函数与方程专题课 高三数学二轮复习

专题七核心思想方法第31讲函数与方程

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关

系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的

图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或

方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去

分析问题、转化问题，使问题得以解决.

1.（2023·全国甲卷）记

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项和.若

a

2＋

a

6＝10，

a

4

a

8＝45，则

S

5等于（

C

）A.25B.22C.20D.15C

A.B.C.1＋D.2＋A3.（多选）（2022·北京卷改编）已知数列{

an

}的各项均为正数，其前

n

项和

Sn

满足

an

·

Sn

＝9（

n

＝1，2，…），则下列说法正确的是

（

ACD

）A.{an}的第2项小于3B.{an}为等比数列C.{an}为递减数列D.{an}中存在小于的项ACD

热点1

构造函数解决问题[典例设计]例1（1）

（2022·浙江山水联盟联考）已知实数

a

，

b

∈（1，＋

∞），且log3

a

＋log

b

3＝log3

b

＋log

a

4，则下列各式正确的是（

A

）A.＜b＜aB.b＜＜aC.＜a＜bD.a＜b＜A

（2）

设

x

，

y

为实数，满足（

x

－1）2023＋2023

x

＝2022，（

y

－1）2023

＋2023

y

＝2024，则

x

＋

y

＝

2

.解：因为（

x

－1）2023＋2023

x

＝2022，（

y

－1）2023＋2023

y

＝2024，

所以（

x

－1）2023＋2023（

x

－1）＝－1，（

y

－1）2023＋2023（

y

－1）

＝1.设函数

f

（

t

）＝

t

2023＋2023

t

，则易知函数

f

（

t

）为奇函数且在R上

是增函数.由

f

（

x

－1）＝－1＝－

f

（

y

－1）＝

f

（1－

y

），可得

x

－1＝

1－

y

，则

x

＋

y

＝2.2

A.ey－x＞1B.ey－x＜1C.ey－x－1＞1D.ey－x－1＜1A

总结提炼

（1）

函数与方程、不等式相互联系，对于一些数学问题，可以通过构造函数解决，把要研究的问题转化为函数的性质问题，达到化繁为

简、化难为易的效果.（2）

在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的两个变量，揭示函数关系使问题明晰化.

2

[对点训练]2.（多选）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木做扇骨，韧纸或

绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图①），其平面图为如图②所示的扇形

AOB

，其中∠

AOB

＝120°，

OA

＝3

OC

＝3，点

E

在弧

CD

上，则下列结

论正确的是（

BCD

）A.·＝－2B.若＝u＋u，则u＝1C.若∠DOE＝30°，则＝＋D.·的最小值为－BCD

总结提炼

平面向量问题的函数（方程）法是把平面向量问题，通过模、数

量积等转化为关于相应参数的函数（方程）问题，从而利用相关知识

结合函数或方程思想来处理有关参数值问题.破解此类题的关键点如

下：（1）

向量代数化：利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关

系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数（方程）；（2）

代数函数（方程）化：利用函数（方程）思想，结合相应的函数

（方程）的性质求解问题；（3）

得出结论：根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论.热点3

函数与方程思想在数列中的应用[典例设计]例3

（2023·全国乙卷）记

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项和，已知

a

2＝

11，

S

10＝40.求：（1）{

an

}的通项公式；（2）

数列{｜

an

｜}的前

n

项和

Tn

.[思维导图]设基本量→列方程组→结论

[对点训练]3.已知等比数列{

an

}是递增数列，

a

2

a

5＝32，

a

3＋

a

4＝12，数列{

bn

}

满足

b

1＝1，且

bn

＋1＝2

bn

＋2

an

（

n

∈N*）.

（2）

若对任意

n

∈N*，不等式（

n

＋2）

bn

＋1≥λ

bn

总成立，求实数λ的

最大值.

总结提炼

数列是特殊的函数，其通项或前

n

项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要.涉及最值问题或参数范围问题时，常用函数的增减性来解决.等差数列或等比数列的基本量的计算，一般化归为方程（组）来解决.

[思维导图]思路1（用

k

表示）思路2（用点

F

表示）思路3（用参数方程表示）

总结提炼

（1）

解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程（组）的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用根的判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的