第10讲 抛物线及其性质【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第10讲抛物线及其性质【人教A版2019】·模块一抛物线的定义和标准方程·模块二抛物线的几何性质·模块三课后作业模块一模块一抛物线的定义和标准方程1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)【考点1动点的轨迹问题】【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y到直线x=1的距离比它到定点-2,0的距离小1，则P的轨迹方程为（

A．y2=2x BC．y2=-4x D【解题思路】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.【解答过程】由题意知动点Px,y到直线x=2的距离与定点-2,0由抛物线的定义知，P的轨迹是以-2,0为焦点，x=2为准线的抛物线，所以p=4，轨迹方程为y2故选：D.【例1.2】（2023·全国·高二专题练习）动点Mx,y满足方程5x-12+y-2A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【解题思路】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.【解答过程】由5(x-1)2+等式左边表示点x,y和点1,2的距离，等式的右边表示点x,y到直线3x+4y+12=0的距离，整个等式表示的意义是点x,y到点1,2的距离和到直线3x+4y+12=0的距离相等，且点1,2不在直线3x+4y+12=0上，所以其轨迹为抛物线.故选：D.【变式1.1】（2022·江苏·高二专题练习）已知圆C与过点-1,0且垂直于x轴的直线l仅有1个公共点，且与圆C':x2+A．y2=12x B．y2=6x C．【解题思路】根据外切关系结合抛物线定义，分析得到C的轨迹为抛物线，由此求解出抛物线的方程.【解答过程】由题意得，直线l:x=-1，且圆C'设点C到直线l的距离为r，则点C到l':x=-3与点C到C'故点C的轨迹是以C'为焦点，以l'为准线的抛物线，故方程为故选：A.【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）设圆O:x2+y2=4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到A．x2=8y B．x2=16y C．【解题思路】根据题意分别求得A，B的坐标与切线l，再根据抛物线的定义即可求得动点P的轨迹方程．【解答过程】因为圆O:x2+y2=4与y轴交于A，所以A(0,2)，B(0,-2)，又因为过B作圆O的切线l，所以切线l的方程为y=-2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0,2)，准线为y=所以P的轨迹方程为x2故选：A.【考点2利用抛物线的定义解题】【例2.1】（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）已知点Px0,2在抛物线C：y2=4xA．4 B．3 C．2 D．1【解题思路】根据抛物线方程求出准线方程，再求出点的坐标即可；【解答过程】抛物线y2=4x的准线为将Px0,2代入y故P到准线的距离为2，故选：C．【例2.2】（2023春·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（A．78 B．1516 C．34【解题思路】先将抛物线方程转化为标准形式，得焦点坐标与准线方程，再利用抛物线定义将点M到焦点距离转化为到准线距离，最后转化为点M的纵坐标即可.【解答过程】设M(x由抛物线方程y=4x2化为得焦点F(0,116)由抛物线定义可得MF=y0故选：B.【变式2.1】（2023秋·重庆渝中·高三校考阶段练习）设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B3,0，若AF=A．1 B．2 C．4 D．2【解题思路】求出焦点F的坐标，根据两点间距离公式求得BF，即AF的长度，根据抛物线定义可求得A点坐标，进而可求出面积.【解答过程】由题意得，F1,0，则AF=BF=2，即点A到准线所以点A的横坐标为-1+2=1，所以A1,2由各点坐标易知∠AFB=90°，所以S△ABF故选：B.【变式2.2】（2023春·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为k的直线l交抛物线于A,B两点，若AF=3A．33 B．±33 C．3【解题思路】根据题意，作出抛物线与直线AB的图像，利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线AB的倾斜角，从而可得答案．【解答过程】如图，当点A在第一象限时，过点A,B分别向准线作垂线，垂足为M,N，作BC⊥AM，垂足为C，则BN//AM//x轴，设BF=t(t>0)由抛物线的定义得BN=BF=t,在Rt△ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为kAC=12AB，∠ABC=于是直线l的倾斜角为60∘，斜率k=当点A在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为-3故选：D．【考点3抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3.1】（2023秋·全国·高二期中）已知点1,4在抛物线y=ax2上，则抛物线的焦点坐标为（A．1,0 B．(0,1) C．0,116 D【解题思路】先将点代入求得抛物线方程，再将其转化为标准方程即可得解.【解答过程】因为点1,4在抛物线y=ax2上，所以4=a×1所以抛物线的标准方程是x2则抛物线的焦点坐标为F0,故选：C.【例3.2】（2023秋·重庆铜梁·高二校联考期末）已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点M4,y0为C上一点，若|MF|=2A．x=-2 B．y=-2 C．x=-3 D．y=-3【解题思路】由给定条件求出y0，再借助抛物线定义即可计算作答【解答过程】因点M4,y0在抛物线x2=2py上，则y又|MF|=2y0，于是由y0+p2=2y0所以C的准线方程为y=-2.故选：B.【变式3.1】（2023秋·全国·高三校联考开学考试）过抛物线C:x2=2pyp>0的焦点F的直线l交C于A,B两点，若直线l过点P1,0，且ABA．y=-3 B．y=-2【解题思路】设出直线l的方程，联立抛物线方程，设出A,B坐标，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出方程，求出答案.【解答过程】因为直线l过点F0,p2,P1,0由y=-p2x-1

