2024年中考数学几何模型归纳：全等与相似模型之十字模型（教师版）

专题18全等与相似模型之十字模型

几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几

何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生

更好地理解和掌握。

模型1.正方形的十字架模型（全等模型）

“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角

及一组全等的三角形。

1）如图1,在正方形ABC。中，若E、尸分别是BC、CD上的点，AE1BF；贝I尸。

2）如图2,在正方形ABC。中，若E、尸、G分别是8C、CD、AB上的点，AEXGF；贝I]AE=GF。

3）如图3,在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH1GF；贝！IHE=GF.

模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等,相等不一定垂直.

例L（2223下•广东•课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片A3C。的顶点A折叠至。C边上的点

E,使。E=5,若折痕为PQ,则尸。的长为（）

DE

A.13B.14C.15D.16

【答案】A

【分析】过点尸作PM08C于点M,由折叠得到P3L4E,从而得到IMEZ）=0APQ,可得△PQMI3A4OE,从而

得到尸。=AE,再由勾股定理，即可求解.

【详解】解：过点P作PMI3BC于点由折叠得到PQ0AE,EHD4E电4尸。=90。，

在正方形ABCZ)中，AD3\BC,回。=90。，CD3\BC,

SEDA£+0A££)=9OO,^3\AED=^\APQ,^EAPQ=^PQM,^\PQM=SAPQ=SAED,

SPMSBC,^PM=AD,fflD=EPM2=90°,^PQMSi^ADE,^PQ=AE,

在RfAADE中，DE=5,AD=12,由勾股定理得：AE=6+12?=13，SPQ=13.故选：A.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM0AAOE是解题

的关键.

例2.（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形45CD中，AB=12,点E,E分别在边3C,

8上，AE与BF相交于点G,若BE=CF=5,则3G的长为.

BEC

【答案】詈

13

【分析】根据题意证明AABE2△BCF（SAS）,一EBG^tFBC,利用勾股定理即可求解.

【详解】解：四边形ABCD是正方形，，ZABE=NC=90。，AB=BC,

BE=CF,：.A4BE^ABCF（SAS）,:.ZBAE=ZCBF,

ZCBF+ZABG^90°,:.ZBAE+ZABG=90°,:.NBGE=90°,:.ZBGE=ZC,

又•ZEBG=NFBC,EBG^FBC,些=些

BCBF

BC=AB=n,CF=BE=5,...BF=^BC2+CF2=V122+52=13，

BG5.60痂生安出60

五F/Gy.故答案为：-

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质

是解题的关键.

例3.（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形ABCD中，点、E、F、H分别是A?、BC、CD的中点,

CE、。厂交于G,连接AG、HG.下列结论：①CELO尸；@AG=DG；③NCHG=NDAG；④

2HG=AD.正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】利用正方形的性质找条件证明MCE空CD9（SAS）,则NECB=NCDF,由NBCE+NE8=90。得

到/ECD+/CDF=90。，贝UNCGO=90。，即可判断①；连接A”,同理可得：AADH^ADCF（SAS）,

AHLDF,在Rt^CGD中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到HG=^CD=^AD,即可判

断④；可得AOGH是等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到DK=GK,A”垂直平分OG,AG=AD；

假设AG=DG,推出矛盾，则AGWOG,即可判断②；证明△ADG是等腰三角形，由三线合一可知

ZDAG=2ZDAH,由△ADH四△OCR得到NZMH=NCD产，由=得到NHE>G=NHGD,由三角形

外角的性质得到NCHG=2NCDF=2NDAH,即可判断③.

【详解】解：回四边形A3CD是正方形，S\AB=BC=CD=AD,NB=/BCD=ZADC=90°,

团点E、F、H分别是AB、BC、C。的中点，SBE=CF,

BE=CF

在，BCE与CDR中，,NB=NDCF,0..BCE^.CDF(SAS),^\ZECB=ZCDF,

BC=CD

团ZBCE+NECD=90。，0ZECD+Z.CDF=90°,

SIZCGD=90°,0CE±r)F；故①正确；连接AH,如图所示:

同理可得：AADH丝△DCF（SAS）,AH±DF,在Rt^CGD中，”是C。边的中点，

SHG=^CD=^AD,即2〃G=AD；故④正确；

BHG=Hr>=|cD,团aOGH是等腰三角形，回£>K=GK,A”垂直平分OG,回AG=AT>；

若AG=DG,则△AZ）G是等边三角形，则NADG=60。，ZCDF=ZADC-ZADG=30°,

贝/，^CF=1BC=1CD,与小>CD矛盾，

EZCDF^30°,回NADGH60°,回AGWDG,故②错误；

SAG=AD,回△ADG是等腰三角形，

^\AH±DF,^\ZDAG=2ZDAH,包△ADHW/XDCF,QZDAH=ZCDF,

SGH=DH,国NHDG=NHGD,EZCHG=ZHDG+ZHGD=2ZCDF=2Z.DAH,

!SNCHG=NDAG；故③正确；正确的结论有3个，故选：C.

