9.10 因式分解的应用及材料阅读题（重难点培优）-苏科版七年级下册数学第9章《整式的乘法与因式分解》尖子生同步培优（附答案解析）

专题9.10因式分解的应用及材料阅读题（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________1．如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）．（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是．①a2+ab＝a（a+b）②a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知4x2﹣9y2＝12，2x+3y＝4，求2x﹣3y的值；②计算（1-122）×（1-132）×（12．如图1示．用两块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的正方形．（1）用两种不同的方法计算图1中正方形的面积；（2）如图2示，用若干块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，试由图形推出2a2+3ab+b2因式分解的结果；（3）请你用拼图等方法推出3a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．3．已知：x+y＝5，（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3．求下列代数式的的值．（1）xy；（2）x2+4xy+y2；（3）x2+xy+5y．4．装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A、B型板材若干块，A型板材规格是a×b，B型板材规格是b×b．现只能购得规格是150×b的标准板材．（单位：cm）（1）若设a＝60cm，b＝30cm．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图．裁法一裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数3mn则表中，m＝，n＝；（2）为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是a×a，并做成如图2的背景墙．请写出图中所表示的等式：；（3）若给定一个二次三项式2a2+5ab+3b2，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量）5．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（3a+b）（a+3b）长方形，则x+y+z＝．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．6．我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．但小白在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．这种在二次三项式x2+6x﹣7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2﹣8x+7分解因式；（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy++9y2﹣＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（）2＝[（x﹣5y）+][（x﹣5y）﹣]＝（x﹣y）（x﹣）；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．7．如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：（1）a2b+ab2；（2）a2+b2+ab．8．已知a，b．c为三角形ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断三角形ABC的形状．9．若一个四位数A满足：①千位数字2﹣百位数字2＝后两位数，则称A为“美妙数”．例如：∵62﹣12＝35，∴6135为“美妙数”．②7×（千位数字﹣百位数字）＝后两位数，则称A是“奇特数”．例如：7×（8﹣5）＝21，∴8521为“奇特数”．（1）若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是．若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是．（2）一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为m，百位数字均为n，且这个“美妙数”比“奇特数”大14，求满足条件的“美妙数”．10．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2＝（1+x）[1+x+x（1+x）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2020，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n（必须写出解答过程）．11．若一个三位数m=xyz（其中x，y，z不全相等且都不为0），现将各数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M（m）．例如537，重排后得到357，375，753，735，573，所以537的差数M（1）若一个三位数t=abc（其中b＞a＞c且abc≠0），求证：P（t（2）若一个三位数m，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m被4除余1，求所有符合条件的M（m）的最小值．12．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请解答下列问题：（1）写出由图②可以得到的数学等式；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值；（3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝．13．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．（1）若解释因式分解3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b），需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；（2）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为5a2+mab+b2，则m的值为，将此多项式分解因式为．（3）有3张A类，4张B类，5张C类卡片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为．14．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，华师中山附中以实施百书计划为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数，其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因为x＝y，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最大的“和平数”是．