（江苏专用）高考数学总复习 考前三个月 中档大题规范练2 三角函数的图象、性质与三角变换 理-人教版高三数学试题

2．三角函数的图象、性质与三角变换1．已知α为锐角，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(5),5).(1)求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值；(2)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))的值．解(1)因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(2\r(5),5)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝2.(2)因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－1＝－eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))coseq\f(π,6)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))sineq\f(π,6)＝eq\f(4\r(3)＋3,10).2．(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(A＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2))).(1)求函数f(x)的解析式；(2)若角α满足f(α)＋eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝1，α∈(0，π)，求角α的值．解(1)由条件知周期T＝2π，即eq\f(2π,ω)＝2π，所以ω＝1，即f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).因为f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))，所以Asineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝1，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)由f(α)＋eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝1，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)－\f(π,2)))＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝1，所以2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝1，即sinα＝eq\f(1,2).因为α∈(0，π)，所以α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).3．(2017·南京三模)已知向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，0))，求t的值；(2)若t＝1，且a·b＝1，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))的值．解(1)方法一因为向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，且a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，0))，所以cosα－sinα＝eq\f(1,5)，t＝sin2α.由cosα－sinα＝eq\f(1,5)，得(cosα－sinα)2＝eq\f(1,25)，即1－2sinαcosα＝eq\f(1,25)，从而2sinαcosα＝eq\f(24,25).所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(49,25).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＋sinα＝eq\f(7,5)，所以sinα＝eq\f(cosα＋sinα－cosα－sinα,2)＝eq\f(3,5)，从而t＝sin2α＝eq\f(9,25).方法二因为向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，且a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，0))，所以cosα－sinα＝eq\f(1,5)，t＝sin2α.又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα＋\f(1,5)))2＝1，整理得50sin2α＋10sinα－24＝0，解得sinα＝－eq\f(4,5)或sinα＝eq\f(3,5).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinα＞0，所以sinα＝eq\f(3,5)，从而t＝sin2α＝eq\f(9,25).(2)方法一因为t＝1，且a·b＝1，所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α.因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα≠0，从而tanα＝eq\f(1,4).所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(8,15).从而taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(tan2α＋tan\f(π,4),1－tan2α·tan\f(π,4))＝eq\f(\f(8,15)＋1,1－\f(8,15))＝eq\f(23,7).方法二因为t＝1，且a·b＝1，所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α.所以2sin2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，即4sin2α－cos2α＝1，又sin22α＋cos22α＝1，所以sin22α＋(4sin2α－1)2＝1，整理得17sin22α－8sin2α＝0，解得sin2α＝eq\f(8,17)或sin2α＝0.因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2α∈(0，π)，所以sin2α＞0，所以sin2α＝eq\f(8,17)，代入4sin2α－cos2α＝1，得cos2α＝eq\f(15,17)，因为tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(8,15)，从而taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(tan2α＋tan\f(π,4),1－tan2α·tan\f(π,4))＝eq\f(\f(8,15)＋1,1－\f(8,15))＝eq\f(23,7).4．(2017·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝eq\f(2\r(5),5).(1)求cosβ的值；(2)若点A的横坐标为eq\f(5,13)，求点B的坐标．解(1)在△AOB中，由余弦定理，得cos∠AOB＝eq\f(OA2＋OB2－AB2,2OA·OB)＝eq\f(12＋12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2,2×1×1)＝eq\f(3,5)，即cosβ＝eq\f(3,5).(2)因为cosβ＝eq\f(3,5)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5).因为点A的横坐标为eq\f(5,13)，由三角函数定义可得cosα＝eq\f(5,13).因为α为锐角，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13).所以cos(α