第2讲 函数与方程思想在立体几何中的应用（原卷版）

第2讲函数与方程思想在立体几何中的应用方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。函数与方程思想方法在在立体几何中大有用武之地，如立体几何中的求体积表面积以及距离的最值问题，空间几何体中的线线角、线面角、面面角的最值问题。【应用一】函数与方程思想在几何体中解决体积表面积的最值问题1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.运用导数研究函数的最值是立体几何中求最值常用的方法和技巧。【例1.1】（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【思维提升】对于立体几何中的最值问题，要从以下几个方面入手：1、引入适当的变量，准确的表示出关于体积、表面积等函数关系式。2、通过求导或者运用基本不等式求函数的最值。【变式1-1】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式1-2】【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是（

A．18,814 B．274,814【变式1-3】（2022年广州附属中学高三模拟试卷）已知P，A，B，C是半径为2的球面上的点，，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值是______【变式1-4】（2023·湖南邵阳·统考一模）在正方体中，点满足，且，直线与平面所成角为，若二面角的大小为，则的最大值是______.【应用二】函数与方程思想在几何体中解决存在性的问题解决空间几何体中的探索性或者存在性问题，可以从下面几步入手：第一步，首先根据已知条件建立适当的空间直接坐标系，并假设求解的结果存在，寻求使这个结率成立的充分条件。第二步。然后根据空间向量将以几何问题转化为空间向量问题，并进行计算求解。第三步得出结论，如果得到符合题目结果要求的条件，则存在如果。找不到符合题目结果要求的条件，或出现矛盾则不存。【例2.1】（2023·云南玉溪·统考一模）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分别是线段AB，PC的中点．(1)求证：MN平面PAD；(2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【思维提升】对于这种探索性问题，就是假设存在，根据条件得出对于的方程或者不等式，然后解此方程或者不等式，但是一定要注意引入参数的范围。这也是对解出结果进行取舍的依据。【变式2-1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F，G分别为AC，，的中点，．(1)求证：；(2)若直线FG与平面BCD所成角的正弦值为，求AD的长．【变式2-2】（2023·山西·统考一模）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.(1)求到平面的距离；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【变式2-3】（2022年广州第十七中学高三模拟试卷）如图所示，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，且平面，．（1）求证：平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为．【应用三】函数与方程思想在几何体中运用向量的方法解决角度、距离的最值问题解决的途径就是建立起关于角或者距离的目标函数，然后通过求导或者运用基本不等式进行求导。【例3.1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（

）A． B． C． D．【思维提升】对于立体几何中的线线角、线面角、面面角以及距离最值问题若不好直接表示角度的函数关系式，可以考虑运用向量的方法研究线线角、线面角、面面角以及距离最值问题，要从以下几个方面入手：1、建立适当的空间直角坐标系，引入适当的变量（特别要注意），准确的表示出关于体积、表面积等函数关系式。2、通过求导或者运用基本不等式求函数的最值。【变式3-1】【2021年甲卷理科】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【变式3-2】【2020年新高考1卷（山东卷）】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【变式3-3】（2021·山东德州市·高三期末）在四棱锥中，为直角三角形，且，四边形为直角梯形，且为直角，E为的中点，F为的四等分点且，M为中点且．（1）证明：平面；（2）设二面角的大小为，求的取值范围．巩固练习1、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则“阳马”的体积最大为（）A. B.2 C. D.42、【2022年全国乙卷】已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A．13 B．12 C．333、（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（

）个．①若E为的中点，则直线平面②三棱锥的体积为定值③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为④过点，C，E的截面的面积的范围是A．1 B．2 C．3 D．44、（2023·江苏南通·统考一模）已知正四棱锥的所有棱长都为1，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为__________，的面积的最大值为__________.5、（2023·广东广州·统考一模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.6、（2023·湖南永州·统考三模）（多选题）已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，点G为线段MN上的动点，则（

）A．线段MN的长度为1 B．周长的最小值为C．的余弦值的取值范围为 D．直线FG与直线CD互为异面直线7、（2022年江苏省高三模拟试卷）已知平面α和平面β是空间中距离为2的两平行平面，球面M与平面α、平面β的交线分别为圆A、圆B．（1）若平面γ与平面α、平面β的交线分别为，，证明：；（2）若球面M的半径为2，求以圆A为上底面，圆B为下底面的几何体AB的体积的最大值．8、（2022年福建省德化一中高三模拟试卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，．（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；（2）若二面角M-BQ-C的大小为60°，求QM的长．9、（2022·江苏扬州·高三期末）如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC1B1为等腰梯形，且B1C1＝CC1＝4，M为B1C1中点．（1）证明：平