XX版设备故障诊断信号分析4

XX版设备故障诊断信号分析-42024/3/11XX版设备故障诊断信号分析41、短时傅里叶变换

（1）短时傅立叶变换原理短时傅立叶变换是研究非平稳信号最广泛使用的方法。假定我们听一段持续时间为1h的音乐，在开始时是有小提琴，而在结束时有鼓。如果用傅立叶变换分析整个1h的音乐，傅立叶频谱将表明对应小提琴和鼓的频率的峰值。频谱会告诉我们有小提琴和鼓，但不会给我们小提琴和鼓什么时候演奏的任何表示。最简单的做法是把1h划分成每5min一个间隔，并用傅立叶变换分析每一个时间间隔。在分析每一个时间间隔时，就会看到小提琴和鼓出现在哪个5min间隔。如果要求更好的局部化，那就把这1h划分成1min一个间隔，甚至更小的时间间隔，再用傅立叶变换分析每一个间隔。这就是短时傅立叶变换的基本思想：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以确定在哪个时间间隔存在的频率，这些频谱的总体就表现了频谱在时间上是怎样变化的。2024/3/112XX版设备故障诊断信号分析4

为了研究信号在时刻t的特性，人们加强在那个时刻的信号而衰减在其它时刻的信号。这可以通过用中心在t的窗函数h（t）乘信号来实现。产生的信号是：

xt（）=x（）h（-t）改变的信号是两个时间函数，即所关心的固定时间t和执行时间。窗函数决定留下的信号围绕着时间t大体上不变，而离开所关心时间的信号衰减了许多倍，也就是

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因为改变的信号加强了围绕着时刻t的信号，而衰减了远离时刻t的信号，傅立叶变换将反映围绕着t时刻的频谱，即

对于每一个不同的时间，都可以得到一个不同的频谱，这些频谱的总体就是时频分布Psp（t，f）。我们关心的是分析围绕着时刻t的信号，所以选择一个围绕着t具有峰值的窗函数。这样就可以在t时刻附近得到一个短持续时间信号，其傅立叶方程（上式）叫做短时傅立叶变换。下式确定的Psp（t，f）函数曲面图叫时频分布图。2024/3/114XX版设备故障诊断信号分析4下图为鲸鱼发出的声音表示。画在主图左边的曲线是鲸鱼声音信号的时域波形，它清楚地告诉我们鲸鱼声强度或者响度怎样随时间而变化。在主图下面的曲线是能量谱密度，即傅立叶变换的绝对值平方。它表明哪些频率存在，以及它们的相对强度有多大。

这个声音的频谱告诉我们频率范围大约从175Hz到325Hz。这个信息是有意义而且重要的，但是根据这个频谱告诉无法知道这些频率什么时候存在。例如，不可能通过观察频谱确切知道300Hz声音在什么时候产生，或者产生这个声音的总持续时间，或产生了多少次。主图反映了信号能量的时间频率联合分布密度，由此就可以确定作为时间进程的强度。这使我们能够了解各个时刻发生的情况：2024/3/115XX版设备故障诊断信号分析4频率大约从175Hz开始，大体上在0.5s左右的时间内线性地增加到大约325Hz，然后停在那里约0.1s的时间，等等。作为对300Hz声音什么时候出现这个问题的回答，现在从图中可以知道在0.6s和1.3s出现两次。2024/3/116XX版设备故障诊断信号分析4

另外，在现实生活和工程实际中许多信号是暂态信号(非稳态信号)、其统计特性与时间有关．如语言信号、雷达信号、超声波信号等，这些信号不满足傅氏变换所要求的条件。傅立叶变换公式获得信号频谱信息需要无限长的时间，即不仅需要过去而且需要将来的时间信号去估计一个单一频率的频谱。另外，傅立叶变换式不能反映与时间变量有关的频率信息。除此之外、非稳态信号很可能在一个短时瞬间发生变化．即具有很强的时间局部性，并对整个频谱产生影响，很难从信号的频谱上确认这种时域内的瞬时变化的存在及其确切的频率信息。也就是说其傅氏变换的结果既不能有效地提供暂态信号的频域信息．也不能揭示暂态信号的时间特性。因此．暂态信号很难用傅氏变换进行分析。2024/3/117XX版设备故障诊断信号分析4