设Ax1,因为AB=p整理得p3+4p-16=p-2所以抛物线C的准线方程是y=-p故选：D.【变式3.2】（2023·全国·高二假期作业）设O为坐标原点，F为抛物线C：x2=2pyp>0的焦点，直线y=1与抛物线C交于A，B两点，若∠AFB=120°，则抛物线CA．y=-23 BC．y=-13或y=-3【解题思路】根据题意，由条件可得AF=2FM【解答过程】设直线y=1与y轴交点为M，由抛物线的对称性，易知△MFA为直角三角形，且∠AFM=1∴AF=2FM，即1+p2所以抛物线的准线方程为y=-13或故选：C.【考点4抛物线的标准方程的求解】【例4.1】（2023·全国·高二专题练习）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（

）A．y2=8x B．y2=-8x C．y2=8x或y2【解题思路】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.【解答过程】依题意设抛物线方程为y2因为焦点到准线的距离为4，所以p=4，所以2p=8，所以抛物线方程为y2=8x或故选：C．【例4.2】（2023·全国·高二假期作业）点M(5,3)到抛物线x2=ay的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（A．x2=112yC．x2=12y或x2【解题思路】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数a的值.【解答过程】当a>0时，抛物线开口向上，准线方程y=-a点M(5,3)到准线的距离为3+a4=6所以抛物线方程为x2当a<0时，抛物线开口向下，准线方程y=-点M(5,3)到准线的距离为3+a4=6，解得a=-36所以抛物线方程为x2所以抛物线的方程为x2=12y或故选：C.【变式4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l于D.若AF=2,∠DAF=60∘A．y2=8x BC．y2=2x D【解题思路】根据抛物线的定义求得DF=2，然后在直角三角形中利用∠DAF=60°可求得p=2【解答过程】如图，连接DF，设准线与x轴交点为M

抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为Fp又抛物线的定义可得AF=AD，又∠DAF=60所以DF=AF所以在Rt△DFM中，DF=2MF=2p=2，则p=1，所以抛物线故选：C.【变式4.2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点T在C上，且FT=52，若点M的坐标为0,1，且MF⊥MTA．y2=2x或y2=8x BC．y2=2x或y2=4x D【解题思路】设T为x0,y0，得到MT=x0,y0-1，MF=【解答过程】设T为x0,y又由Fp2,0因为MF⊥MT，所以MF⋅MT=0由y02=2px0，联立方程组，消去x0，可得又由FT=x0+p2=52所以C的方程为y2=2x或故选：A．【考点5根据抛物线的方程求参数】【例5.1】（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：y2=2px（p>0）上一点，PF=2，∠PFO=π3A．1 B．32 C．2 D．【解题思路】利用抛物线定义和题给条件列出关于p的方程，解之即可求得p的值.【解答过程】设抛物线C的准线与x轴交于点Q，过点P作准线的垂线交准线于G，过F作FH⊥PG，垂足为H，∴FQ=p，PG∥OF∵∠PFO=π3，∴∠FPH=π∴cos∠FPH=PHPF故选：D．【例5.2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，且F与圆M:(x+4)2+yA．5 B．4 C．3 D．2【解题思路】由抛物线方程得焦点坐标，由几何关系求解【解答过程】由题意知Fp2,0，点F与圆M上的点之间的最小距离为p故选：D.【变式5.1】（2022·全国·高二专题练习）已知点Am,2为抛物线C:y2=2pxp>0上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若△AOB（O为坐标原点）的面积为2A．12 B．1 C．2 D．【解题思路】根据点Am,2为抛物线C:y2=2px【解答过程】由题意点Am,2为抛物线C:y2即m=2p，则△AOB的面积解得p=2，故选：C.【变式5.2】（2022·陕西西安·统考三模）已知抛物线x2=2pyp>0上一点Ax0,3，F为其焦点，直线AF交抛物线的准线于点B.且线段AB的中点为A．±3 B．±22 C．±33 D【解题思路】设点Bx1,-p2，利用中点坐标公式求出p的值，可得出抛物线的方程，再将点【解答过程】抛物线x2=2pyp>0的焦点为F设点Bx1,-p2所以抛物线的方程为x2=4y，所以，x0故选：D.模块二模块二抛物线的几何性质1．抛物线的几何性质抛物线的简单几何性质：标准