【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的

性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题的关键.

例4.（广西2022-2023学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形ABC。中，E为边AB上一点（点

E不与点A8重合），连接。E,过点A作AT,DE,交8c于点R证明：DE=AF.

（2）探究：如图②，在正方形48CD中，E,尸分别为边AB,C。上的点（点E,F不与正方形的顶点重

合），连接EF,作EF的垂线分别交边A。，8C于点G,H,垂足为O.若E为中点，DF=1,AB=4,

求GW的长.（3）应用：如图③，在正方形ABC。中，点E,尸分别在8C,CD上，BE=CF,BF,AE

相交于点G.若筋=3,图中阴影部分的面积与正方形ABC。的面积之比为2：3,则ABG的面积为,

ABG的周长为.

图①图②图③

3

【答案】（1）见解析；（2）GH=Ji7；（3）5，V15+3

【分析】感知：由正方形的性质得出AD=A8,I3D4E=0ABF=9O。,证得0ADE=EIBAF,由AS4证得EIZMEaMBF

CASA）,即可得出结论；

探究：分别过点A、。作〃族，分别交8C、AB于点N、M,由正方形的性质得出AB〃CD,

AB=CD,EIZM2=EB=90。，推出四边形Z）M£F是平行四边形，ME=DF=1,DM=EF,证出ZW0GH,同

理，四边形AGEW是平行四边形，GH=AN,AN3\DM,证得EA£>M=0BAN,由AS4证得她DMEBBAN,得

出。M=AN,推出DW=G"，由E为AB中点，得出A£=gA3=2,则AM=AE-腔=1,由勾股定理得

出DM=JAL）?+AA/2,即可得出结果;

应用：S正方形ABCD=9,由阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3,得出阴影部分的面积为6,

3

空白部分的面积为3,由S4S证得胡砥回团3CF,得出团3£4=蛇尸。，S^ABG=S四边形CEGF,PIOSAABG=-,

13

团尸3C+团3E4=90°,贝崛3GE=90°,[MGB=90°,设AG=mBG=b,则力=5,2ab=6,由勾股定理得出

〃2+"=A炉=32,a2+2ab+b2=15,即（〃+。）2=15,得出4+6=71?,即可得出结果.

【详解】证明：回四边形A5CD是正方形,

图②

^AD=AB,ZDAE=ZABF=90。,

SAFLDE,0ZZMF+ZBAF=9O°,ZZMF+ZA£>E=90°,^/ADF.=/BAF,

'/ADE=ZBAF

在../ME和△ABE中，■AD=AB,Q^DAESZ\ABF(ASA),SDE=AF.

ZDAE=ZABF

探究：解：分别过点A、D作AN〃GH,DM//EF,分别交BC、AB于点、N、M,如图②所示:

回四边形ABC。是正方形，SAB//CD,AB=CD,ZDAB=ZB=90°,

国四边形是平行四边形，^ME=DF=i,DM=EF,

SAN//GH,GH1EF,SiDM±GH,

同理，四边形AG//N是平行四边形，^GH=AN,

SDM//EF,GHLEF,SANLDM,ZDAN+ZADM=90°,

0ZDAN+ZBAN=90°,SiZADM=ZBAN,

ZADM=NBAN

在AADM和BAN中，，A£)=A3,

ZDAM=NABN=90°

S^ADMS：BAN(ASA),SDM^AN,SEF=GH=DM=AN,

EIE为AB中点，0AE=|AB=2,AM=AE-ME=2-1=1,

^DM=ylAlf+AM2=742+12=717-0GH=历.