下图a所示为一白噪声信号中夹杂一个脉冲信号。二者分别为典型的稳态信号和暂态信号。该信号的频谱如图b所示。很难在频谱中看出脉冲信号的存在，这是因为白噪声信号是均匀的宽带频谱，而脉冲信号也具有宽带特性．只不过是其带宽取决于脉冲信号的作用时间。

可采用“短时傅立叶变换”来对暂态信号进行分析。窗函数w(t)在整个信号上沿时间平移并且完成了连续重叠变换时，就可以得到与时间有关的信号频谱的描述。图9-2所示为STFT的连续重叠加窗示意图。该方法假定在一个有限的时窗w(t)内信号是稳态的．若时窗相当短，则假定应是成立的。将这些变换结果按时间顺序排列在时间轴上就得到了信号的时频描述(分布)，这种描述称之为信号的“频图”2024/3/118XX版设备故障诊断信号分析42024/3/119XX版设备故障诊断信号分析4图2STFT滑动示意图2024/3/1110XX版设备故障诊断信号分析4

这样，就可以在时频表面得到一个信号能量的三维分布。这种分布类似于功率谱是信号能量在频率轴上的二维分布。这种信号的分析方法就称之为信号的时频分析。

2024/3/1111XX版设备故障诊断信号分析4（2）测不准原理

时间-带宽乘积定理，即测不准原理，是傅立叶变换对之间互相制约的关系表述。它在联合时频分析的讨论、抽象及其他方面起着重要的作用。在信号分析中，测不准原理就是一个众所周知的数学事实：窄波形产生宽频谱，宽波形产生窄频谱，时间波形和频率频谱不可能同时使其任意窄。

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（3）短时傅立叶变换的特点一方面，为了获取信号的短时傅立叶变换，把信号划分成许多小的时间间隔，但这种间隔是否越细越好？回答是否定的。因为在变窄到一定程度之后，得到的频谱就变得没有意义，而且表明与原信号的频谱完全不相符。原因在于把一个完全好得信号划分成短持续时间信号。但是，短持续时间信号有固有的宽频带，而这样的短持续时间信号几乎与原信号的特性没有关系。另一方面，为了获取高的频率分辩率，采用宽时窗做信号的短时傅立叶变换。但是，加大时窗宽度是与短时傅立叶变换的初衷相背的，因为它丢失非平稳信号中小尺度短信号的时间局部信息。2024/3/1113XX版设备故障诊断信号分析4

由此可见，短时傅立叶变换由于采用固定窗，当非平稳信号中所含信号分量尺度范围很大时，采用多大的时窗宽度都无法正确揭示信号的时频谱，这是由于测不准原理对采用固定窗的短时傅立叶变换方法的制约。

尽管有上述困难，但短时傅立叶变换方法在许多方面是理想的。它的意义是明确的，基本合理的物理原理，而且对于许多信号和情况，它给出了与我们的直观感知相符的极好的时频构造。

2024/3/1114XX版设备故障诊断信号分析4（4）存在问题

“短时博氏变换”方法虽然很早就被提出，但由于具有若干局限性，限制了这种方法在工程中的广泛应用。以下从三个方面对其局限性进行分析。

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窗函数选择的限制对一个待定的信号来说，一个特定的窗可能比所有其他的窗都更为合适、即具有较好的分析精度。但若一个信号是由两个信号构成，就有可能每一个信号都要求有自己的窗才能有最好的分析精度。很显然，仅有一个窗用于这两个信号是很难获得最佳分析精度的。如图9-5a所示为一合成信号．是两个频率分别为64Hz相194Hz的两个正弦信号的合成。图9-5b是一个频率为128Hz的正弦信号，但有一个64个采样点的间隙。2024/3/1116XX版设备故障诊断信号分析42024/3/1117XX版设备故障诊断信号分析42024/3/1118XX版设备故障诊断信号分析4

图9-6、图9-7均为上述两个信号的STFT分析结果，其中图a为窗函数具有128个采样点宽度的分析结果，图b为窗函数具有32个采样点宽度的分析结果。由分析结果可见．当窗函数的宽度较大．为128个采样点时，对图9-5a所示的两个正弦信号的合成信号具有较好的频域分辨率，即频域分析精度较高，但时域分辨率较差。2024/3/1119XX版设备故障诊断信号分析4

当窗函数的宽度较小，为32个采样点时，对图9-5b所示的具有间隙的单一频率正弦信号来说，其分析结果具有较好的时域分辨率，即具有较好的时域分析精度，但频域精度较差。由此可见，STFT方法的窗函数宽度对分析结果至关重要．而且时域与频域的精度不可能都为最佳。