方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形顶点(0,0)(0,0)轴对称轴y=0对称轴x=0焦点准线离心率e=1e=1开口开口向右开口向左开口向上开口向下焦半径范围x≥0x≤0y≥0y≤02．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.3．与抛物线有关的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.【考点6抛物线的对称性的应用】【例6.1】（2022·全国·高三专题练习）已知点A的坐标为(0,2)，点P是抛物线y=4x2上的点，则使得△OPA是等腰三角形的点P的个数是（A．2 B．4 C．6 D．8【解题思路】根据等腰三角形的腰长不明确，分①PA=PO；②PO=AO；③PA=AO；三种情况进行讨论求解．【解答过程】PA=PO，则P为OA垂直平分线(y=1)与抛物线的交点，下图中的P1、PPO=AO，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，下图中的P3、PPA=AO，则P为以A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，下图中的P5、P

故选：C.【例6.2】（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）焦点为F的抛物线y2=2pxp>0上有一点P2,2p，O为坐标原点，则满足MP=A．12,32 B．14,【解题思路】将点P的坐标代入抛物线中，解得p=1，从而得到点P和点M的坐标，要满足MP=MO=MF，则只需点M为【解答过程】将点P的坐标代入抛物线中得2p2=2p×2，解得则P2,2，所以OP的斜率为1，且OP的中点为1,1则OP的垂直平分线方程为y-1=-x-1，即x+y-2=0又OF的垂直平分线方程为x=1又MP=MO=MF，则点M为所以点M的坐标为14故选：B．【变式6.1】（2023秋·北京·高三统考开学考试）抛物线W:y2=2px的焦点为F．点F关于原点O的对称点为A．若以F为圆心的圆经过点A且与W的两个交点为B，CA．△BOC一定是钝角三角形 B．△BOC可能是锐角三角形C．△ABC一定是钝角三角形 D．△ABC可能是锐角三角形【解题思路】联立圆和抛物线线方程求出B,C坐标，再利用二倍角的正切公式即可判断AB，利用等腰直角三角形性质即可判断CD.【解答过程】根据对称性，不妨设p>0，B位于第一象限，C位于第四象限，由题意得Fp2,0则圆的方程为x-p22解得x=p2y=p或x=p2则有xB=xF，则则根据对称性有tan∠BOC=2又因为∠BOC∈0,π，所以∠BOF∈π2,π，所以又因为AF=BF=p，且AF⊥BF，所以三角形ABF为等腰直角三角形，则∠BAF=π4，则根据对称性知∠BAC=π2，则三角形故选：A.【变式6.2】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，且点A到准线l的距离为6，AF的垂直平分线与准线l交于点N，点O为坐标原点，则△OFNA．932 B．934 C．【解题思路】解法一：先根据焦半径公式求出A的坐标，再求出AF的垂直平分线的方程，从而可求N的坐标，故可求△OFN的面积.解法二：先根据焦半径公式求出A的坐标，过点A作l的垂线，垂足为B，利用抛物线的定义可得B,N重合，从而可求△OFN的面积.【解答过程】解法一：抛物线C：y2=6x的焦点为F32,0设A(m,n)，由点A到准线l的距离为6，得m+32=6代入抛物线的方程得n2=6×9由抛物线的对称性，不妨设A92,33，则直线又A,F的中点坐标为3,332，故AF令x=-32，得y=33所以△OFN的面积为12故选：B.解法二：抛物线C：y2=6x的焦点为F32,0设A(m,n)，由A到准线l的距离为6，得m+32=6代入抛物线的方程得n2=6×9由抛物线的对称性，不妨设A92,33，则直线所以∠AFx=60°．过点A作l的垂线，垂足为B，则B-32则∠FAB=∠AFx=60°，而AF=AB，所以△FAB是等边三角形，于是边AF的垂直平分线过点B，即点B与点N重合，所以△OFN的面积为故选：B.【考点7与抛物线有关的最值问题】【例7.1】（2023·全国·高二假期作业）点M为抛物线y2=8x上任意一点，点N为圆x2+y2-4x+3=0上任意一点，PA．2 B．2 C．3 D．2+【解题思路】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，结合抛物线定义以及共线性质分析得出最值.【解答过程】如图所示：由y2=8x知，抛物线焦点由x2+y即为以2,0为圆心，1为半径的圆，又ax-y-a-1=0，得y=ax-1-1，恒过定点过点M作ME垂直于抛物线的准线：x=-2交于点E，连接PE，则MP+当P,M,E三点共线时，PE最小,此时为3，所以MP+MN的最小值为：故选：A.【例7.2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点坐标为F1,0，则抛物线上的动点P到点M3p,0A．2 B．4 C．25 D．【解题思路】根据题意得抛物线的标准方程为：y2=4x，进而设Px0,【解答过程】解：由题意，抛物线的标准方程为：y2设抛物线上的动点P的坐标为Px0由M6,0，所以由x0所以MP2即动点P到点M3p,0的距离MP的最小值为2故选：C.【变式7.1】（2022秋·山东淄博·高二统考期末）已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为(-4,3)，则△PMF周长的最小值是（