应用：解：区43=3,回S正方/ABCD=3x3=9,

团阴影部分的面积与正方形ABC。的面积之比为2：3,

9

团阴影部分的面积为：|x9=6,回空白部分的面积为：9-6=3,

iBE=CF

在EIA8E和EIBCF中，ABE1BCF90?,^ABEWCF(SAS),

}AB=BC

=^1BFC9S^ABG^S四边形CEGF,

13

^ABG=-X3=-,回尸5C+回BEA=90°,mBGE=90°,回MG5=90°,

22

设AG=mBG=b,则回2〃Z?=6,

^a2^2=AB2=32,^\a2+2ab+b2=32+6=15,即(a+b)2=15,而〃+/?>(),

3

^\a+b=y/15,即BG+AG=A/I?,aSABG的周长为厉+3,故答案为：V15+3.

【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角

形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键.

模型2.矩形的十字架模型(相似模型)

矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩

形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。

如图1,在矩形ABCD中，若E是A8上的点，MDELAC,则%=空

ACAB

则”=生

ACAB

如图3,在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD,5。上的点，且EF_LMN,贝I］里=生

MNAB

例1.（2223下•广西九年级期中）如图，把边长为42=2五，3C=4且4=45。的平行四边形A5CD对

折，使点B和。重合，求折痕的长.

【答案】孚

DFBF

【分析】先证明△双msAZMG得到菽p法’求出BE和BF,然后得到BD,DG和MG的长度,再

利用全等三角形的性质，即可得到答案.

【详解】解：如图，连接与交于点G,并补全矩形为3红史.

^\ZMDF=ZDFB=90°,团歹=90。，

^MN±BD,0ZDMG+ZMDG=90°,国/BDF=/DMG,

DFBF

X0ZBFD=ZDGM=90°,相BDFS/\DMG,0——=——，

MGDG

AB=2y/2&ZABF=45°f^BE=DF=2,

又回BC=4,回BF=BC+CF=BC+DF=6,

0BD=y/BF2+DF2=V62+22=2^/10.BDG=^BD=y/10,

SMG=-F'D<^-=2x^=—,SBG=DG,MN1BD,ZMDB=ZDBF,

BF63

MDMG%ABNG,SMG=NG,@MN=2MG=^^~.

3

【点睛】此题是折叠问题，考查折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和

性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用所学的性质定理得到ABDFs^DMG,从而求出所需边的长度.

例2.(2223下•河北•九年级期中)如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BC、AB.CD

边上的点，当EF_LG"时，证明：EF:GH=AB:BC.

【答案】见解析

［分析］过点尸作，AD于点M,过点G作GN±CD于点N,先根据余角的性质证明ZMEF=Z.GHN,

再证明AFMEs&GNH即可证明结论成立.

【详解】证明：如解图，过点尸作于点过点G作GNLCD于点N,

SFM±AD,且四边形ABCD为矩形，

SFM//CD,回/l=NGfflV,0ZEfM+ZMEF=9O°.

又回反_LGH,0ZEFM+Z1=9O°,回/MEF=NGHN.

又国NFME=NGNH=90。,国AFMEs^GNH,

@EF:GH=MF:GN=AB:BC.

【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判

定与性质是解答本题的关键.

例3.(22-23•贵港・中考真题)已知：在矩形ABCD中，AB=6,AD=2«,P是8C边上的一个动点，将

矩形ABCD折叠，使点A与点尸重合，点。落在点G处，折痕为所.

(1)如图L当点尸与点C重合时，则线段£8=,EF=；

(2)如图2,当点尸与点8,C均不重合时，取E尸的中点。，连接并延长P。与GV的延长线交于点M,

连接P尸，ME,MA.

①求证：四边形是平行四边形：②当tanNMAD=；时，求四边形MEP尸的面积.

【答案】（1）2,4；（2）①见解析；②今叵

【分析】（1）过点F作FHI3AB,由翻折的性质可知：AE=CE,0FEA=0FEC,EIG=EIA=90。根据平行线的性

质和等量代换可得回CFE=I3FEC,由等角对等边可得：CF=CE,设AE=CE=x,BE=6-X,在RtEIBCE中，由

勾股定理可得关于X的方程，解方程求得X的值，进而可得BE、DF的长，由矩形的判定可得四边形DAHF

是矩形，进而可求FH、EH的长，最后由勾股定理可得EF的长；

（2）①根据折叠的性质可得MG〃PE,进而可得=根据已知条件可得0尸=0E,从而易证

AFOM”AEOP,进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论；

②连接上4与交于点贝IJEF_LF4且=又由①知：PO=MO,MA//EF,则

继而易证EIMAD=PAB,接根据三角函数求得PB,设=则3E=6-x,根据勾股定理可得关于x的方

程，解方程可得PE的长，继而代入数据即可求解.