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STFT方法的精度分析由以上分析可知，窗函数宽度的选择将会直接影响时域或频域的精度。为改进时域精度可以选择一个较短的窗，但是短窗将会导致傅氏变换计算时采样点数目的减少，因此，频域中离散频率数也将减少，从而引起频域精度的降低。

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可以证明时域精度的提高将以损失频域精度为代价，而提高频域精度将以损失时域精度为代价，二者不可兼得。对STFT来说．重要的是窗函数一经选定，则时频精度在整个时频表面都是固定的，因为同一个窗函数将被用于信号中所有频率。所以STFT的窗函数对时频分析是刚性的。2024/3/1122XX版设备故障诊断信号分析4

如果一个信号是由一些小的脉冲与较长的伪稳态成份所组成，则每一个信号组成部分可以有较好的时域或频域分析精度，但并不是二者兼有。对STFT分析来说．一般认为Gaussian窗函数是最佳选择。当合成信号较为简单且变换参数选取合理，STFT也可有较好的分析结果。下图为其分析结果。2024/3/1123XX版设备故障诊断信号分析42024/3/1124XX版设备故障诊断信号分析42024/3/1125XX版设备故障诊断信号分析42、小波分析（1）从傅里叶变换到短时傅里叶变换如前所述，傅里叶变换可以将时域信号变换到频域中的谱。就振动分析来说，各频段的谱分量可以告诉我们信号的各个组成部分，表征着信号的不同来源和不同特征。FFT算法和现代谱理论的发展使得信号谱估计可以在很短的时间内完成，从而实现对观测信号的实时分析。频谱估计现已成为信号分析与处理领域中十分重要的特征分析工具。傅里叶变换的不足之处在于它只适用于稳态信号分析，而非稳态信号在工程领域中是广泛存在的，另外，非稳态信号很可能在一个短时瞬间发生变化．即具有很强的时间局部性，并对整个频谱产生影响，很难从信号的频谱上确认这种时域内的瞬时变化的存在及其确切的频率信息。2024/3/1126XX版设备故障诊断信号分析4也就是说其傅氏变换的结果既不能有效地提供暂态信号的频域信息．也不能揭示暂态信号的时间特性。因此．暂态信号很难用傅氏变换进行分析。

由此采用了“短时傅立叶变换”来对非稳态和暂态信号进行分析。窗函数w(t)在整个信号上沿时间平移并且完成了连续重叠变换时，就可以得到与时间有关的信号频谱的描述。在时频面上构建了三维谱图。（2）从短时傅里叶变换到小波变换但短时傅立叶变换的主要缺陷是：对所有的频率都用同一个窗，使得分析的分辨率在时间-频率平面的所有局部都相同，如下图所示。如果在信号内有短时（相对于时窗）、高频成分、那么短时2024/3/1127XX版设备故障诊断信号分析4傅立叶变化就不是非常有效了。缩小时窗（选取更集中的窗函数）、缩小采样步长固然可以获得更多的信息，但是受到测不准原理的约束，在时间和频率上均有任意高分辨率是不可能的。2024/3/1128XX版设备故障诊断信号分析4

在信号分析中，为能精确地得到高频信息。采样间隔应相对的小些；而为了完整地得到低频信息。采样间隔应相对地大些。换言之，重要的是需要一个“柔性”时频窗、其在较高的频率处时域窗可以自动地变窄，而在较低的频率处时域窗又可以自动地变宽。见下图所示。而某些所谓“基本小波”的积分变换(IntegralWaveletTransform)便正具有这种所需的细化功能。因此，小波分析是目前信号分析中一种十分有用的时频局部化分析方法。2024/3/1129XX版设备故障诊断信号分析4

小波分析其基本思想是采用时窗宽度可调的小波函数替代短时傅立叶变换中的窗函数。也就是说小波变换在时频平面不同位置具有不同的分辨率，是一种多分辨（率）分析方法。其目的是“既要看到森林（信号的概貌），又要看到树木（信号的细节）”，因此，它又称为数学显微镜。它是将信号交织在一起的多种尺度成分分开，并能对大小不同的尺度成分采用粗细的时域或空域采样步长，从而能够不断地聚焦到对象的任意细节。这就是小波优于短时傅立叶变换的地方。（3）小波分析发展简介2024/3/1130XX版设备故障诊断信号分析4