（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”，例如：1423与4132为“相关和平数”．设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则该“和平数”和它的“相关和平数”的数值分别为：“和平数”值，“相关和平数”值是．求证：任意的两个“和平数”与“相关和平数”之和是1111的倍数．（3）求同时满足下列条件的所有“和平数”：①个位上的数字是千位上的数字的两倍；②百位上的数字与十位上的数字之和是12．15．阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．解：∵a2＝3﹣a∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9∴a2（a+4）＝9根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）若a2﹣a﹣10＝0，则2（a+4）（a﹣5）的值为．（2）若x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．16．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．例如：x2+6x﹣7分析：观察得出：两个因式分别为（x+7）与（x﹣1）解：原式＝（x+7）（x﹣1）（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1②（拆项法）x2﹣6x+8③x2﹣5x+6＝．（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．17．中国古贤常说万物皆自然．而古希腊学者说万物皆数．小学我们就接触了自然数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“欢喜数”．定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”．例如：24是一个“欢喜数”，因为24＝4×（2+4），125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5＝8，125不是8的整数倍．（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；（2）有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”．18．根据阅读材料，解决问题．材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（例如：1、232、4554是对称数）．材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z，我们对自然数A规定一个运算：K（A）＝x2+y2+z2，例如：A＝191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2．则K（191）＝22+82+22＝72．请解答：（1）请你直接写出最大的两位对称数：，最小的三位对称数：；（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数；（3）一个四位的“对称数”B，若K（B）＝8，请求出B的所有值．19．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是优雅数．如33，262，45654都是优雅数，最小的优雅数是11，但没有最大的优雅数，因为数位是无穷的．（1）若将任意一个四位优雅数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被9整除；（2）设一个三位优雅数为aba（a+b＜10）与各数位上数字之和的差能被11整除，且该优雅数与11相乘后得到一个四位数，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位优雅数．20．在数的学习过程中，一些具有某种特性的数总能引起人们的注意，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“美数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与个位数字之和被十位数字除后余2，则称这个自然数n为“美数”．例如：365是“美数”，因为3，6，5都不为0，且3+5＝8，8被6除余2；158不是“美数”，因为1+8＝9，9被5除余4．（1）判断：779“美数”，436“美数”（填“是”或“不是”）；（2）400以内，个位数字比百位数字大5的所有“美数”为；（3）求出十位数字为5且被3整除的所有“美数”．参考答案1．（1）③．【分析】（1）根据图①的面积等于图②的面积列出等式便可；（2）①运用前面得到的平方差公式进行解答便可；②运用平方差公式解答便可．【解析】（1）图①的面积可表示为a2﹣b2，图②的面积可表示为（a+b）（a﹣b），∵图①的面积＝图②的面积，∴上述操作能验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为③；（2）①∵4x2﹣9y2＝12，∴（2x+3y）（2x﹣3y）＝12，∵2x+3y＝4，∴2x﹣3y＝12÷4＝3；②（1-122）×（1-132）×（1-142）×（1-152）×…×（1-11002）＝（1-12．【分析】（1）从整体和部分两个方面进行计算即可；（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得答案；（3）利用图形面积法，可以拼成长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形．【解析】（1）从整体上看，图1是边长（a+b）的正方形，其面积为（a+b）2，各个部分的面积之和：a2+2ab+b2；（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得，2a2+3ab+b2＝（a+b）（2a+b）；（3）3a2+5ab+2b2＝（a+b）（3a+2b），3．【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3的左边，再将x+y＝5的值代入计算即可求出xy值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；（3）把x2+xy+5y化成x（+y）+5y，再两次代入x+y＝5的值，便可得最后结果．【解析】（1）∵（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3．∴xy﹣2（x+y）+4＝﹣3∵x+y＝5，∴xy＝3；（2）∵x+y＝5，xy＝3，∴原式＝（x+y）2+2xy＝25+6＝31；（3）原式＝x（x+y）+5y，∵x+y＝5，∴原式＝5x+5y＝5（x+y）＝5×5＝25．4．（1）m＝1，n＝5；（2）（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；【分析】（1）根据矩形的面积列出m或n的方程，再解答便可；（2）用正方形的面积公式表示出图形的面积，用各部分面积和表示出图形的面积，进而用等式表示出相等关系便可；（3）仿样例画出长方形，其长为2a+3b，宽为a+b，结合图形便可得出结果．