【详解】解：（1）EB=2,EF=4；过点F作FHI3AB,

团折叠后点A、P、C重合EIAE=CE,0FEA=EFEC,

0CD0AB00CFE=0FEA,00CFE=0FEC,0CF=CE=AE,

设AE=CE=CF=x,BE=AB-AE=6-x,

在RtElBCE中，由勾股定理可得3C2+BE2=庭2,即（2百『十四一x）?=Y

解得：x=4,即AE=CE=CF=4I3BE=2、DF=2,

aSD=EIA=l3FHA=90°l3四边形DAHF是矩形，

0FH=AD=2超、EH=AB-BE-AH=6-2-2=2

22=«2国+2?=4

在RtHEFH中，由勾股定理可得:EF=yjFH+EH

GG

图2

(2)①证明：如图2,国在矩形A3CD中，CDHAB,

由折叠(轴对称)性质，得：MG//PE,团NMFO=NPEO,

团点。是E尸的中点，^OF=OE,XZFOM=ZEOP,aAFOMm公EOP,

SMF=PE,13四边形ME尸尸是平行四边形:

②如图2,连接R4与所交于点则砂_LF4且尸H=AH,

又由①知：PO=MO,0MAHEF,则M4_LP4,

5LDAYBA,SZMAD^ZPAB,0tanZMAD=tanZPAB=-

3

PR1

在RtPAB,tanNPAB=----=—,而AB=6,团PB=2,

AB3

又在MPEB中，若设PE=x,则BE=6-x,

由勾股定理得：Y-（6-尤）2=22,贝ljPE=x=g,而PGLMG且尸G=AD=2jL

又四边形MEP厂是平行四边形，回四边形MEPR的面积为PEXPG=WX2^=K@

33

【点睛】本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判

定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线.

例4.(2022年四川乐山中考数学适应性试卷)解答

(1)如图1,矩形ABCZ)中，£F0GH,EP分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AZ),BC于点G,H.求证:

FFADFF11BN

—=^；(2)如图2,在满足(1)的条件下，点M,N分别在边BC,CD上，若为=弓，求鉴的值;

CrHADCJM1JAM

⑶如图3四边形ABC。中，&48C=90。，AB=A£）=10,AM3\DN,点M,N分别在边BC,AB上，，求——

AM

的值.

114

【答案】⑴见解析（2）记⑶g

【分析】（1）过点A作APEIER交CD于P,过点8作BQEIG//,交4。于。，如图1,易证AP=ERGH

=BQ,^PDA^QAB,然后运用相似三角形的性质就可解决问题；

（2）只需运用（1）中的结论，就可得到F黑F=黑AD=黑BN，就可解决问题；

GHABAM

（3）过点。作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R,交8C的延长线于S,如图3,易证四

边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得型=空.设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD^10-y,

AMAB

在RfZkCSD中根据勾股定理可得/+/=25①，在R/AARO中根据勾股定理可得（5+x）2+（10-y）2=10O②,

解①②就可求出x,即可得到AR,问题得以解决.

【详解】（1）解：过点A作AP回EF交CD于P,过点8作33GH,交AZ）于°,如图1,

。,尸尸FNC

国四边形ABC。是矩形，EIAB0DC,AD0BC.

国四边形AEPP、四边形BHG。都是平行四边形，SAP^EF,GH=BQ.

又EIG砸EF,SAP^BQ,EEQAT+EAQT=90°.

国四边形ABC。是矩形，EBD4B=I3£)=9O°,盟£)4尸+盟羽4=90°,

APADEFAD

S3\AQT=SDPA.S3\PDA^\QAB,0—=—,0—=—；

(2)如图2,SEFSGH,AMSBN,

（3）过点。作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,

则四边形ABSR是平行四边形.aBABC=90。，回口ABSR是矩形，

0E7?=0S=9O°,RS=AB=W,AR=BS.

DNAR

SAMSDN,回由（1）中的结论可得——=—.

AMAB

设SC=x,DS=y,IJII|AR=BS=5+x,RD=W-y,团在HfACS。中，/+9=25①,

在R/AARD中，（5+x）2+（lO-y）2=:Loo②，由②-①得x=2y-5③，

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等

知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键.