小波分析作为一门新的学科分支目前正在众多研究领域掀起研究热潮。在数学领域、它被认为是调和分析近半个世纪的工作结晶．能够压缩奇异积分算子，求解偏微分方程．构造近似惯性流形并被广泛用于逼近论；在量子力学中，一个量子场的基于正交小波基的相细胞簇的展开具有一系列良好的性质，为研究量子场结构提供了新方法，在流体力学中，它被用来模拟湍流的流动．得到湍流流动的某些分解；在数字信号处理领域，小波与多分辩率滤波、正交景象滤波以及分波段编码等紧密联系，在数据压缩编码、持征提取等方面取得了重要进展；小波分析也为计算机视觉处理提供了新的模型．在图象的压缩、边缘检测和纹理识别等方面发挥着重要的作用、对自相似过程和分形信号的研究，小波方法也提供了强有力的工具。小波分析可以认为是Fourier分析发展史上里程碑式的进展。2024/3/1131XX版设备故障诊断信号分析4

小波分析的历史可以追朔到本世纪中叶。在纯数学领域，Calderon于1964年在调和分析中的恒等算子分解理论。物理学中Aslaken和Calland于1968年在量子力学对仿射群所构造的凝聚态，以及在工程界Esterban和Calland于1977年提出的QMF滤子都涉及到小波分析。1983年法国地质学家J．Morlet在处理地质资料时偶然中又重新发现了数学家的工作。随后，理论物理学家A.Grossmann：和数学家Y.Meyer等在理论上对小波分析做了一系列深入研究，将Morlet的想法作了出色的数学描述，大大丰富了调和分析的内容。2024/3/1132XX版设备故障诊断信号分析4

90年代初期，在信号处理界I.Daubechies和S.mallat最先注意到小波分析在信号分析领域具有重要的应用前景，并作出开创性的贡献，发展了快速算法．使小波分析的研究者在不同学科间搭起桥梁。在他们的推动下小波分析在信号处理、图象处理等很多方面获得应用。1987年在法国召开了第一届小波分析的国际会议，之后有关小波分析的会议和论文如雨后春笋此起彼伏．人们称之为“小波热潮”，我国也于1992年在武汉大学召开了“中法首届小波分析研讨会”。2024/3/1133XX版设备故障诊断信号分析4①连续小波变换

根据小波的计算和表达式形式，其可分为各种形式。而连续小波（ContinuousWaveletTransform-CWT）则定义为：如果基本小波

满足“相容性”条件（1）2024/3/1134XX版设备故障诊断信号分析4

式中a、b

R，a0，（）是（t）的傅氏变换（母小波），参数a称为尺度因子（尺度与频率是相关联的，可以认为尺度的倒数1/a与频率具有正比关系），b为时移因子、而（W

f)(b，a)则称为小波变换系数。信号的连续小波变换所提供的信息是高度冗余的，适合于诸如滤波这些对频率分解要求比较高的场合。连续小波变换的物理意义可简述为通过变换，将二维的时间信号变换到由尺度因子、时间因子和小波变换系数所决定的立体空间（如下图）。以获得更多、更清晰的信号的信息量。由伸缩与频移构成L2（R）的规范正交基。2024/3/1135XX版设备故障诊断信号分析4

小波变换式中基本小波函数的选取很重要。常常决定于实际应用函数是因为在几何形态上小波函数一般都具有以下两个特征：必须是振荡函数；必须是迅速收敛的函数。下图a所示正弦函数振荡但不收敛。因此不是小波函数。下图b所示函数迅速收敛但不振荡，因此也2024/3/1136XX版设备故障诊断信号分析4不是小波函数。下一页图所示为几种常见的小波函数。图两种函数（a）正弦函数，（b）迅速收敛的函数2024/3/1137XX版设备故障诊断信号分析4

图几种常见的小波函数

a)Lemarie小波，b)具有20个系数的Danbechies小波，c)具有4个系数的Danbechies小波，d)Morlet小波

小波变换式中的小波集

b、a(f)可由一个基本小波经尺度平移和时间平移而得到尺度因子a和时移因子b的不同会给小波函数的几何形态带来很大的变化。下图为因子a、b取不同数值时的Morlet小波函数。2024/3/1138XX版设备故障诊断信号分析4尺度因子和时移因子取不同数值时的Morlet小波函数2024/3/1139XX版设备故障诊断信号分析4小波变换利用小波在不同的

