人教版八年级数学下册全册同步教案 第17章 勾股定理

17.1勾股定理

第1课时勾股定理及其证明

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.了解勾股定理的发现过程.

2.掌握勾股定理的内容.

3.会用面积法证明勾股定理.

【过程与方法】

经历观察一猜想一归纳一验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程；在观察、猜想、

归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力.

【情感态度与价值观】

通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣：在探究活动中，体验解决

问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.

二、重难点目标

【教学重点】

勾股定理的探究及证明.

【教学难点】

掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】阅读教材P22〜P24的内容，完成下面练习.

(3min反馈】

1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2

=C2.

2.(1)教材P23“探究”，如图，每个方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A、B、

C、A'、B'、C的面积.

解：A的面积=4;B的面积=9;C的面积=52—4X]X(2><3)=13;所以4+8=CA'

=9;B'=25;C'=82-4×∣×(5×3)=34:所以4'+B'=C'.所以直角三角形的两直

角边的平方和等于斜边的平方.

(2)阅读、理解教材P23〜P24“赵爽弦图”证明勾股定理.

解：朱实=/必；黄实=(。一bp；正方形的面积=4朱实+黄实=(a—b)2+56X4=42+

从一2M+246=02+〃.又正方形的面积=c2,所以/+〃=/,即直角三角形两直角边的平方

和等于第三边的平方.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为。、b,斜边长为c,

再作三个边长分别为八6、C的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形.

证明：a1-∖-h2=cz.

图1图2

【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个正方形的边长都是α+b,因此它们的

面积相等.我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理.

【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a+8,.∙.它们的面积相等.又•.♦左边的正

方形面积可表示为a2+b2+^ab×4,右边的正方形面积可表示为c2+^ab×4,a2+b2+^

ab×4=σ+^ab×4,.^.α2÷⅛2=c2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等

关系，从而验证勾股定理.

【例2】已知在Rt4A8C中，ZC=90o,a、。为两直角边，C为斜边.

(1)若”=3,b=4,则c2=,C=；

(2)若α=6,b=8,则c2=,c-；

(3)若c=41,a=9,则%=；

(4)若c=17,b—8,则α=.

【互动探索】(引发学生思考)根据勾股定理求解.

【分析】(l)c2=∕+b2=32+42=25,则c=5.(2)c2=02+⅛2=62+82=1∞,则C=IO.(3)因

为c2=α2÷⅛2,所以6=/1一“2=、412—92=40.(4)因为c1=a1-∖-b1,所以a=y]c2-b2=

√172-82=15.

【答案】⑴255(2)10010(3)40(4)15

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的

两条直角边长分别是〃、h,斜边长为C,那么"2+/=02.2+"=/的常用变形Z)=户工5,

a=y]c1-b2.

活动2巩固练习(学生独学)

1.在AABC中，∕C=90。.若α=5,%=12,则c=H；若c=41,a=9,则b=®.

2.等腰AABC的腰长AB=IOCm,底BC为16cm,则底边上的高为6cm,面积为48cnΛ

3.已知在AABC中，ZC=90o,BC=a,AC=b,AB=c.

(1)若“=1,b—2,求c；

(2)若4=15,c=17,求A

解：(1)根据勾股定理，得/=/+/=12+22=5.∙.z>0,.∙.c=√5.

(2)根据勾股定理，得"=c∙2-a2=U?-152=64.∙.P>0,.∙.b=8.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】在AABC中，AB=20,AC=15,AO为BC边上的高，且AO=12,求aABC

的周长.

【互动探索】应考虑高AD在aABC内和aABC外的两种情形.

【解答】当高A。在AABC内部时，如图1.在RtZvlBO中，由勾股定理，得BD2=A"

-AZ)2=202-122=162,.∙.5O=16.在RtZXACD中，由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=152

-122=81,：.CD=9.：.BC=BD+CD=25,Z∖ABC的周长为25+20+15=60.

当高AQ在AABC外部时，如图2.同理可得，BD=16,CD=9.：.BC=BD—CD=7,：.

△ABC的周长为7+20+15=42.

综上所述，AABC的周长为42或60.

图1图2

【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉

钝角三角形的情况.如在本例题中，易只考虑高AO在AABC内的情形，忽视高AO在AABC

外的情形.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为“、b,斜边长为c,那么*+〃=上

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时勾股定理的应用

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题.

【过程与方法】

经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件.