模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）

1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：

如图1,已知等边AABC,8O=EC（或CD=AE）,则AO=8E,且和BE夹角为60。，△ABC。

2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：

如图2,在△ABC中，AB=BC,AB1BC,①。为8c中点，©BFLAD,③AF：FC=2：1,®ZBDA=ZCDF,

@ZAFB=ZCFD,®ZAEC=135°,⑦AE=®EC,以上七个结论中，可“知二得五”。

3）直角三角形中的十字模型：

如图3,在三角形A8C中，BC=kAB,AB±BC,。为中点，BF±AD,则AF：FC=2：Jc,（相似）

例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是8C、AC上的点，且3O=CE,AD

与BE相交于点P.下列结论：®AE=CD-,®AP=BE；®ZPAE=ZABE；@ZAPB=120°,其中正确的

结论是（填序号）

【解答】解：①因为AC=BC,BD=CE,所以AE=CD故①正确，

②:△ABC是等边三角形，ZABD=ZC=60a,AB=BC.

rAB=BC

在△A3。与aBCE中，＜NABD=/C,:AABD冬4BCE（SAS'）；：.AD=BE.故②错误；

BD=CE

③由②知△A3。@△BCE,所以NDAB=/CBE,则/故③正确；

④：由②知△A3。丝△BCE.:.NBAD=/EBC,：.ZBAD+ZABP=ZABD=60°.

「NAPE是△ABP的外角，ZAPE=ABAD+AABP=6G°,：.ZAPB=120°,故④正确.

例2.（22・23下•淄博•一模）如图，等边一ABC,点E,E分别在AC,8c边上，AE=CF,连接AF,BE,

相交于点P.⑴求/的度数；（2）求证：BPBE^BFBC.

【答案】⑴/曲步=60。；（2）见解析

【分析】（1）根据SAS证明△BAE四△ACF,利用三角形的外角性质即可得解;

（2）证明△BPPsagcE,利用对应边对应成比例列式即可.

【详解】（1）解：0ABC是等边三角形，0AB=AC,ZfiL4E=ZACF=60°,

X^AE=CF,回△班E四△ACF(SAS),EZABE=ZC4F,

团ZBPF=ZABP+ZBAP=ZCAF+Z.BAP=ABAC=60°；

(2)证明：EZBPF=60°,ZBCE=60°,0NBPF=NBCE.

0/PBF=/CBEaABPFSABCE,0—,SBP-BEBF-BC.

BCBE

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.根据等边三角形的性质和已知条

件证明三角形全等是解题的关键.

例3.（2223下•无锡•阶段练习）如图，在边长为6的等边「ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD

与BE相交于点P,若BD=CE=2,则°；则_AB尸的周长为

42+18近

【答案】120

7

【分析】根据&4S证AB哈BCE,得出N"3=120。，在CB上取一点尸使CF=CE=2,则

BF=BC-CF=4,证jlPBs加石，根据比例关系设=则力尸=2X,作8”工AD延长线于H,利

用勾股定理列方程求解即可得出3P和AP的长.

【详解】解：ABC是等边三角形，.[AB=BC,ZABD=ZC=60°,

AB=BC

在AABD和-BCE中，＜/ABD=NC；qABg&BCE(SAS),ABAD=ZCBE,

BD=CE

.■.ZAPE=ZABP+ZBAD=ZABP+Z.CBE=ZABD=60°,Z.ZAPB=120°,

在CB上取一点/使CF=CE=2,则3尸=BC—CF=4,

ZC=60°,.NCEF是等边三角形，:.NBFE=120。,BPZAPB=ZBFE,APB^..BFE,

APBF4

—=—===2,设=则AP=2x,作工延长线于H,

BPEF2

ZBPD^ZAPE=60°,ZPBH=30°,:.PH=-,BH=—x,..AH=AP+PH=2x+-=-x,

2222

在中，AH2+BH2=AB2,即6)2+(1支)2=62,解得片券或-券(舍去)，

1

AP=^H,BP=也,.1—ABP的周长为AB+AP+BP=6+^^+处=6+^^=^^^,

77—7777

故答案为：120,42+18近.

7

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等

知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键.