【解析】（1）根据题意得，2×60×30+302m＝150×30，302n＝150×30解得，m＝1，n＝5，故答案为：1；5；（2）∵正方形的边长为（a+2b），∴正方形的面积为（a+2b）2；∵正方形的面积等于各部分面积和＝a2+4ab+4b2；∴（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故答案为：（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；（3）画出矩形，其长为2a+3b，宽为a+b，如图，由图形可知，2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）．5．（1）：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）30．（3）16．【知识迁移】（4）x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（3a+b）（a+3b）＝3a2+9ab+ab+3b2＝3a2+3b2+10ab，即可得到x，y，z的值；（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【解析】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（3a+b）（a+3b）＝xa2+yb2+zab，∴3a2+10ab+3b2＝xa2+yb2+zab，∴x＝3，y＝3，z＝10，∴x+y+z＝16，故答案为：16；（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．6．（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]＝（x﹣y）（x﹣9y）；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．【分析】（1）根据小白发现的方法即可分解因式；（2）结合（1）的方法即可填空；（3）根据已知所给两种方法进行分解因式即可．【解析】（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16+7﹣16＝（x﹣4）2﹣9＝（x﹣4）2﹣32＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）；（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]＝（x﹣y）（x﹣9y）；故答案为：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x﹣13m•（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2＝（x+6m）2﹣49m2＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）＝（x+13m）（x﹣m）．7．【分析】（1）应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．（2）先根据a+b＝7，ab＝10求出a2+b2的值，即可求出a2+b2+ab的值．【解析】（1）∵a+b＝7，ab＝10，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29，∴a2+b2+ab＝29+10＝39．8．【分析】根据a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，可以得到a、b、c的关系，从而可以判断三角形ABC的形状．【解析】∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴三角形ABC是等边三角形．9．【分析】（1）根据美妙数的定义进行解答便可；（2）根据新定义表示出美妙数与奇特数，再根据题意列出方程，求得符合每件的解，进而求得结果．【解析】（1）∵82﹣72＝15，∴若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是8715，∵16＝42﹣02＝52﹣32，∴若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是4016或5316，故答案为8715；4016或5316；（2）根据题意得，（1000m+100n+m2﹣n2）﹣[1000m+100n+7（m﹣n）]＝14，化简得（m﹣n）（m+n﹣7）＝14，∵m、n均为整数，且1≤m≤9，0≤n≤9，∴m＝8，n＝6，∴满足条件的“美妙数”为，1000m+100n+m2﹣n2＝8628．10．【分析】（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论；（2）结合（1）和阅读材料即可得结论；（3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可．【解析】（1）阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，故答案为：提公因式法，2；（2）原式＝（1+x）2021，则需应用上述方法2020次，结果是（1+x）2021，故答案为：2020，（1+x）2021；（3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）（1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]＝（1+x）2（1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]＝（1+x）n（1+x）＝（1+x）n+1．11．【分析】（1）直接表示出重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，然后求差，提公因式即可证明．（2）（2）根据题意写出满足条件的三位数m，再根据定义求出所有符合条件的M（m）的最小值．【解析】（1）证明：设三位数t=abc（其中b＞a＞c且abc最大数＝100b+10a+c，最小数＝100c+10a+b，P（abc）＝（100b+10a+c）﹣（100c+10a+b）＝99b﹣99c＝99（b﹣c）．∴P（t）能被99整除；（2）满足条件的三位数m有325，729，M（325）＝532﹣235＝297，M（729）＝972﹣279＝693．故所有符合条件的M（m）的最小值为297．12．【分析】（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方形的面积加上6个长方形的面积，由此可得出等式；（2）将a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14代入（1）中所得的等式，计算即可；（3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，将等式左边展开，再比较系数即可得出x，y，z的值，然后求和即可．【解析】（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方形的面积加上6个长方形的面积，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，∴62＝14+2（ab+ac+bc），∴ab+ac+bc＝（36﹣14）÷2＝11．（3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，∴2a2+8ab+ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴2a2+9ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴x＝2，y＝9，z＝4，∴x+y+z＝2+9+4＝15．故答案为：15．13．