）A．5+15 B．5+17 C．9 D【解题思路】△PMF的周长最小，即求PM+PF最小，过P做抛物线准线的垂线，垂足为D,转化为求PM【解答过程】如图：由已知F0，2，准线方程y=-2作PD⊥准线于D，MD'⊥所以MF=由抛物线定义知PM+PF=故△PMF周长的最小值是5+17故选：B.【变式7.2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C1:y2=12x，圆C2:(x-3)2+y2=1．若点PA．32 B．22 C．12【解题思路】圆心C2(3,0)是抛物线的焦点，设P(x,y)，因此|PQ|≤P【解答过程】易知C2即为抛物线C1的焦点，即C2(3,0)，设∴|PM|当x>0时，上式≥1-42即P(4,±43)故选：A．模块三模块三课后作业1．（2023·全国·高二假期作业）若动点Mx,y到点F4,0的距离等于它到直线x+4=0的距离，则M点的轨迹方程是（A．x+4=0 B．x-4=0C．y2=8x D【解题思路】根据抛物线的定义求得正确答案.【解答过程】依题意，动点Mx,y到点F4,0的距离等于它到直线所以M的轨迹为抛物线，p2所以M点的轨迹方程为y2故选：D.2．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若OM=5，FMA．2 B．4C．2或32 D．2或【解题思路】由抛物线的定义设M点坐标，由题意列方程求解【解答过程】依题意，设Mx0,OM2=x02故选：D.3．（2023春·安徽宣城·高二统考期末）已知椭圆A:x24+yA．椭圆A的焦距是2B．椭圆A的离心率是1C．抛物线B的准线方程是xD．抛物线B的焦点到其准线的距离是4【解题思路】根据椭圆方程，求得a2,【解答过程】c2=a2-b2=4-3=1，所以椭圆抛物线的焦点坐标为1,0，所以准线方程为x=-1，焦点到准线的距离d=1--1=2，故C正确，D故选：D.4．（2023·全国·高二专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线y=ax2的一部分，其焦点坐标为0,-2．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（A．18米 B．21米 C．24米 D．27米【解题思路】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出a的值，即可得到抛物线方程，再令y=-18.2求出x的估值，从而得解.【解答过程】依题意知，抛物线y=ax2，即因为抛物线的焦点坐标为0,-2，所以14a=-2，所以所以抛物线方程为y=-1令y=-18.2，则x2=145.6≈144，解得所以校门位于地面宽度最大约为24米.故选：C.5．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线E:x2=4y，圆C:x2+y-32=1，P为EA．5 B．22-1 C．22 D【解题思路】先利用配方法求得P到圆心C的最小距离，从而求得P到Q的最小距离.【解答过程】由题意知C(0,3)，r=1，设Px0,所以PC=

