第三章 水文统计基本原理与方法

第三章水文统计基本原理与方法1）概率统计理论基础2）随机变量的概率分布3）水文经验频率曲线4）水文理论频率曲线线型与参数估计5）抽样误差与相关关分析6）水文频率计算适线法必然事件——在一定条件下必然发生的事情。一些精确的物理定律都是对必然事件规律性的描述，已有确定性结果。不可能事件——在条件具备时仍不可能发生的事情。例如．在标准大气压下，水温为100℃的纯水不对能处于固态。随机事件——在条件具备时，出现与否不定的事情。例如，投掷硬币，其正面出现与否不定，即可能出现正面，也可能出现反面。

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→(1)概率统计理论基础随机事件

事件自然界中可有种种结果的一切现象，统称为事件。例如水位、流量或降水量等属于此类。就其发生怕况．可分为三种类型：随机变量

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→(1)概率统计理论基础

出现某一数值Xi常具有相应的概率，表明这种变量x带有随机性，称为随机变量，或随机变数。相邻两个随机变量之间，不存在中间值随机变量的一个有限区间内可以取得任何数值总体与样本容量有限的总体，简称有限总体。容量无限的总体，简称无限总体。

事件可能的一切结果，称为总体，又称为母体。总体中任一部份，称为样本。每一个随机变量，称为个体。个体的总数，称为容量。例如，某系列由n个变量组成，则此系列的容量为N。水文现象沿时程变化的个体数应包括过去、现在和将来的全部数据，是一种无限总体类型。总体中的一部份，称为样本。随机试验中所得的样本，称为随机样本。

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→(1)概率统计理论基础—致性——样本的个体应属同类。例如水位与流量不能相混作样本系列；最大流量与最小流量不能混合组成样本系列代表性——即能反映总体特征。容量愈大，代女性愈好。可靠性——即资料来源可靠，有客观性与准确性。独立性——即样本系列中各个体的实测结果互不关联。例如每年取一个最大流量组成的样本，实践证明其关联性差，独立件好；每年取多个流量组成的样本系列，其独立性差。

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→(1)概率统计理论基础

随机事件A客观上出现的可能性，称为概率，用P(A)表示，又称为机率、或然率等。它是描述随机事件发生可能性大小的数值标准。概率

设事件A在重复的随机中共有N种结果，且每种结果发生的可能性均等，其中事件A出现的可能结果有f0种，按概率定义，有

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→(1)概率统计理论基础概率的基本特性数值特征——机率为一非负的实数。

2.可加性——设事件A1，A2，A3，A4，……，An互斥(即不会同时出现)，其各自的机串为P1，……Pn”则其中至少有一个出现的机率为3.对立事件的概率——设A与为对立事件．又称为“非A”，当A不发生时，才会发生，有例1袋中有白球10个，黑球20个，如果这30个球摸起来的感觉完全相同，其差别只在颜色方面，问摸出白球的机率为多少?解：这是一个先知总体容量的问题，N＝30，按公式

例2袋中全为白球，共100个，摸出白球和黑球的机率各为多少?

在随机试验中，事件A实际上出现的次数f与总的试验次数之比，称为频率。用W(A)表示称为频率。按定义有频率

由上可知，频率是个实测值，概率则为理论值，N»n。理论和实践均可证明，频率与概率的关系有累积频率与重现期累积频率等量或超量值频率累计值，称为累积频率，用表示累积频率的特性非负数的实数2.0＜

P（x≥xi）＜

13.对立事件P（x≥xi）+P（x＜xi）

=14.年频率与次频率例3有40年实测水位资料，每年取一个最高水位作统计，可得水位资料40个，若其中数值为H1的有4个，数值为H2的有10个，H1＞H2。试求及H1，H2的频率及累积频率。解：水文总体无限，40年资料只是一种随机抽样的样本，其发生可能性只能通过频率分析加以推论。重现期等于或大于某随机变量Xi的水文特征值再现的平均年距保证率即在n年内均能保证安全的机率，以符号Pk表示n年内均不出现破坏的机率为重现期重现期T与累积频率P的关系研究某一年的水文特征值

上述累积频率是指多年平均出现的机会；重现期则是平均若干年出现一次，而不是固定的周期。例4某大城市从互不相关的三条河流中取水，各设一个泵房．每一泵房正常运转受洪水破坏的机率为1﹪。试确定此城市供水受破坏的机率为多大?解：水文现象总体容量无限，所述破坏机率只能是一种估计值。供水受破坏的情况有如下几种：(1)三个泵房运转同时破坏的机率：(2)二个泵房运转同时受破坏的机率：(3)三个泵房之一运转受破坏：随机变量的概率分布

