2024年中考数学核心素养专题五 几何图形的的阅读理解【含答案】

2024年中考数学核心素养专题五几何图形的的阅读理解一、选择题1．阅读下列材料，①——④步中数学依据错误的是()如图，直线b∥c，a⊥b，试说明：a⊥c．解：因为a⊥b，根据“垂直的定义”，①所以∠1=90°．因为b∥c，根据“同位角相等，两直线平行”，②所以∠1=∠2，根据“等量代换”，③所以∠2=∠1=90°，根据“垂直的定义”，④所以a⊥c．A．① B．② C．③ D．④2．阅读图中的材料，解答下面的问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为2，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积大约是（）A．12 B．12.4 C．12.56 D．4π3．阅读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，且DE=1证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，…甲、乙两人后续证明的部分思路如下：甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．下列判断正确的是（）A．甲思路正确，乙思路不符合题意B．甲思路错误，乙思路正确C．甲、乙两人思路都正确D．甲、乙两人思路都错误二、填空题4．【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔⋅德⋅费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等．【解决问题】如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=3，求PA+PB+PC的最小值．5．阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方，因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长，例如：在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，由定理得AC2+B请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：已知：如图，∠C=90°，AB∥CD，AB=5，CD=11，AC=8，点E是BD的中点，那么AE的长为．6．阅读下面材料：已知：△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点D；步骤3：连接AD，交CB延长线于点E．下列叙述正确的是．（填写序号）①BE垂直平分线段AD；②AB平分∠EAC；③AC=CD；④S△ABC7．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形.已知：两条线段a、b.求作：菱形AMBN，使得其对角线分别等于b和2a.小军的作法如下：如图(1)画一条线段AB等于b；(2)分别以A、B为圆心，大于12在线段AB的上下各作两条弧，两弧相交于P、Q两点；(3)作直线PQ交AB于O点；(4)以O点为圆心，线段a的长为半径作两条弧，交直线PQ于M、N两点，连接AM、AN、BM、BN.所以四边形AMBN就是所求的菱形.老师说：“小军的作法正确.”该上面尺规作图作出菱形AMBN的依据是8．请阅读下列材料，解答问题：

克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家.在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理.托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB=2，则对角线BD的长为.9．阅读下列材料，并解答以下问题．完成一件事有k类不同的方案，在第一类方案中有m1个不同的方法，在第二类方案中有m2个不同的方法，…，在第k类方案中有mk个不同的方法，那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同方法，这是分类加法计数原理．完成一件事有需要分成k个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，…，做第k步有mk种不同方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mk种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．（1）若完成沿图所示的街道从A点出发向B点行进这件事（规定：必须向北或向东走），会有种不同的走法．（2）若完成沿图所示的街道从A点出发向B点行进，并禁止通过交叉点C这件事（规定：必须向北或向东走），有种不同的走法．10．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意△ABC中，以边BC为例，其它两边是AB和AC，AB和AC的夹角为∠A，根据余弦定理有BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA，类似的可以得到关于AB2和AC2的关系式．已知在△ABC三、实践探究题11．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题∶（1）如图1，∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=BC．猜想DE，AD，BE之间的关系：（2）如图2，将（1）中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=α(90°<α<180°)，AC=BC，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF，∠A=∠EDF=∠B，AE=2，BF=5，请直接写出AB的长．12．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．材料：三角形的内角平分线定理：如图1，在ΔABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，则ABAC下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E．（1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）【直接应用】如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，求线段FC的长；（3）【拓展延伸】如图4，△ABC中，AD平分∠BAC，BC的延长线交△ABC外角角平分线AF于点F．①找出AB、AC、BF、CF这四条线段的比例关系，并证明；②若BD=2，CF=4，求CD的长．13．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=（2）基本运用

