甘肃省靖远一中高三9月月考理数试卷

此卷只装订不密封班级姓名准考证号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号高三理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数为奇函数，且当时，，则（）A． B．0 C．1 D．22．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（）的数据一览表．月份12345678910最高温59911172427303121最低温171719232510已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（）A．最低温与最高位为正相关B．每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加C．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大3．已知（为虚数单位），则复数（）A． B． C． D．4．等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（）A．7 B．8 C．15 D．165．已知集合，，则（）A． B． C． D．6．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．5 B．6 C．7 D．87．三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（）A． B． C． D．8．已知，，与的夹角为，则（）A．2 B．3 C．4 D．59．平面直角坐标系中，动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，则点的轨迹方程是（）A． B． C． D．10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C． D．11．已知椭圆：，点，，分别为椭圆的左顶点、上顶点、左焦点，若，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．12．已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如左下图所示．其中，，．现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）．若，分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题不正确的是（）A．在线段上存在一定点，使得的长度是定值B．点在某个球面上运动C．对于任意位置，二面角始终大于二面角D．存在某个位置，使得直线与所成角为二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设，满足约束条件，则的取值范围为__________．14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．15．在数列中，，，且．记，，则__________．16．如图，在中，，点在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且．（1）证明：；（2）若，求．18．（12分）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．（1）证明平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（1）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（2）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（3）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？20．（12分）已知中心在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率为，焦距为，，是椭圆上两点．（1）若直线与以原点为圆心的圆相切，且，求此圆的方程；（2）动点满足：，直线与的斜率的乘积为，求动点的轨迹方程．21．（12分）设函数，，其中．（1）求的单调区间；（2）若存在极值点，且，其中，求证：；（3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修44：坐标系与参数方程】以直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点．（1）求点的轨迹的直角坐标方程；（2）直线与曲线相交于，两点，若，求实数的取值范围．23．（10分）【选修45：不等式选讲】已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围．高三理科数学答案一、选择题．1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】A12．【答案】D二、填空题．13．【答案】14．【答案】15．【答案】316．【答案】三、解答题．17．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）根据正弦定理，可设，则，，．代入中，有，变形可得．在中，由，有，所以．（2）由已知，，根据余弦定理，有．所以．由（1），，所以，故．18．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）由已知得．取的中点，连接，，由为中点知，．又，故，四边形为平行四边形，于是．因为平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连结．由得，从而，且．以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知，，，，，，，．设为平面的一个法向量，则，即可取，于是．19．【答案】（1）；（2）见解析；（3）400元．【解析】（1）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是．……2分（2）设表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则，所以．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖．……………7分（3）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则．于是，恰好次中奖的概率为，．从而，，当时，；当时，，则最大．所以，最有可能获得的现金奖励为元．于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．………………12分20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设椭圆方程为，由已知，得，∴椭圆方程为．①当直线的斜率存在时，设直线为，，，代入椭圆方程得．∴，．∵，∴，即，即．∵与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径，则，∴圆的方程为．②当直线的斜率存在时，易知方程为满足上述方程．综上，所求圆的方程为．（2）设，，，由得又直线，的斜率积为，∴，即．∵，在椭圆上，∴，联立得消去，，，，得．当斜率不存在时，即，得，，．此时，同理斜率不存在时，，∴点的轨迹方程为．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）解：由，可得，下面分两种情况讨论：①当时，有恒成立，所以的单调递增区间为．②当时，令，解得或．当变化时，，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且．由题意，得，即，进而，又，且，由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以．（3）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：（1）当时，，由（1）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此所以．（2）当时，，由（1）和（2）知，，所以在区间上的取值范围为，因此．（3）当时，，由（1）和（2）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此，．综上所述，当时，在区间上的最大值不小于．22．【