故当y0=1时，所以PQmin故选：B.6．（2023·天津滨海新·天津市校考模拟预测）设双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．以F1F2为直径的圆与双曲线的右支交于A．y2=122x B．y2=12x【解题思路】设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N，圆心为M，则MN⊥PF1，因此Rt△PF1F2∽Rt△N【解答过程】依题意知PF1⊥PF2，设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N设双曲线的焦距为2c，则c2PF由勾股定理可得PF于是42c3又因为双曲线C与抛物线y2=2px有共同的右焦点则p2=32即抛物线方程为y故选:A.7．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）若F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，P是抛物线C上任意一点，PF的最小值为1，且A,B是抛物线C上两点，AF+BF=6，则线段A．4 B．3 C．2 D．5【解题思路】利用抛物线定义与性质计算即可.【解答过程】由条件可得Fp2,0则PF2=x故p=2，C:y设Ax1,y1,Bx由抛物线的定义可知AF+BF=故选：C.8．（2023秋·贵州贵阳·高三校考期末）已知点A是抛物线y2=2pxp>0上的一点，若以抛物线的焦点F为圆心，以FA为半径的圆交抛物线的准线于B，C两点，BF=BC，当△ABC的面积为32A．2 B．22 C．4 D．【解题思路】依题意可得△BFC为等边三角形，则用p可表示出BC,FA，利用三角形面积公式，结合抛物线定义可构造方程求得p【解答过程】依题意BF=CF=设准线与x轴交点为D，则FD=p，∴则圆的半径FA=∴S△ABC=1故选：C.9．（2023·全国·高二专题练习）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A2,4关于P的对称点为B，记P到直线x=-1,x=-3的距离分别d1，d2A．217+2 BC．17+2 D．【解题思路】根据题意得到d1+【解答过程】解：如图，

因为d2=d1+2，且A2,4关于P的对称点为B，所以|PA所以d1+≥2AF+2当P在线段AF上时，d1+d故选：A.10．（2023秋·山西运城·高二校考期末）已知曲线C的抛物线y2=2x及抛物线y2=-2x组成，A1,2，B-1,2，M,N是曲线C上关于y轴对称的两点（A,B,M,N四点不共线，且点A．2+17 B．1+17 C．3 D【解题思路】根据A1,2，B-1,2，M,N是曲线C上关于y轴对称的两点，结合抛物线的对称性建立四边形ABNM周长模型l=AB+2【解答过程】设抛物线y2=2x的焦点为则四边形ABNM的周长:l=AB当A,M,F共线时取等号，故选：B.11．（2023·江苏·高二假期作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程：(1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在x轴的正半轴上；(2)抛物线的焦点是F-3,0【解题思路】（1）首先设出抛物线的标准形式，再根据题意确定p的值，即可求解；（2）根据焦点坐标设出抛物线的标准方程的形式，并确定p的值，即可求解.【解答过程】（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有y2=2pxp>0因此所求标准方程为y2=6x，准线方程为（2）因为抛物线的焦点坐标是F-3,0，所以抛物线的标准方程具有y而且p2=3因此p=6，从而所求抛物线的标准方程是y212．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=-2的距离，(1)求点P的轨迹方程;(2)若A(2,2)，求△PAF周长的最小值.【解题思路】（1）利用抛物线的定义得解；（2）根据抛物线的定义可将问题转化成PA+P【解答过程】（1）由题意知动点P到F(2,0)的距离与它到直线x=-2的距离相等，所以动点P的轨迹为以F(2,0)为焦点、以直线x=-2为准线的抛物线，因此动点P的轨迹方程为y2（2）由题意知，焦点为F2,0,FA当PA+PF的值最小时，△PAF设点P在抛物线的准线上的射影为N'，根据抛物线的定义，可知PN因此PA+PF的最小值即PA根据平面几何的知识可得，当N'，P，A三点共线时，即可A与抛物线交于M',此时N，此时PA+所以△PAF周长的最小值为2+4=6.13．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．(1)问船只能否顺利通过该桥？(2)已知每增加一层货箱，船体连货物高度整体上升4cm；每减少一层货箱，船体连货物高度整体下降4cm．且货物顶部与桥壁在竖直方向需留2cm间隙方可通过，问船只最多增加或减