时移和尺度下对信号进行观察

2024/3/1140XX版设备故障诊断信号分析4②连续小波变换的时频窗的精度

基本小波可以看作是一个窗函数。连续小波变换可由如下的时间窗得到信号f（t）时域局部信息[at*+b-a

w，at*+b+a

w]

其窗函数中心为at*+b，其半径为a

w。这个时域窗相对于较小的a值变窄，而相对于较大的a值变宽。类似的在频域中，小波函数的中心和半径分别由*和

来定义。应用帕斯维尔定理来定义连续小波变换的频域窗为：[

*/a-

/a，*/a+

/a]2024/3/1141XX版设备故障诊断信号分析4若假定中心是正值，则中心频率与带宽之比是

现在若at*被看作是时间变量，而

*／a被看作是频率变量，则在时频表面我们已经具有矩形的时频窗[at*+b-a

w，at*+b+a

w][

*/a-

/a，*/a+

/a]显然，该比值与尺度因子a无关。因此，连续小波变换可被视为由上式给定通带的自适应带通滤波器，其频率变量可由与1／a的常数的乘积得到。值得注意的是该滤波器具有其中心频率与带宽之比与中心频率的位置无关的特性。2024/3/1142XX版设备故障诊断信号分析4

该窗的宽度为2a，高度为2

/a(图10-5)。所以，在时域中对于高频信号(即较小a值)，这种窗可自动变窄以达到较好的检测效果，而对于低频现象(即较大的a值)则可自动变宽，仍具有较好的检测效果。而在频域，窗宽度的变化正好相反，因而同样具有较好的检测效果，即对高频现象，窗是自动变宽的，而对低频现象，窗是自动变窄的。正是因为小波变换具有这种“柔性”窗，才使其在时域和频域同时良好的局部化特性，因而对信号具有良好的检测能力。2024/3/1143XX版设备故障诊断信号分析42024/3/1144XX版设备故障诊断信号分析4图10-6从另一角度说明了上述小波变换的时频窗的柔性性质。图b所示STFT的时域窗相对于其时移参数t0的窗宽度t是等宽的。而连续小波变换(CWT)的时域窗(图a)相对于其时移参数t0的窗宽度却是三角形的，随着尺度参数a的增大而变宽。a值的增大意味着频率f的减小，即CWT的时域窗对于频率变化缓慢的时间信号具有放大窗宽度的性能，因此可以更好地检测缓变信号。

2024/3/1145XX版设备故障诊断信号分析4在频域，如图d所示，STFT的频域窗的宽度f相对于各中心频率是等宽的，而CWT的窗宽度(图c)却是随中心频率按对数形式变化，即相对于低频信号，窗宽度较窄、而相对于高频信号，窗宽度变宽。这恰好符合低频信号需要较窄的频域窗而高频信号需要较宽的频域窗以提高频域分辨率的要求。2024/3/1146XX版设备故障诊断信号分析4若将STFT和小波变换（WT）视为带通滤波器，则它们的带宽如下图所示：2024/3/1147XX版设备故障诊断信号分析4③信号f（t）的重构

若信号f（t）是连续的，且满足一定条件，我们可以利用小波变换系数来重构任何能量有限的信号f（t）（2）式与（1）式就构成了一个连续小波变换对。类似于STFT的分析结果，小波变换的结果也在三维空间进行描述。这是因为连续小波变换在变换中没有能量泄露，保存了信号的能量（2）2024/3/1148XX版设备故障诊断信号分析4式中Ex为信号能量。这就导致我们可以用小波变换系数的模的平方来进行小波变换结果的三维描述，它是信号在时频表面的三维分布。与STFT所不同的是，此处信号的能量是以多重分析精度的形式在时频表面进行分布的。

如同傅里叶变换结果可以表示为幅频特性和相频特性一样，小波变换的结果——小波变换系数（W

f）（b，a）也可以用幅值和相位加以表示。下图即为一个矩形信号的小波变换结果的幅值、相位和实部表示。2024/3/1149XX版设备故障诊断信号分析42024/3/1150XX版设备故障诊断信号分析4④小波分析与其他时频分析的比较

