当且仅当x+20=——,即X=50时等号成立，Vmax=2710（万元），

x+20

而2800>2710,故x=40（百台）时，利润最大，

综上所述：年产量为40百台时，该企业所获利润最大，最大利润是2800万元.

21.已知定义域为［一。,2。-1］的偶函数/（尤），当0WxW2a—l时，/（x）=-x+cosx.

⑴求实数a的值及〃尤）的解析式；

（2）解关于t的不等式/“）</（1—2。.

x+cosx,-l<x<0

【答案】(l)a=l,/(%)=<

-x+cosx,0<x<l

【解析】

【分析】(1)根据偶函数定义域关于原点对称即可求出。=1,令—lWx<0,则0<—xWl,根据函数为

偶函数即可求得-lWx<0时，函数的解析式，即可得解；

(2)先判断函数在［0』上的单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可，注意函数的定义域.

【小问1详解】

因为定义域为［—a,2a—1］的偶函数/(x),

所以—a+2Q—1=0,解得a=1,

则函数/(%)的定义域为［Tl］，

又当0<X<2Q—1时，即当OKxKl时，/(x)=—x+cosx,

令—1<XV0,则0v—X<1,

f(-x)=-(-x)+cos(-x)=x+cosX-f^x),

/、x+cosx,-l<x<0

所以八一〃；

-x+cosx,0<x<1

【小问2详解】

当0<x<l时，/(x)=-x+cosx,

因为函数y=-X,y=cosx在［0』上都是减函数，

所以函数/(九)在［0』上是减函数，

又函数函数/(%)是定义在［-1,1］上的偶函数，

所以关于t的不等式

M〉I7

解得:</<1,

即为

3

所以关于t的不等式的解集为

22.如图，长方形A