请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：

如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF（3）能力提升

如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．14．阅读材料：在数轴上，点A，B分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，则AB=|a−b|．若如图1，若点B在点A的右侧，则AB=|a−b|=b−a，类似的，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(xA，yA如图2，若AB∥x轴，则yA如图3，若AB∥y轴，则xA如图4，例如A(1，2)，请根据以上阅读材料，解决下面的问题：（1）在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），连接AB，请直接写出线段AB的长度及直线AB与x轴的位置关系；（2）如图5，△AOB中，若A，B两点的坐标分别为（2，4），（6，2），求△AOB的面积；（3）如图6，在（2）的条件下，若直线MN经过点C（2，0）且垂直x轴，那么在直线MN上是否存在点P（除A点外），使得△OBP的面积等于△AOB的面积，若存在，请求出P点坐标、若不存在，请说明理由。15．阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图1，在▱ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．如果AFEF＝3，求CDCG的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，那么可以得到△BAF∽△（1）AB和EH之间的数量关系是，CG和EH之间的数量关系是，CDCG的值为（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果ABCD＝2，BCBE=16．学了正多边形后，我们知道可以用直尺和圆规作正方形和正六边形，但作正五边形和正七边形就不那么容易．现向同学们介绍如何用折纸的方法“编”出正多边形．材料：等宽的纸条数根．折法：如图1，将两根等宽的纸条对折，穿插后重叠部分为正方形．如图2，取一根等宽的纸条打个结，拉紧，重叠部分即为正五边形．如图3，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得正六边形．如图4，把图2的纸条再打一个结，拉紧，重叠部分即为正七边形．问题：（1）若要编一个边长为2cm的正方形，则所需纸条的宽度是多少？（2）若要编一个边长为2cm的正六边形，则所需纸条的宽度是多少？（3）把图4的纸条再打一个结，拉紧，能得到正九边形吗？请你试一试，并求出正九边形各内角的度数．17．请阅读下列材料，并完成相应的任务．人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的部分证明过程：证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在AC上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．18．阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b=3，AB=c=2，那么asinA=bsinB=2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着asin这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“asinA=bsinB（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“asinA=bsin19．阅读下列一段文字，回答问题．【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN＝(x例如．如图1，M（3，1），N（1，-2），则MN=(3−1)【直接应用】（1）已知P（2，-3），Q（-1，3），求P、Q两点间的距离；（2）如图2，在平面直角坐标系中的两点A（-1，3），B（4，1），P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值；（3）利用上述两点间的距离公式，求代数式x2+(y−2)20．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①，在等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠APB的度数；为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP图①（2）能力提升如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且图②21．阅读材料，并回答下列问题：如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．（1）请你写出一种全等变换的方法（除翻折、平移外）．；（2）如图2，△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC=3，则DC=；（3）如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE翻折，当点A落在四边形BCED内部变为F时，则∠F和∠BDF+∠CEF之间的数量关系始终保持不变，请你直接写出它们之间的关系式：．22．［材料阅读]用数形结合的方法，可以探究q+q2+例求12方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知12即12方法2：借助函数y=12x+1212+(12)2+(即两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点(1，1所以，12【实践应用】（1）任务一完善23方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知23+方法2：借助函数y=23x+23因为两个函数图象的交点的坐标为，所以，23+（2）任务二参照上面的过程，选择合适的方法，求34（3）任务三用方法2，求q+q2+（4）【迁移拓展】长宽之比为5+1观察图⑤，直接写出(523．【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率(Scop)．如图1，在△XYZ中，XY=XZ，顶角X的张率记作Scop∠X=底边÷腰=YZXY．容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义∠α(0°<∠α<180°)的张率，例如，Scop60°=1，如图2，P是线段AB上的一动点（不与点A，B重合），点C，D分别是线段AP，BP的中点，以AC，CD，DB为边分别在AB的同侧作等边三角形△ACE，△CDF，△DBG，连接PE和PG．（1）【理解应用】①若等边三角形△ACE，△CDF，△DBG的边长分别为a，b，c，则a，b，c，三者之间的关系为；②Scop∠EPG=；（2）【猜想证明】如图3，连接EF，FG，猜想Scop∠EFG的值是多少，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图4，连接EF，EG，若AB=12，EF=27，则△EPG的周长是多少？此时AP四、综合题24．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的发散点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝3r，则称P′为点P关于⊙C的发散点.下图为点P及其关于⊙C的发散点P′的示意图.特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0.根据上述材料，请你解决以下问题：（1）当⊙O的半径为1时，①在点M（3，1），N(32，0），T(22，1）②点P在直线y=−3x+3（2）⊙C的圆心C在x轴上，半径为1，直线y=−33x+3