这里给出两个应用实例．以作为小波分析方法和时频分析方法结果的比较。合成信号的分析如前图所示的合成信号，由于STFT方法对同一宽度的窗来说不可能同时具有较好的时域和频域分析精度，因而就不可能同时具有较好的分时和分频特性，这也是STFT方法的主要缺陷。下图为同一合成信号的小波变换结果。由图可见、无论是小波变换系数的幅值还是相位都同时具有良好的分时和分频特性。即同时具有良好的时域和频域分析精度。2024/3/1151XX版设备故障诊断信号分析4合成信号的小波变换结果的幅值及相位(a)两正弦信号的合成信号的幅值和相位，(b)具有间隙的信号的幅值和相位2024/3/1152XX版设备故障诊断信号分析4心电图信号的分析

晚期心肌梗塞病人的室性心动过速经常导致病人的突然死亡。检查是否有室性心动过速症状的主要手段目前仍然是心电图。在心电图上是否有这种症状主要是表现在QRS组波的尾部(图一)，但即使是使用高分辨率的心电图，也很难对其进行确认。在本例中对高分辨率的心电图信号进行了Wignar变换和小波变换，以探索在心电图信号中识别室性心动过速的方法。

2024/3/1153XX版设备故障诊断信号分析4首先对高分辨率的心电图信号以1000Hz的采样频率进行采样，采样时间是800ms，然后仅对QRS组波(150个采样点)进行Wignar变换和小波变换。2024/3/1154XX版设备故障诊断信号分析4

前者又分为两种，一种是通常的Wignar变换，一种是为了尽可能消除分析中的干涉项而加了汉宁窗的Wignar变换(窗宽度为61个采样点)。具有室性心动过速和不具有这种症状的晚期心肌梗塞病人的两种心电图信号的两种Wignar变换的结果分别见下图（a、b），其中右侧图形为具有室性心动过速症状的分析结果。由图可见．无论是否具有这种症状，两种Wignar变换的结果都表现出在时频表面上的低频部分(图中v表示频率)积聚着较大的能量，且几何形态相差不大，只是在较高频部分能量积聚的形态有一些差别。因此，是否有室性心动过速只能根据较高频部分的能量积聚形态加以判断。采用Morlet小波的小波变换的结果见下图c，可以看出变换结果相差很大。所以，在对于室性心动过速的心电图信号的识别问题来说，小波变换相对于Wignar变换具有更大的优越性。2024/3/1155XX版设备故障诊断信号分析4有室性心动过速(右侧图形)和不具有室性心动过速的心电因分析结果2024/3/1156XX版设备故障诊断信号分析42024/3/1157XX版设备故障诊断信号分析4

频域/时域紧支集信号（带限/时限信号）是实际应用中经常遇到的一类信号。紧支集正交小波性质：（1）局部性（2）正交性（3）振荡性定义：记f（t1，t2，---tm）

F（

1，

2，---

m）为一对付氏变化，若F（

1，

2，---

m）=0，（

1，

2，---

m）V

则称f（t1，t2，---tm）为频域紧支集信号，称V

为支撑集2024/3/1158XX版设备故障诊断信号分析43、离散小波变换及其应用

小波变换在使用中是由离散小波变换(DiscreteWaveletTransform—DWT)来完成的。（1）小波分解为清楚理解离散小波变换的实现过程、首先研究一个简单的信号是怎样实现小波分解的。下图1给出了一个信号是如何分解成为其小波成分的。该信号为一方波信号，具有两个周期。在方波图形下面，是通过小波分解而得到的方波信号的八个“次信号”。由于后面将要解释的原因，每一个小波成分在被称之为“水平”的参数上加以描述，且水平数是从-1开始增大的。在本例中，-1水平和0水平中的数值都为零，但并不是每一种情况下都是如此。2024/3/1159XX版设备故障诊断信号分析4图1将小波f（r）（r=1~128）分解为D4小波分量2024/3/1160XX版设备故障诊断信号分析4

当每一个分解的小波水平都被加起来时，就重新获得了原始信号(图2)。左上角所示为仅有-1水平的情景，然后是每一水平顺序相加的情景，最后是重新获得了原始信号的情景。此处关心的是离散小波变换(DWT)，且假定信号的采样间隔是等宽的。在图1中方波f（r）的取值范围是r＝1~128。在DWT中N决定了水平数的多少。可以看出，当N＝2n时，共有n+1个水平，故当N＝128＝27时，在图1中共有8个水平。被分解信号的小波成分的形状取决于基本小波的形状。如前所述，有不少基本小波可供选择，但只有很少一部分能满足精确分解且每一个分解都是彼此正交的条件。2024/3/1161XX版设备故障诊断信号分析4图2从D4小波分量重构方波信号2024/3/1162XX版设备故障诊断信号分析4