例4.(22-23下•六安•一模)如图1,等边."C中，点。、E分别在BC、AC上，S.BD^CE,连接AT＞、BE

交于点尸.⑴求证：ZAFE=60；(2)如图2,连接C/,若BD=；BC,判断C尸与AD的位置关系并说明理

由；⑶如图3,在(2)的条件下，点G在AE上，G歹的延长线交于”,当AG=WG=5时，请直接写出

线段的长.

图1图2图3

【答案】⑴详见解析(2)C尸，AD,详见解析(3)2

【分析】(1)因为：ABC为等边三角形，所以ZABD=N8CE=60,AB=AC=3C,又即=CE,即可判定△AB。

0BCE,根据全等三角形的性质得出/54D=NCBE,利用三角形外角性质解答即可；

(2)延长8E至使=连接AM、CM,取万M的中点N,连接CN,可证得△"7W是等边三

角形，得出NEW=60，■=91=百欣，再证得4抽/人4皿(&45),推出/47%/=/。4£,CM//AF,

证得AAEF回..CEM,推出引0=2CM,结合点N是根的中点，得出CM=MN=FN,：、CMN是等边三

角形，进而可得NMCN=NM/C=60,CN=MN,推出NAFC=NAFM+NNFC=60+30=90,即

b_LAD；(3)延长BE至使=连接40、。0,取4£)的中点乂连接6改，可得7BDF0ABCM,

-=—=推出AD=7O7"再由GK是,ACD的中位线，可得GK//BC,GK=-CD=-x—=—,

CMBC32233

FK=DK-DF=±DF,再由_DFH0^KFG,可得-=—=进而可得BH=2,再证得ZBFH=ZCBE,

2GKFK5

得出FH=BH=2.

【详解】(1)ABC为等边三角形，:.AB=AC=BC,ZABD=ZBCE=60,

AB=BC

在△ABD和BCE中，＜ZABD=ZBCE,,-^ABD0BCE(SAS),ZBAD=Z.CBE,

BD=CE

ZADC=NCBE+NBFD=NBAD+NB,：.ZBFD=ZB=ZAFE=60；

(2)CFLAD,理由如下：

如图，延长BE至M,使=连接40、CM,取我欣的中点N,连接CN,

由(1)得：ZAFE=6Q,4^7是等边三角形，ZFAM=：60,AF=AM=FM,

ABAC=ZFAM=ZAMF=60,/.ABAC-ZCAD=ZFAM-ZCAD,BPZBAF=ZCAM,

在△ABB和少。/中，AB=AC,/BAF=/CAM,AFAM,

:.^ABFSI.ACM(SAS),ZAFB=ZAMC=1SQ-60=120,

ACME=ZAMC-ZAMF=120-60=60,：.ZAFM=ZCME,

^CM//AF:^AEF^CEM,,

AAFAE

BD=-BC,BD=CE,BC=AC,:.CE=-AC,即乌」，

33AE2

即AF=2CM,:.FM=2CM,

AF2

点N是同伊的中点，:.FM=2FN=2MN,：.CM=MN=FN,

又ZCMN=60，:.一CMN是等边三角形，：.NMCN=NMNC=60,CN=MN,

:.CN=FN,:.NNFC=NNCF=30,ZFCM=ZNCF+ZMCN=30+60=90,

ZAFC=ZAFM+ZNFC=60+30=90,/.CFLAD-,

(3)如图，延长BE至M,使=连接AM、CM,取AO的中点K,连接GK,

由⑵知：AF^FM^2CM,AABFHAACM,CMHAF,ZAFC=9Q°,

BDF^BCM,—=—=:.CM=3DF,:.AF=6DF,:.AD=7DF,

tCMBC3

AG=FG=5,:.ZCAF^ZAFG,,ZCAF+ZACF=90,ZAFG+ZCFG=90,

:.ZACF=NCFG,：.CG=FG=5=AG,二点G是AC的中点，AC=10=8C,

点K是AD的中点，；.GK是，ACD的中位线，；.GK〃台C,G^=|cD=1x^=,

175

AK=DK=-AD=-DF,FK=DK-DF=-DF,

222

GK/IBC,."FHSl.KFG,—=—=H=-GK=-x—=-,

GKFK5D5533

BD=-BC=—,:.BH=BD-DH=^--=2,

3333

ZBFH=ZEFG=ZAFE-ZAFG=60-ZAFG=60-ZCAF=ZBAD=ZCBE,:.FH=BH=Z

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，

三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加恰当辅助线

构造全等三角形和相似三角形.