【分析】（1）根据题意可以画出相应的图形；（2）根据题意和因式分解的方法可知m的值为6，然后对式子分解因式即可解答本题；（3）根据3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，得出a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，再根据正方形的面积公式即可得出答案．【解析】（1）如图所示；（2）由题意可得，m＝6，∴5a2+6ab+b2＝（5a+b）（a+b），故答案为：（5a+b）（a+b）；（3）3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），故答案为：a+2b．14．【分析】（1）根据题意得：最大的和平数千位和百位要最大，所以取9，所以最大的“和平数”9999．（2）设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则它的“相关和平数”千位数字为b，百位数字为a，十位数字为d，个位数字为c，根据“和平数”的定义可知a+b＝c+d，再计算（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）＝1100a+1100b+11c+11d＝1100a+1100b+11（a+b）＝1111a+1111b＝1111（a+b），即可证明．（3）设这个“和平数”的千位数字是a，百位数字是m，十位数字是n，其中a，m，n均是正整数且1≤a≤9，0≤m≤9，0≤n≤9，则个位数字是2a，又由0≤2a≤9，得到a的取值为1，2，3，4；百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知m+n＝12，得到a＝2m﹣12，当m＝7时，a＝2，这个“和平数”是2754；当m＝8时，a＝4，这个“和平数”是4848．【解析】（1）最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999．故答案为1001，9999．（2）设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则它的“相关和平数”千位数字为b，百位数字为a，十位数字为d，个位数字为c，∴a+b＝c+d因为（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）＝1100a+1100b+11c+11d＝1100a+1100b+11（a+b）＝1111a+1111b＝1111（a+b），所以（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）能被1111整除，故答案为任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．（3）设这个“和平数”的千位数字是a，百位数字是m，十位数字是n，其中a，m，n均是正整数且1⩽a⩽9，0⩽m⩽9，0⩽n⩽9，则个位数字是2a，又∵0⩽2a⩽9，∴a的取值为1，2，3，4；∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，∴m+n＝0或m+n＝12，∵“和平数”中a+m＝n+2a，∴m+n＝12，∴a+m＝12﹣m+2a，即a＝2m﹣12，∴m的取值为7，8，9；当m＝7时，a＝2，这个“和平数”是2754；当m＝8时，a＝4，这个“和平数”是4848；当m＝9时，a＝6，不成立；综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848．15．【分析】（1）将a2﹣a﹣10＝0变形为a2＝a+10，再将2（a+4）（a﹣5）利用多项式乘以多项式运算展开，然后将a2＝a+10代入降次化简即可．（2）由x2+4x﹣1＝0，得出x2＝1﹣4x，然后利用提取公因式法对2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1变形，并将x2＝1﹣4x代入化简即可．【解析】（1）∵a2﹣a﹣10＝0，∴a2＝a+10，∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2（a+10﹣a﹣20）＝2×（﹣10）＝﹣20，故答案为：﹣20．（2）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2＝1﹣4x，∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2（1﹣4x+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2×（﹣1）﹣8x+1＝﹣2（1﹣4x）﹣8x+1＝﹣2+8x﹣8x+1＝﹣1．∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．16．【分析】（1）①将原式化为（4x2+4x+1）﹣y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为x2﹣6x+9﹣1，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；（2）先利用完全平方公式对等式a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出a，b，c的值，然后求和即可得出答案．【解析】（1）①4x2+4x﹣y2+1＝（4x2+4x+1）﹣y2＝（2x+1）2﹣y2＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）；②x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1）＝（x﹣4）（x﹣2）；③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；故答案为：（x﹣2）（x﹣3）；（2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝2，c＝3，∴a+b+c＝2+2+3＝7．∴△ABC的周长为7．17．【分析】（1）根据“欢喜数”的概念进行判断即可；（2）先设出“欢喜数”的各个数位上的数字，再根据“欢喜数”的定义即可得出结论．【解析】（1）∵2+8＝10，28不是10的整数倍，∴根据“欢喜数”的概念，28不是“欢喜数”；∵1+3+5＝9，135＝15×9是9的倍数，∴根据“欢喜数”的概念，135是“欢喜数”；（2）①设这个数为一位数a，且a为自然数，a≠0，根据题意可知a＝4a，又a≠0，∴这种情况不存在；②设这个数为两位数ab，a，b为整数，∴10a+b＝4（a+b），即b＝2a，∴a=1b=2或a=2b=4或a=3b=6∴这种欢喜数为12，24，36，48；③设这个数为三位数abc，a，b，c为整数，∴100a+10b+c＝4（a+b+c），则96a+6b＝3c，又a，b，c为0到9的整数，且a≥1，∴这种情况不存在；④设这个数为四位数abcd，a，b，c，d为0到9的整数，且a≥1，∴1000a+100b+10c+d＝4（a+b+c+d），∴996a+96b+6c＝3d，故没有0到9的整数a，b，c，d使等式成立，由此类推，当这个数的位数不断增加时，更加无法满足等式，∴当一个欢喜数等于各数位数字之和的4倍时，这个数为：12或24或36或48．18．【分析】（1）根据对称数的概念进行求解即可；（2）分别列举出一位数、两位数、三位数、四位数、五位数的对称数，进一步得出第1100个对称数；（3）先根据K（B）＝8，求出a，b的值，进而求出四位的“对称数”，即可得出结论．【解析】（1）最大的两位对称数是99；最小的三位对称数是101．故答案为：99；101；（2）∵一位数的对称数有9个；两位数的对称数有9个，三位数的对称数个位与百位可取1～9，十位可取0～9，∴有90个；四位数的