【情感态度与价值观】

培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情.

二、重难点目标

【教学重点】

勾股定理的简单应用.

【教学难点】

运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】阅读教材P25的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

1.勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.在Z∖ABC中,NC=90°.若BC=6,AB=IO,则AC=&

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，已知在4A3C中，ZACB=90o,AB=5cm,8C=3cm,C£>_LAB于点Q,

求C。的长.

【互动探索】（引发学生思考）观察图形：“多直角三角形嵌套”图形一已知边长，求高

CZ）f利用等面积法求解.

【解答】∙.∙∕∖ABC是直角三角形，NAC8=90。，AB=5cm,SC=3cm,

二由勾股定理，得AC=NAB2-BC2=4cm.

又,.∙SΛABC^ABCD^ACBC,

ACBC4X3

ABy(cm).

【互动总结】（学生总结，老师点评）由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边

的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用.

【例2】如图，侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公

路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m,

你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？

【互动探索】（引发学生思考）要求敌方汽车的速度，需要算出8C的长.在RtaABC中

利用勾股定理即可求得8C.

【解答】由勾股定理，得AB2=8C2+AC2,即50（）2=BC2+40（）2,所以BC=300m.

故敌方汽车10S行驶了300m,

所以它1h行驶的距离为300X6X60=108000（m）,

即敌方汽车的速度为108km/h.

【互动总结】（学生总结，老师点评）用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形

模型，再代入数据求解.

活动2巩固练习（学生独学）

1.等腰三角形的腰长为13cm,底边长为Ioem,则它的面积为（D）

A.30cm2B.130cm2

C.120cm2D.60cm2

2.直角三角形两直角边长分别为5cm、12cm,则斜边上的高为等m.

3.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B200

m,结果他在水中实际游了520m,求该河流的宽度为多少？

解：根据图中数据，运用勾股定理，得48=:AC2—8C2=∙√52()2—勾02=480(m).

即该河流的宽度为480m.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】如图1,长方体的高为3cm,底面是正方形，边长为2cm,现有绳子从D出发,

沿长方体表面到达B'点，问绳子最短是多少厘米？

图1

图2

图3

【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得

到的最短距离即为所求.

【解答】如图2,由题易知，=3cm,B'D'=2X2=4(Cm).在RtZX。。'B'中，

由勾股定理，得B'O2=OO'2+B'D12=32+42=25;

1

如图3,由题易知，BC'=2cm,C'D=2+3=5(cm).在Rt1∆DC'B'中，由勾股

定理，得B'D2=B'C'2+C'r>2≈22+52-29.

因为29>25,

所以第一种情况绳子最短，最短为5cm.

【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直

角三角形中，问题便迎刃而解.

环节3课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

勾股定理的简单运用：（1）由直角三角形的任意两边的长度，可以应用勾股定理求出第三

边的长度.（2）用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时利用勾股定理表示无理教

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法.

【过程与方法】

通过探究用勾股定理表示无理数的过程，锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨

论交流能力和空间想象能力.

【情感态度与价值观】

让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，体会数形结合思想的运用.

二、重难点目标

【教学重点】

探究用勾股定理表示无理数的方法.

【教学难点】

会用勾股定理表示无理数.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】阅读教材P26〜P27的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

I.勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.教材P27,利用勾股定理在数轴上画出表示粗，√2,√3,5，…的点.

3.JW的线段是直角边为正整数工复的直角三角形的斜边.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图所示，数轴上点A所表示的数为m则”的值是（)

A.^∖∣5+1B.一小+1

C.√5-lD.√5

【互动探索】（引发学生思考）先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距

离公式即可求出A点的坐标.

【分析】图中的直角三角形的两直角边为1和2,斜边长为肝转=小，，一1到A

的距离是小，那么点A所表示的数为小一1.故选C.

【答案】C

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答

此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定α的值.

活动2巩固练习（学生独学）

1.小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首

先画出数轴，设原点为点0,在数轴上的2个单位长度的位置找一个点4,然后过点A作AB

LOA,且AB=3.以点。为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P,则点P的位置

在数轴上（C）

A.1和2之间B.2和3之间

C.3和4之间D.4和5之间

2.如图，0尸=1,过P作尸Pl_LoP且PPl=1,根据勾股定理，得OPl=也；再过Pl

作PiP2A.OPi且P↑P2=∖,得。22=√3;又过P2作P2P3∙hOP2且尸2心=1，得。鼻=2；….