随机变量与其概率一一对应的关系，称为随机变量的概率分布规律，简称概率分布。是随机变量x的分布函数。

代表X大于某一取值x的概率，其几何曲线称为概率分布曲线；如果用实测资料点绘的，水文上称为累积频率曲线。

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→(2)随机变量的概率分布通过密度函数可以求出概率分布函数F(x)

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→(2)随机变量及其概率分布随机变量的分布参数能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为统计参数，或特征参数，有时为分布参数。

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→(2)随机变量的概率分布

均值（平均数）

均值表示系列的分布中心，代表随机变量系列的平均水平，值越大表示累积频率曲线或密度曲线的平均水平值高，值小则平均水平值低。

众值（众数）概率密度曲线峰顶值在x坐标上相应的位置值，为

中值（中位数）对于连续随机变量，把概率密度曲线下的面积分为两个相等部分所对应的x值为中值，为均方差描述概率分布离散趋势的特征参数。限于比较均值相同的系列随机变量分布越分散，均方差越大；分布越集中，均方差越小。

变差系数

比较两个不同均值系列的离散程度时，采用均方差与均值之比值，用于衡量系列相对离散程度。

对于某条河流的年径流量来说，Cv越大，其年际变化越大；若两个河流比较，一般大河的调节作用比小河要大，所以大河年径流分布的Cv值比小河的小。——为模比系数

Cv越大，随机变量x的分布越分散，概率分布曲线的左侧抬高，右侧降低；反之，左侧下降，右侧上抬。偏态系数

反映密度曲线的对称特征，即衡量系列在均值的两侧分布对称或不对称（偏态）程度的系数。

当Cs>0，密度曲线峰顶在均值的左边，为左偏或正偏，概率分布曲线为向下凹曲线。

当Cs<0，密度曲线峰顶在均值的右边，为右偏或负偏，概率分布曲线为向上凸曲线。当Cs=0，密度曲线峰顶在均值处，为对称分布或正态分布，概率分布曲线为一直线。

水文现象大多属于正偏，Cs>0（PIII曲线）。当其他参数不变时，Cs值越大，则概率曲线的凹度越大，即两端都在正态直线以上，中间部分向下。经验频率曲线与理论频率曲线经验频率计算公式

经验频率曲线由实测资料绘制而成，它是水文频率计算的基础，具有一定的实用性。设某水文要素（如年径流量）的实测系列共n项，按由大到小的次序排列为x1、x2、...、xm、...、xn。经验频率就是在系列中大于及等于样本xi的出现次数与样本容量之比值，即

当m=n时，p=100%，即样本的末项

xn是总体中的最小值，显然不符合实际，因为随着观测年数的增多，总会出现更小的数值。

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→3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计对上式进行修正，有：数学期望公式切哥达也夫公式海森公式

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→3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计经验频率曲线几种常见的概率分布曲线正态分布皮尔逊III型曲线耿贝尔分布威布尔分布

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→3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计正态分布特点：1）单峰型2）以均值为轴对称

Cs=03)曲线两端趋于并以x轴为渐近线

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→3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计——，称为的伽马函数皮尔逊III型曲线英国生物学家皮尔逊(K·Pearson)统计分析大量实际资料，发现概率密度函数曲线的图形是单峰式的，且曲线的两端或一端与横轴线渐近相切。——曲线上点的横坐标值，待定参数——特定参数

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→3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计曲线参数与统计参数之间的关系：

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→3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计

该式包含

Cs、P与Φp的关系，查附表2，由已知的Cs值，查表可得不同P的Φp值，然后利用已知的和Cv值，通过下式即可求出与各种P相应的xp值，从而可绘出理论频率曲线。例

已知某站年最大洪峰流量系列的x=825m3/s，Cv=0.4，Cs=1.0，求p=1%的设计值。

解：由Cs=1.0，查附表2，得p=1%的Фp=3.02，则

=825×(0.4×3.02+1)=1822例：某站年径流深系列符合pⅢ型分布，已知该系列的R=650mm，σ=162.5mm，Cs=2Cv，试结合下表计算设计保证率p=90%的设计年径流深。解：Cv=σ/R=162.5/650=0.25，∴Cs=2Cv=0.5

