高考数学理北师大版一轮复习测评7-4直接证明与间接证明数学归纳法

核心素养测评三十六直接证明与间接证明、数学归纳法(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019·太原模拟)下列说法不正确的是 ()A.综合法是由因导果顺推证法B.分析法是执果索因逆推证法C.综合法和分析法都是直接证法D.综合法和分析法在同一题的证明中不可能同时使用【解析】选D.综合法是由因导果的顺推证法、分析法是执果索因的逆推证法、分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的充分条件,即A,B,C正确;综合法与分析法在同一题的证明中可能同时采用,故D不正确.2.(2020·长春模拟)用反证法证明命题“若a2+b2=0(a,b∈R),则a,b全为0”,其反设正确的是 ()A.a,b全为0B.a,b中只有一个为0C.a,b至少有一个为0D.a,b至少有一个不为0【解析】选D.“a,b全为0(a,b∈R)”的否定为:“a,b至少有一个不为0”.3.(2019·三明模拟)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n应等于 ()A.1 B.4 C.5 D.6【解析】选D.n=1时,左边=2,右边=4;n=2时,左边=4,右边=9;n=3时,左边=8,右边=16;n=4时,左边=16,右边=25;n=5时,左边=32,右边=36;n=6时,左边=64,右边=49,所以初始值n应等于6.4.设n∈N,则QUOTEQUOTE与QUOTEQUOTE的大小关系是 ()A.QUOTEQUOTE>QUOTEQUOTEB.QUOTEQUOTE<QUOTEQUOTEC.QUOTEQUOTE=QUOTEQUOTED.不能确定【解析】选B.由题意知,(QUOTEQUOTE)(QUOTEQUOTE)=(QUOTE+QUOTE)(QUOTE+QUOTE),因为(QUOTE+QUOTE)2(QUOTE+QUOTE)2=2[QUOTEQUOTE]=2(QUOTEQUOTE)<0,所以QUOTEQUOTE<QUOTEQUOTE.5.(2020·湖州模拟)用数学归纳法证明不等式QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≥QUOTE(n∈N*),则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上 ()A.QUOTEB.QUOTEQUOTEC.QUOTE+QUOTE+QUOTED.QUOTE+QUOTEQUOTE【解析】选D.当n=k时,等式左端=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,当n=k+1时,等式左端=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,增加了QUOTE+QUOTEQUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·平遥模拟)用数学归纳法证明某个命题时,左边为1·2·3·4+2·3·4·5+…+n·(n+1)·(n+2)·(n+3),从n=k到n=k+1左边需增加的代数式为________________.

【解析】用数学归纳法证明左边为1·2·3·4+2·3·4·5+…+n·(n+1)·(n+2)·(n+3)的过程中,从n=k到n=k+1时,左边需增加的代数式是(k+1)·(k+2)·(k+3)·(k+4)答案:(k+1)·(k+2)·(k+3)·(k+4)7.(2020·南通模拟)用反证法证明命题:“若(a1)·(b1)·(c1)>0,则a,b,c中至少有一个大于1”时,要做的假设是“假设a,b,c________________”.

答案:都不大于18.(2019·绍兴模拟)用数学归纳法证明“1QUOTE+QUOTEQUOTE+…+QUOTEQUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*)”,第一步应验证的等式是________________,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是________________. 导学号

