第七章 无限脉冲响应数字滤波器的

无限脉冲响应数字滤波器(IIRDF)的设计7.1数字滤波器的基本概念数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统环节，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的本质是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。

１）

经典滤波器：即一般滤波器（输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过以合适的选频滤波器达到滤波目的）数字滤波器的分类:

现代滤波器：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号）

2)按通频带不同,可分为:

低通滤波器(LP)

高通滤波器(HP)

带通滤波器(BP)

带阻滤波器(BS)它们的理想幅频特性如图6.1.1所示:

图7.1.1理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性数字滤波器是一个离散时间系统，在频域具有周期性，周期是2

，其特性又对称于折叠频率

，所以我们讨论的频率范围0~

。

3)按其单位脉冲响应h(n)的长短，可分为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器，简记为IIRDF。和有限脉冲响应(FIR)数字滤波器，简记为FIRDF。它们的系统函数分别为：

数字滤波器设计目标：由给定的数字滤波器频率特性的指标,确定M和N及系数ar,br从而得到数字滤波器H(z).数字滤波器设计方法１）

IIR滤波器设计方法借助模拟滤波器设计方法：计算机辅助设计：直接在频域或时域设计２）FIR滤波器设计方法窗函数法频率采样法等波纹逼近法——需计算机辅助设计３）线性相位滤波器设计方法FIR滤波器：常用（相位特性严格线性，这是AF无法达到的）IIR滤波器：必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相位校正

其设计步骤是：IIRDF的设计方法有：间接设计法（AF变换方法）、直接设计法及采用计算机辅助的优化设计方法。经常用的一类设计方法是间接设计法：即借助于模拟滤波器的设计方法进行的。(1)将数字滤波器的设计要求转换为模拟滤波器的设计要求。(2)设计满足技术指标的模拟滤波器。(3)将模拟滤波器转换为数字滤波器。AF滤波器设计(1)将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器的设计。(2)设计满足技术指标的模拟滤波器。(3)将模拟滤波器转换为数字滤波器。IIR数字滤波器设计的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器脉冲响应不变法双线性变换法AF滤波器设计(1)将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器的设计。(2)设计满足技术指标的模拟滤波器。(3)将模拟滤波器转换为数字滤波器。IIR数字滤波器设计的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器脉冲响应不变法双线性变换法AF滤波器设计(1)将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器的设计。(2)设计满足技术指标的模拟滤波器。(3)将模拟滤波器转换为数字滤波器。IIR数字滤波器设计的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器脉冲响应不变法双线性变换法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器脉冲响应不变法双线性变换法H(s)频率变换设计原型低通滤波器复频率变换Wp,Ws如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1.脉冲响应不变法:2.双线性变换法使DF的h(n)近似于AF的ha(t):使描述DF的差分方程式近似于描述AF的微分方程

所以，已知H（S）通过变换

可以得到DF的系统函数H（Z）。

7．2用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器脉冲响应不变法是使：DF的

即对模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)进行采样，得到ha(nT)，将ha(nT)作为DF的h(n)，由h(n)求出H（Z），作为DF的系统函数。

映射关系：

当σ<0时，r<1说明S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆周内

当σ=0时，r=1说明S平面的jΩ轴映射到Z平面的单位圆周

当σ>0时，r>1说明S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆周外。

映射关系

令：因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统

所以多个S值映射为单个Z值。S平面的jΩ轴映射为Z平面的单位圆周，所以ΩT每增加或减少2

，即Ω增加或减少2

/T,对应于单位圆周上逆时针旋转一周。S平面上每一条宽为2

/T的横带部分都将重叠地映射为整个Z平面，每一条横带的左、右半平面分别映射为单位园内、外。如图7.2.1所示：

但存在映射多值性问题:

以上分析说明：映射的是H（Z）与H（S）周期延拓的关系，而不是H（Z）与H（S）本身的关系。即：

图7.2.1s平面与z平面之间的映射关系

图7.2.2脉冲响应不变法的频率混叠现象

可看出：如果Ha(jΩ)中有些分量的频率大于Ωs/2(=π/T),则DF的H(ejw)中必然产生混叠现象,设计出的DF的响应就会产生失真，所以要求：AF的频响Ha(jΩ)的最高频率Ωh≤π/T。即：

其关系如图7.2.2所示：

脉冲响应不变法的优缺点

缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设计高通、带阻等滤波器。优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性