查表得Ф=-1.22，代入

R90%=650×(1-0.25×1.22)=650×0.695=541.8mm

现行水文频率计算方法——适线法用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的参数，如P—Ⅲ型的、Cv、Cs。1、P—Ⅲ型的分布参数初估方法

（1）矩法

用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关系，来估计频率曲线的参数。均值的无偏估计：

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→4)水文频率适线法Cv的无偏估计量：Cs的无偏估计量：

模比系数

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→4)水文频率适线法（2）三点法初估参数如已知某曲线的数学方程，用选点法可确定方程中的参数。

[例]直线方程y=a+bx

在直线上任选两点，有：

y1=a+bx1y2=a+bx2

解之可得a，b

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→4)水文频率适线法

我们知道P-Ⅲ型曲线有三个统计参数，x，Cv，Cs，于是在经验频率曲线上任选三点:根据P-Ⅲ型曲线的性质有：xPxP1xP2xP3P1P2P3（P1,xP1)，(P2,xP2)，(P3,xP3)

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→4)水文频率适线法联解得：令：S是Cs的函数，称偏度系数。计算时，可由计算的S值，查S—Cs关系表，求Cs。再查Cs—Φ值表，得Φ(P1,Cs)，Φ(P2,Cs)，Φ(P3,Cs)。

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→4)水文频率适线法再联解下式得；三点的选取一般为：1～50～99%3～50～97%5～50～95%10～50～90%

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→4)水文频率适线法[例]已知某水库坝址处共有1972～1954年19年的实测洪峰流量资料。另外，通过历史洪水调查得知，1922年发生过一次大洪水，是1922年来最大，1963年洪水则为第二大洪水。试根据点绘的经验频率曲线，用三点法初估参数。P(%)Qm(m3/s)20807602605%50%95%选点：Q5%=2080m3/sQ50%=760m3/sQ95%=260m3/s

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→4)水文频率适线法计算S值：由S查得：由Cs查附表2Φ值表，得：计算得：已知某河洪峰的均值，变差系数，偏态系数如流量的概率分布与皮尔逊III型相符，求累积频率曲线和百年一遇（P=1%）的设计洪峰流量值。解答过程：查表，取Cs=4Cv、Cv=0.6的各项P值和对应的Kp值，填入表格。根据公式计算累积频率曲线纵坐标Qp值，以累积频率P为横坐标标点绘在概率格纸上，即是皮尔逊III型累积频率曲线。从曲线上即可查得P＝1％的设计流量值P-III曲线的绘制（例题）2.现行水文频率计算——适线法

适线法（或称配线法）是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线参数，得到一条理论频率曲线。

目估适线法、优化适线法目估适线法：（1）将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频率，在频率格纸上点绘经验点据（纵坐标为变量取值，横坐标为对应的经验频率）。（2）选定水文频率分布线型（一般选用PⅢ型）。（3）假定一组参数、Cv、Cs。为了使假定值大致接近实际，可用矩法求出3个参数，作为3个参数第一次的假定值。用矩法估计时，因Cs的抽样误差太大，一般不计算Cs，而是根据经验假定Cs为

Cv的某一倍数（如

Cs=2Cv）。（4）根据假定的、Cv、Cs，查附表2或附表3，计算xp值，以xp为纵坐标，p为横坐标，即可得到频率曲线。将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据配合的情况，若不理想，则修改参数（主要调整Cv、Cs）再次进行计算。（5）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况，从中选择一条与经验点据配合较好的曲线作为采用曲线。相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值。（6）求指定频率的水文变量设计值。3.统计参数对频率曲线的影响：（1）均值对频率曲线的影响（2）Cv对频率曲线的影响（3）Cs对频率曲线的影响二、优化适线法

在一定的适线准则（即目标函数）下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数的方法。优化适线法准则：

离差平方和最小准则（OLS）（最小二乘法）离差绝对值和最小准则（ABS）相对离差平方和最小准则（WLS）

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→4)水文频率适线法离差平方和最小准则（OLS）（最小二乘法）：使经验点据和同频率的频率曲线纵坐标之差的平方和达到最小。即使目标函数：取极小值，即：欲使S(Q)为最小，则要使一、相关关系的概念目的：研究两个或多个随机变量之间的联系。例如：降雨与径流之间、上下游洪水之间、水位与流量之间等。水文计算中的应用：资料的展延、水文预报等。必须注意的问题：必须先分析变量在成因上是否有联系，不能在两个毫不相关的变量之间硬凑出相关关系。

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→5)相关分析两变量之间关系的三种情况：简单相关：研究两个变量之间的相关