组合（教学设计）（人教A版2019选择性必修第三册）

.2.3组合教学设计课时教学内容本节主要内容是组合的概念，是在学生学习了两个基本计数原理、排列及排列数公式以后学习的，是排列与排列数知识的延续，也是后面学习组合数和二项式定理的基础.学生已经掌握了排列问题，并且对顺序与排列的关系已经有了一个比较清晰的认识.而组合与排列的关键区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.理解了这一点，能加深对组合概念的理解.课时教学目标（1）理解组合和组合数的概念，能够区分组合数和组合；（2）通过探索排列和组合的关系，利用计数原理推导组合数公式；（3）通过组合数的计算，体会“数学运算”，通过探索排列和组合的关系，体会“逻辑推理”教学重点、难点1.重点：理解组合数的概念、推导组合数的公式及性质2.难点：将实际问题中的具体对象抽象为元素，归纳总结出组合的定义；正确区分排列与组合.教学过程设计环节一创设情境，引入课题问题1.从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？师生活动：教师提出问题，学生思考辨析、讨论交流.让学生充分讨论交流后，找几名代表分享讨论结果.本节问题1中的所有选法有3种情况：甲乙，甲丙，乙丙.选法与顺序无关.6.2.1节问题1中的所有选法有6种情况：甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙.选法与顺序有关.设计意图：通过对这两个问题的辨析，让学生理解这两类问题的本质区别，为引入组合的概念奠定基础.分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学，然后再分配上午和下午而得到的．同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2种方法．而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序．于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：．甲乙，甲丙，乙丙．将具体背景舍去，上述问题可以概括为：从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组?这就是我们要研究的问题．师生活动：可以根据学生的具体情况，选择下列合适的问题引导学生对问题1进行分析：(1)问题1中要完成的“一件事情”是什么？比较6.2.1节问题1与本节问题1中要完成的“一件事情”，它们有什么异同？(2)列出问题1的各种不同选法，与6.2.1节问题1的选法相比，它们有什么不同？是否与顺序有关？设计意图：既检测了分析解决排列问题的情况，又在排列问题的基础上引出组合问题，为抽象得到组合的概念作准备.环节二观察分析，感知概念问题2：6.2.1节中的问题1可归结为“从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法?”类似地，应该如何表述本节问题1呢？师生活动：如果学生作上述归纳有困难，可引导他们思考下列问题：(1)在6.2.1节中，把问题1归结为“从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法?”类似地，应该如何表述本节问题1呢？(2)在6.2.1节中，把问题1和问题2推广为一般形式“从个不同元素中取出个元素，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法?”类似地，应该如何将本节问题1推广到一般情形呢？在问题2的基础上，给出组合的定义：设计意图：通过类比排列定义的得出过程，归纳得出组合的定义，让学生体会类比与归纳在抽象数学概念中的作用，提升学生的数学抽象核心素养.环节三抽象概括，形成概念组合的相关概念1.组合:一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合(combination)．2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.设计意图：类比排列概念的形成，从特殊到一般得出组合的概念.问题3：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？师生活动：可引导学生结合下列具体问题进行思考：(1)列出6.2.1节问题1中相同元素的排列，这样的排列共有几组？(2)对比本节问题1与6.2.1节问题1,它们所取的元素是否相同？它们与顺序是否有关?本节问题1的组合个数与6.2.1节问题1的排列数有何关系？（3）“从〃个不同元素中取出加个元素的组合”与“从〃个不同元素中取出相个元素的排列”的联系与区别分别是什么？(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.师生活动：教师引导学生根据排列、组合的定义，抓住是否有“顺序”这个关键点解决问题.环节四辨析理解，深化概念从排列与组合的定义可以知道，两者都是从个不同元素中取出个元素，这是它们的共同点．但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列．由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图6.2-7所示．由此，6.2.1节问题1的6个排列可以分成每组有2个不同排列的3个组，也就是上面探究问题的3个组合．思考：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆．下面的问题是排列问题，还是组合问题?（1）从中选3辆，有多少种不同的方法?（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法?（1）与顺序无关，是组合问题；（2）选出3辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。师生活动：教师引导学生根据排列、组合的定义，抓住是否有“顺序”这个关键解决问题.在教学中，还可以让学生举出不同的具体实例，并说明这些例子是否属于组合问题，通过这些实例增强对组合的认识.设计意图：通过分析、比较组合与排列的实例，以及利用概念判断是排列问题还是组合问题，厘清排列与组合的联系和区别，让学生利用排列与组合的定义进行辨析，加深对这两个概念的理解，进一步明确组合的概念,提升学生的数学建模核心素养.环节五概念应用，巩固内化例5平面内有A，B，C，D共4个点（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条?分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题．解：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为．这12条有向线段分别为．（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：．师生活动：教师要引导学生判断是排列问题还是组合问题，关键是下面两个问题：（1）要完成的“一件事情”是什么？（2）完成的“一件事情”是否与“顺序”有关？设计意图：通过分析和解决具体的排列与组合问题，帮助学生理解组合的概念.问题4：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？设计意图：让学生区分有向线段与线段这两个概念，进一步辨析排列与组合的概念，加深对排列与组合概念的理解与认识.环节六归纳总结,反思提升1.教师引导学生回顾本节课所学知识，并让学生结合实例说明：(1)如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？(2)如何求一个组合问题的所有组合个数？组合个数与排列个数的关系是什么？2.知识清单：(1)组合与组合数的定义．(2)排列与组合的区别与联系．(3)用列举法写组合．设计意图：通过两个问题的设计，让学生回顾本节课学习的内容，提升学生归纳总结的能力.环节七 目标检测，作业布置完成教材：教科书第26页习题6.2第4,7题.练习（第22页）1．甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环赛．（1）列出所有各场比赛的双方；解析：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁．（2）列出所有冠、亚军的可能情况．解析：冠军甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁亚军乙甲丙甲丁甲丙乙丁乙丁丙2．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形．2．【解析】因为平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在