依此继续，得OP2<M8=病历，op,,=yi（"为自然数，且〃>0）.

3.利用如图4X4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数道

和-■乖.

解：面积为8平方单位的正方形的边长为乖，乖是直角边长为2,2的两个直角三角形的

斜边长，画图如下：

活动3拓展延伸（学生对学）

【例2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以

格点为顶点分别按下列要求画三角形.

（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数;

（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.

【互动探索】（1）利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；（2）先找出几个能

构成勾股数的无理数，再画出来即可，如画一个边长啦，2√2,√T5的三角形：（3）画一个边

长为®的正方形即可.

【解答】（1）直角三角形的三边分别为3,4,5,如图1.

（2）直角三角形的三边分别为ML2√2,√10,如图2.

（3）画一个边长为√记的正方形，如图3.

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题考查了格点三角形的画法，需仔细分析题意,

结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

利用勾股定理表示无理数.

练习设计

请完成本课时对应练习!

17.2勾股定理的逆定理

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念.

【过程与方法】

经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理.

【情感态度与价值观】

激发学生解决问题的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实

际价值.

二、重难点目标

【教学重点】

掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念.

【教学难点】

利用勾股定理的逆定理解决问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】阅读教材P31〜P33的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.⑴勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为b,斜边为C,那么/+∕=c2.

(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长〃、尻C满足/+〃=/；那么这个三角形

是直南三角形.

2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

3.两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其

中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.一般地,原命题成立时，它的逆命题可能

成立，也可能不成立.

4.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个

定理互为逆定理.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例1】判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形.

oo

(1)在AABC中，ZA=20,ZB=70i

(2)在4A8C中，AC=!,AB=24,BC=25；

(3)Z∖ABC的三边长a、b、C满足(a+b)(a-b)=c2.

【互动探索】(引发学生思考)分别已知三角形的边和角，如何判定一个三角形是直角三

角形呢？

【解答】(1)在4ABC中，VZA=20o,28=70。，

4C=180°-ZA-/8=90°,

即AABC是直角三角形.

(2)AC2+AB2=72+242=625,BC2=252=625,

：.AC2+AB2^BC2.

根据勾股定理的逆定理可知，^ABC是直角三角形.

(3)∙.∙(a+b)(a—Z?)=C2,

.,.a2-h2=c1,

即a2=⅛2+c2.

根据勾股定理的逆定理可知，AABC是直角三角形.

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断直角三角形的常用方法有两种：(1)两锐角互余

的三角形是直角三角形(即有一个角等于90。的三角形是直角三角形);(2)利用勾股定理的逆定

理判断三角形的三边是否满足a2+b2=c1(c为最长边).

【例2】写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，

并说明理由.

【互动探索】(引发学生思考)原命题的题设为等腰三角形，结论为腰上的高相等，然后

交换题设与结论得到其逆命题：可根据三角形面积公式判断此命题的真假.

【解答】命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形

为等腰三角形，此逆命题为真命题.

如图，在44BC中，CDlAB,BELAC,且CZ)=8E.

•：BC=BC,

.∙.ΔCBD^∆BCE(HL),

,/DBC=NECB,

ΛΔABC为等腰三角形.

【互动总结】(学生总结，老师点评)两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的

两个命题叫做互逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.

［例3］某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号“海天”号轮船同时离开港口，

各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它

们离开港口1.5小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”

号沿哪个方向航行吗？

【互动探索】（引发学生思考）根据“路程=速度X时间”分别求得PQ,PR的长，再进

一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解.

【解答】根据题意，得PQ=I6X1.5=24（海里），PR=I2X1.5=18（海里），0R=3O海里.

V242+I82=3O2,

.∖PQ2+PR2=QR2,

：.NQPR=90。.

由“远航”号沿东北方向航行可知，NQPS=45。,

NSPR=45°,

即“海天”号沿西北方向航行.

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理

的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考

常考题型.

活动2巩固练习（学生独学）

1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（C）

A.5,6,7B.10,8,4

C.7,25,24D.9,17,15

2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？

（1）同旁内角相等，两直线平行；

（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等.

解：（1）“同旁内角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角相等，逆命题

不成立.

（2）“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么两个角

是直角，逆命题不成立.

3.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果加表示大于1的整数，a=2m,b=m1-∖,C=

/M2+1,那么“、氏C为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

解：对.因为q2+b2=（2%）2+G,2-］）2=4川