总结：用脉冲响应不变法设计IIRDF的步骤为：

1、通过w=ΩT将给定的DF的技术要求转化为AF的技术要求

2、设计此AF，得到Ha(S)

3、对H(s)进行Laplace反变换求得ha(t)

4、令

5、求H（Z）。

实际上问题可简化，一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为:

则对应的DF的二阶基本节的形式为

如果Ha(s)的极点si是一个实数，则AF是一阶基本节的形式:

则DF为：

如果AF的二阶基本节的形式为

则对应的DF的形式：

例7.2.1已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为

用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。

解：

以T=1s代入，用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则

分别画出它们的幅频特性如图7.2.3所示。其中图7.2.3(a)表示模拟滤波器的幅频特性。

图7.2.3例7.2.1的幅度特性

由

可求得

7．3用双线性变换法设计IIR数字滤波器双线性变换法的基本思想是：让描述DF的差分方程近似描述AF的微分方程H（Z）与Ha（S）之间存在如下关系：

∴

当σ<0时，|Z|<1说明S左半平面映射到Z平面的单位圆周内

当σ=0时,|Z|=1说明S平面的jΩ轴映射到Z平面的单位圆周

当σ>0时,|Z|>1说明S右半平面映射到Z平面的单位圆周外。

映射关系是否满足条件：

设：

因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统

令s=jΩ,z=ejω，有：频率变换关系：的关系如图所示：

S域的jΩ轴映射为Z域的单位园上，映射关系具有唯一性。

从的关系可看出：Ω与ω是非线性的，即：

AF的频率特性在DF中不能得到保持.

即在给定DF的ωs,ωp后，在设计AF滤波器时，并不直接按这个数据设计，而是先通过

进行预变形，根据Ωp,Ωs进行AF的设计，求出H（S），

再用

代入，即可求出DF的H（Z）。

采用预变形矫正法，可以克服这个缺点：(2)通过预变形法

，将数字滤波器的频率指标转换成模拟滤波器的频率指标。

(3)按照模拟滤波器的技术指标设计模拟滤波器Ha(s)。

(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字滤波器系统函数H(z)。

总结：利用双线性变换法设计IIRDF的步骤:

(1)确定数字滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs。

为简化设计，将模拟滤波器各系数和经双线性变换法得到的数字滤波器的各系数之间关系，列成表格供设计时使用。

设

系数Ak

、Bk和ak

、bk之间的关系列于下表中。

例7．3．1：设有一数字处理系统，它的抽样频率fsa为2000Hz，希望在此系统中设计一个一阶低通数字滤波器，使其通带中允许的最大衰减为3dB，通带上限频率fp为400Hz

解：1、数字滤波器的技术指标

2、经过预变形得

数字低通系统函数：

一阶巴特沃思模拟LP

解:

(1)数字高通的技术指标为

ωp=0.8πrad,αp=3dB;

ωs=0.44πrad,αs=15dB

例7.3.2设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。

(3)模拟原型低通滤波器的技术指标计算如下：

2)模拟高通的技术指标计算如下：

令T=1，则有

查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为

(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。

(6)用双线性变换法将模拟高通H

(s)转换成数字高通H(z)：

模拟高通Ha(s)：解

(1)数字带通滤波器技术指标为

通带上截止频率ωu=0.4πrad,通带下截止频率ωl=0.3πrad,阻带上截止频率ωs2=0.5πrad,阻带下截止频率ωs1=0.2πrad

通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=18dB。

例7.3.3设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad到0.4πrad，通带内最大衰减为3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。

(3)模拟归一化低通滤波器技术指标：

λp=1

(2)模拟带通滤波器技术指标如下：

设T=1，则有

取λs=2.902

设计模拟归一低通滤波器：

查表6.2.1，得到归一化低通传输函数G(p),

(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。

(5)将归一化模拟低通转换成模拟带通：

7.4利用Matlab设计数字滤波器

1、脉冲响应不变法Impinvar()

调用格式：式中：为AF系统函数的分子、分母多项式系数为DF系统函数的分子、分母多项式系数2、双线性变换法

调用格式：数字角频率的取值范围，而Matlab工具函数常采用标准化频率

其中：wp：通带截频。当为带通、带阻时，wp应为两个元素的向量。

ws：阻带截频。当为带通、带阻时，ws应为两个元素的向量。

αp：通带最大衰减。

αs：阻带最小衰减。

N：返回的滤波器的最小阶数

Wn：滤波器的截止频率（3dB时的频率）。对于带通和带阻，wn为两个元素的向量。

3：求阶数N调用格式：