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】35．【答案】56．【答案】①③7．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（本题答案不唯一）8．【答案】1+9．【答案】35；1710．【答案】311．【答案】（1）DE=AD+BE（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：∵∠ADC=∠CEB=∠ACB，∠BCE+∠ACD=180°−∠ACB，∠ACD+∠CAD=180°−∠ADC，∴∠CAD=∠BCE．在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCE∴△ADC≌△CEB(AAS)．∴AD=CE，DC=BE．∴DE=AD+BE，∴（1）中结论仍然成立；（3）解：712．【答案】（1）证明：∵CE∥DA，∴BDCD=ABEA∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=∠E，∴AE=AC，∴AB即ABAC（2）解：∵AD平分∠BAC，AB=11，AC=15，∴AB∴BD=11∴BC=BD+CD=26∴CD=15∵E是BC的中点，∴CE=1∵EF∥AD，∴CF∴CF=13．（3）解：①AB、AC、BF、CF这四条线段的比例关系：ABAC如图：作CE∥AF交AB于点E，∴ABAE=BFCF∵AF平分∠CAM，∴∠MAF=∠CAF，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC，∴AB②∵AD平分∠BAC，∴AB由①知AB∴BF∵BD=2，CF=4，∴2+CD+4解得CD=−3±17∵CD=−3−17∴CD=−3+1713．【答案】（1）150°（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'，

由旋转的性质得，AE'=AE，CE'=BE，∠CAE'=∠BAE，∠ACE'=∠B，∠EAE'=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠E'AF=∠CAE'+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC−∠EAF=90°−45°=45°，

∴∠EAF=∠E'AF，

在△EAF和△E'AF中，

AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'O'B处，连接OO'，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，

∴AB=2，

∴BC=AB2−AC2=3，

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，

∴△A'O'B如图所示；

∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B，

∴A'B=AB=2，BO=BO'，A'O'=AO，

∴△BOO'14．【答案】（1）解：线段AB的长度为4，AB∥x（2）解：过点A作AE垂直y轴于点E，过点B作BF垂直x轴于点F，直线EA与直线相交与点C，得C（6，4），F（6，0），E（0，4）∴S∴S∴S（3）解：设存在点P(2，a)使得△OBP的面积等于过点P作PH垂直x轴于点H，过点B作BT垂直y轴于点T，过点B作BG垂直x轴于点G，直线HP与直线BG相交于点Q，得M(0，∴S∴10=6×(2−a)−解得a=−∴存在P(2，−83)15．【答案】（1）AB＝3EH；CG＝2EH；3（2）解：如图2，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H．∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴CDEH∴CD＝23∵ABCD∴AB＝2CD＝43∴ABEH＝4∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF．∴AFEF＝ABEH＝16．【答案】（1）解：将两根等宽的纸条对折，穿插后重叠部分为正方形，

∵正方形的边长为2cm，

∴纸条的宽度为2cm.（2）解：由图形可知：边长为2的正六边形是由6个边长为2的等边三角形组成，等边三角形的高等于原来的纸带宽度，

∴原来的纸带宽度=32×2=3，

∴所需纸条的宽度是（3）解：能得到正九边形，理由：设正九边形内角的度数为x，

根据题意得：9x=（9-2）×180°，

解得：x=140°，

∴九边形内角的度数为140°.17．【答案】（1）解：∵AD是⊙O直径，∴∠DEA＝90°．∵AB与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°．∴∠CED＋∠DEA＝∠CAD＋∠DAB，即∠CEA＝∠CAB．∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数；（2）解：如图，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC．∵AF是直径，∴∠ACF＝90°．∴∠CFA＋∠FAC＝90°．∵AB与⊙O相切于点A，∴∠FAB＝90°．∴∠CAB＋∠FAC＝90°．∴∠CAB＝∠CFA，即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．18．【答案】（1）成立（2）解：作CD⊥AB于D．∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=CDb，sinB=CD∴asinA=abCD，bsinB∴asin