【解析】用数学归纳法证明“1QUOTE+QUOTEQUOTE+…+QUOTEQUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*)”,第一步应验证的等式为:1QUOTE=QUOTE;从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是:QUOTE=QUOTEQUOTE.答案:1QUOTE=QUOTEQUOTEQUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2λ)2n(n∈N*,λ>0).(1)求a2,a3,a4.(2)猜想{an}的通项公式,并加以证明.【解析】(1)a2=2λ+λ2+2(2λ)=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2λ)22=2λ3+23,a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2λ)23=3λ4+24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为:an=(n1)λn+2n.下面用数学归纳法证明:①当n=1,2,3,4时,等式显然成立,②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时等式成立,即ak=(k1)λk+2k,那么当n=k+1时,ak+1=λak+λk+1+(2λ)2k=λ(k1)λk+λ2k+λk+1+2k+1λ2k=(k1)λk+1+λk+1+2k+1=[(k+1)1]λk+1+2k+1,所以当n=k+1时,ak+1=[(k+1)1]λk+1+2k+1,猜想成立,由①②知数列的通项公式为an=(n1)λn+2n(n∈N*,λ>0).10.设f(n)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+…+f(n1)=g(n)·[f(n)1]对于n≥2的一切正整数都成立?并证明你的结论. 导学号【解析】当n=2时,由f(1)=g(2)·[f(2)1],得g(2)=QUOTE=QUOTE=2,当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)·[f(3)1],得g(3)=QUOTE=QUOTE=3,猜想g(n)=n(n≥2).下面用数学归纳法证明:当n≥2时,等式f(1)+f(2)+…+f(n1)=n[f(n)1]恒成立.①当n=2时,由上面计算知,等式成立.②假设n=k(k≥2)时,f(1)+f(2)+…+f(k1)=k[f(k)1]成立,那么当n=k+1时,f(1)+f(2)+…+f(k1)+f(k)=k[f(k)1]+f(k)=(k+1)f(k)k=(k+1)QUOTEk=(k+1)[f(k+1)1],所以当n=k+1时,等式也成立.由①②知,对一切n≥2的正整数n,等式都成立.故存在函数g(n)=n,使等式成立.(15分钟30分)1.(5分)分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明QUOTE<1+QUOTE时,索的因是 ()A.x2>2 B.x2>4C.x2>0 D.x2>1【解析】选C.因为x>0,所以要证QUOTE<1+QUOTE,只需证(QUOTE)2<QUOTE,即证0<QUOTE,即证x2>0,因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.2.(5分)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:①(ab)2+(bc)2+(ca)2≠0;②a>b与a<b及a=b中至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中判断正确的个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.①②正确,③中,a≠c,b≠c,a≠b可能同时成立,如a=1,b=2,c=3.3.(5分)用数学归纳法证明QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE(n≥2)的过程中,设f(k)=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,从n=k递推到n=k+1时,不等式左边为 ()A.f(k)+QUOTEB.f(k)+QUOTE+QUOTEC.f(k)+QUOTE+…+QUOTEQUOTED.f(k)+QUOTEQUOTE【解析】选C.当n=k时,左端=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,那么当n=k+1时,左端=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,故第二步由k到k+1时,不等式左边为f(k)+QUOTE+…+QUOTEQUOTE.【变式备选】已知n∈N*,用数学归纳法证明f(n)=1+4+7+…+(3n2)=QUOTE时.假设当n=k(k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是 ()A.f(k+1)=f(k)+3k5B.f(k+1)=f(k)+3k2C.f(k+1)=f(k)+3k+1D.f(k+1)=f(k)+3k+4【解析】选C.因为用数学归纳法证明等式f(n)=1+4+7+…+(3n2)=QUOTE时,假设n=k时,命题成立,f(k)=1+4+7+…+(3k2)=QUOTE,则当n=k+1时,左端为f(k+1)=1+4+7+…+(3k2)+[3(k+1)2]需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是f(k+1)=f(k)+3k+1.4.(5分)(2019·太原模拟)用反证法证明“若x21=0,则x=1或x=1”时,应假设________________.

【解析】“x=1或x=1”的否定是“x≠1且x≠1”.答案:x≠1且x≠15.(10分)已知数列{an}满足:a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.导学号(1)求证:数列QUOTE为等差数列,并求出数列{an}的通项公式.(2)记bn=QUOTE(n∈N*),用数学归纳法证明:b1+b2+…+bn<1QUOTE,n∈N*.【证明】(1)a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1),可得QUOTE=QUOTE+1,则数列QUOTE为首项为2,公差为1的等差数列,则QUOTE=2+n1=n+1,即an=n(n+1).(2)bn=QUOTE=QUOTE,当n=1时,b1=QUOTE,1QUOTE