2022-2023学年山西省临汾市郑庄中学高二数学理测试题含解析

2022-2023学年山西省临汾市郑庄中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若点P的柱坐标为，则P到直线Oy的距离为（

）A.1 B.2 C. D.参考答案：D【分析】先求出点的直角坐标，再由勾股定理即可求出结果.【详解】因为点的柱坐标为，所以点的直角坐标为，即，因此，到直线的距离为.故选D【点睛】本题主要考查柱坐标系，熟记公式即可，属于常考题型.2.在平面内，，是的斜线，，则点在上的射影在（

）

A．直线上

B．直线上

C．直线上

D．内部

参考答案：C略3.已知△ABC中，a＝4，，∠A＝30°，则∠B等于A.30°

B.30°或150°

C.60°

D.60°或120°参考答案：D已知△ABC中，a＝4，，∠A＝30°，则由正弦定理得，，所以∠B=60°或120°，故选择D.4.等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（） A．3 B．5 C．7 D．9参考答案：A【考点】等差数列的前n项和． 【专题】计算题． 【分析】利用等差数列的求和公式和性质得出，代入已知的值即可． 【解答】解：设数列公差为d，首项为a1， 奇数项共n+1项，其和为S奇===（n+1）an+1=4，① 偶数项共n项，其和为S偶===nan+1=3，② 得，，解得n=3 故选A 【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，熟练记忆并灵活运用求和公式是解题的关键，属基础题． 5.在等差数列中，已知，则该数列前11项和等于（

）（A）58

（B）88

（C）143

（D）176参考答案：B6.用数学归纳法证明“42n﹣1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n=k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（）A．16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1B．4×42k+9×3kC．（42k﹣1+3k+1）+15×42k﹣1+2×3k+1D．3（42k﹣1+3k+1）﹣13×42k﹣1参考答案：A【考点】RG：数学归纳法．【分析】本题考查的数学归纳法的步骤，为了使用已知结论对42k+1+3k+2进行论证，在分解的过程中一定要分析出含42k﹣1+3k+1的情况．【解答】解：假设n=k时命题成立．即：42k﹣1+3k+1被13整除．当n=k+1时，42k+1+3k+2=16×42k﹣1+3×3k+1=16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1．故选：A．【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．7.过点(0，2)且与直线(t为参数)互相垂直的直线方程为()．参考答案：B略8.已知如表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（）x23456y3712a23A.15 B.16 C.17 D.18参考答案：A【分析】根据表中数据求得，代入回归直线可构造方程求得结果.【详解】由表中数据可知：；，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用回归直线方程求解实际数据点的问题，关键是明确回归直线必过.9.设,集合是奇数集,集合是偶数集．若命题,则

（） A． B． C． D．参考答案：A10.如上图程序运行后，输出的结果为

（

）A．7

B．8 C．3,4,5,6,7 D．4,5,6,7,8参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下表是一个容量为60的样本（60名学生的数学考试成绩，成绩为0﹣100的整数）的频率分布表，则表中频率a的值为

．分组0.5～20.520.5～40.540.5～60.560.5～80.580.5～100.5频数3612

频率

a0.3参考答案：0.35【考点】频率分布表．【专题】对应思想；分析法；概率与统计．【分析】根据频率=以及频率和为1，即可求出a的值．【解答】解：根据题意，填写表中数据，如下；成绩在0.5～20.5内的频率是=0.05，成绩在20.5～40.5内的频率是=0.10，成绩在40.5～60.5内的频率是=0.20，∴成绩在60.5～80.5内的频率是1﹣（0.05+0.10+0.20+0.30）=0.35；∴a的值是0.35．故答案为：0.35．【点评】本题考查了频率、频数与样本容量的计算问题，是基础题目．12.已知,,若向区域内随机投一点P,则点P落入区域E的概率为_________.参考答案：13.设（为虚数单位），则z=

；|z|=

.参考答案：-1+i;.14.直线y=x+b与曲线x=有且仅有一个公共点，则b的取值范围是

参考答案：或15.已知，，，则的最小值是

．参考答案：4因为，根据基本不等式：，则，令，不等式转化为：，解得：，即的最小值为4．

16.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是

．参考答案：17.若，则

▲

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1设A（1，t），得，解之得t=（舍负）∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|?|BO|=；（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆的公共点，解之得=r2﹣1设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=?，或x1=?且x2=﹣?，①当x1=x2=?时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；②若x1=?且x2=﹣?，则x1+x2=0，可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．19.抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F；（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程：（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程；抛物线的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）先设出抛物线方程，因为抛物线过点（4，4），所以点（4，4）的坐标满足抛物线方程，就可求出抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点坐标．（2）利用相关点法求PF中点M的轨迹方程，先设出M点的坐标为（x，y），P点坐标为（x0，y0），把P点坐标用M点的坐标表示，再代入P点满足的方程，化简即可得到m点的轨迹方程．【解答】解：（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）（2）设M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中点则x0+1=2x，0+y0=2y

∴x0=2x﹣1，y0=2y∵P是抛物线上一动点，∴y02=4x0∴（2y）2=4（2x﹣1），化简得，y2=2x﹣1．∴M的轨迹方程为y2=2x﹣1．【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程的求法，以及相关点法求轨迹方程，属于解析几何的常规题．20.设数列9，（1）求证：是等比数列；(2)若数列满足,求数列的前项和；参考答案：（1）依题意，，故，当

①又

②②－①整理得：，故是等比数列， （2）由（1）知，且，，

21.(本小题满分12分)已知m、n、p是互不相等的非零实数.证明三个方程mx2+2nx+p=0，nx2+2px+m=0，px2+2mx+n=0至少有一个方程有两个相异实根.

参考答案：解：假设三个方程都无实根或都只有两个相等实根则有

略22.（本题满分14分）解关于