虽然已有很多数值算法用于小波变换，但一般的算法都是基于正交小波的，因而此处仅考虑正交小波。决定了使用那种小波，则这种小波就成为信号分解的基本小波，从而也就决定了重构信号的小波成分的形状。在以上两图中使用了D4小波(即具有4个系数的Daubechies小波)，图3的最上端图形即为D4小波。考察在图1中位于3水平尺度中的D4小波，注意到该水平所示尺度的小波仅占据被分解信号的一部分。为覆盖整个信号就必须增添更多的小波。在3水平，共有23=8个小波沿水平轴等间距分布。每一个小波占据128／8=16个间距。图3的第二个图形为三个相互叠加的D4小波，在第三个图形中是其叠加后的结果。最后一个图形所示为该尺度的8个迭加后的D4小波。2024/3/1163XX版设备故障诊断信号分析4图3

在3水平

所示尺度中的D4小波2024/3/1164XX版设备故障诊断信号分析4

在更高的尺度（对应于图1中的4水平）共有16个相距为8个间距的小波，在5水平共有32个相距为4个间距的小波，在最高的6水平共有64个相距为2个间距的小波。而在尺度减小的方向。在2水平共有4个相距为32个间距的小波。在1水平共有2个相距为64个间距的小波。0水平仅有一个小波．-1水平没有小波仅是一个常数水平。每一个沿着水平轴分布与扩展的小波都取决于小波变换的结构，仅是每一个小波的纵向尺寸可以被改变，这一点可以被数列a（r）（r=1-128）的对应项所决定。小波变换的目标是选择一个原始数据序列f（r）（r=1-128）以代表规定长度的输入信号，并将这个序列转换为一个新的实数序列a（r）（r=1-128）。2024/3/1165XX版设备故障诊断信号分析4

这个序列定义了在某个水平尺度和位置的小波的垂直尺寸，而且若将所有小波相加起来能够一点不差的重构原始信号。原始序列（必须等于2的幂次方)越长，在转换中就需要越多的水平。

对于给定的时间长度、增加采样点的数量就意味着增大了描述细节的能力。转换中最高的水平就刻画了这种细节。方波中陡降的边缘对应于分解中较小尺度的小波。使用小波变换中的局部最大化以探测边缘也是一个逐渐增长的应用领域。2024/3/1166XX版设备故障诊断信号分析4

就目前的研究水平而言，最成功的算法是马拉特（Mallat）算法，该算法利用小波的正交性导出各系数矩阵的正交关系，从高级到低级逐级滤去信号中的各级小波。2024/3/1167XX版设备故障诊断信号分析4

我们采用下图并结合上面的小波分解式来介绍马拉特算法主要思想。2024/3/1168XX版设备故障诊断信号分析4（a）Mallat算法分解过程（b）Mallat算法的频带划分

图Mallat算法过程示意图Mallat算法的过程是：先将原信号分解成其逼近信号1和细节信号（即小波分量）1，再将逼近信号互分解成其逼近信号2和细节信号2，再将逼近信号2分解……如此下去，即可得到原信号的所有小波分量，如下图a所示。其中逼近信号和细节信号分别对应被分解信号的低频成分和高频成分，低频和高频的划分采用等分形式，如下图b所示。以上过程是用迭代方法实现的。

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马拉特算法不直接计算积分表达式，而是利用小波函数族的正交性，从高级到低级滤出信号中的各级小波。马拉特算法概念清楚、计算简便，其在小波分析中的地位，相当于傅里叶分析中FFT算法。2024/3/1170XX版设备故障诊断信号分析4

4、小波包分解前图中的阴影部分表示在对信号实施小波分解后，用于分析的各级小波的频段。可以看到低频时频窗窄，频率分辨率高；高频时频窗宽，频率分辨率低，这符合普通的原则。但对某些特定的信号，人们感兴趣的可能只是某一个或几个特殊的频段，并要求对这些特殊频段的分析足够精细，这些频段的频率可能是相对高的。对这类问题，小波分解就显得有所欠缺了。2024/3/1171XX版设备故障诊断信号分析4

小波包分解是比小波分解更精细的一种分解，其不同之处是对滤出的高频部分也同样施