例5.（22・23上•深圳,期中）如图，在MABC中，ZABC=90°,BA=3C=3,点。为边上的中点,

连接AD,过点8作BELA。于点E,延长BE交AC于点八则3尸的长为.

B

D

【答案】75

【分析】以BA3c为邻边作正方形，延长BF交CG为H,先求出N£BD=4W,再证明出

RtABD^RtBCH,得出即H为CG的中点，再证明，"8“CFH,利用相似比及勾股定理即可求解.

【详解】解：以BA,BC为邻边作正方形，延长川交CG为如下图：

NBDE=NADB,NBED=NABD=90°,：._BE4ABD,；./EBD=NBAD,

在如ABD和M3CH中，NEBD=NBAD,:.ZHBC=ZDAB,

ZABD=NBCH,AB=BC,.-.RtABD^RtBCH,:.BD=CH,即//为CG的中点,

AB//CH,ZABF=ZCHF,NBAF=ZHCF,AFB^CFH,

HFCH_1

BF=-BH,

BF—AB~23

BH=yjBC2+CH2=^,BF=-BH=-x^-=^,故答案为：卮

2332

【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、三角形全等、正方形的性质、勾股定理，解题的关键是利

用相似三角形的相似比来求解.

例6.（2223下•沧州・二模）如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=3C,点。是线段48上的一点，

连接C。，过点B作BGLCD,分别交8、G4于点E、F,与过点A且垂直于A3的直线相交于点G,连

接。尸，下列结论错误的是（）

A.二g=——B.若点Z)是AB的中点，则AF=YZAB

ABFC3

C.当8、C、F、。四点在同一个圆上时，DF=DBD.若黑=：,则5即。=95

【答案】D

【分析】由可确定A项正确；由3co可得AG=gA8=gBC,进而由,,AFG^CFB

确定点尸为C4的三等分点，可确定B项正确；当5、C、F、。四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性

质得到NCFr)=NABC=90。，得到8为圆的直径，因为5GLCD,根据垂径定理得到分故。项

AF1

正确；因为。为AB的三等分点，AFGSCF5即存可得S,3sm由此确定。项错误.

AGAF

【详解】解：依题意可得8。AG,0AFGs.CFB,0一=

BC~CF

故A项正确；如图,

又…,噎唔

国/1+/3=90°,Nl+/4=90°,回/3=/4.

Z3=Z4

在，ABG与△3CD中，＜AB=BC,即ASGg-BC/XASA),SAG=BD,

ZBAG=ZCBD=90°

y.SBD=AD,0AG=AD；0ABC为等腰直角三角形,

0AC=-JiAB;^AG=AD=^AB=^BC；

0AFGs.BFC,0—=—,SFC=2AF,EAF=-AC=—AB.故2项正确;

BCCF33

当8、C、F、。四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得NCED=NABC=90。,

回8是8、C、F、。四点所在圆的直径，I33G_LCD,^DF=BD^^DF=DB,故C项正确;

AGAF2BD1BD1

团---=----,AG=BDf---=—,回---=~,

ABCFAD2AB3

AF1…1A-c1c

=S

团S/Z\XBDDDFr=3—SL'△ABF'=团人/=^40，~NABC?

^\SABC=12SBDF.故D项错误.故选：D.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度.对每一个结论,

需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用.

例7.（2223•广东,期中）如图，在Rt^AC3中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点。为AC上一点，连

CEJ.&）于点尸，当AD=CD时，求CE的长.

Q

［分析】将RtAACB补成矩形ACBH，延长CE交A”于点G,可得ABCDs/\CAG，结合已知可求AG=^、

CG=生叵，再由△A£Gs/\5£C即可求出CE.

3

补成矩形ACB8,延长CE交A”于点G,

0ZACB=9O°,CELBD,0ZACG+ZBCG=90°,ZABD+ZBCG^90°,

CDCBBD

SZACG^ZCBD,0ZXBCD03AG4G,回——=——=——，

AGACCG

4713

0AG=,CG,团设CE=x,则=—%,

嚏子票I33

又团在矩形ACS”中，AG!IBC,EAAEGCOABEC,

84713

AGEG,解得.答—黑

0------------，即二丁7

BCCE

3x

【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性

质，证明△BCDS^CAG是本题的关键.

例8.（22-23下•深圳•一模）如图①，在RtA5c中，AC=BC,/ACB=90。，点。为BC边上的一点,