复数（重点）-2023年高考数学一轮复习（新高考地区）（解析版）

考向05复数

【2022年新高考全国I卷】若i(l-z)=l,则z+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法可求z,从而可求z+N.

【详解】

由题设有］-z=:=∕=T,故z=l+i,故z+2=(l+i)+(lT)=2,

故选：D

【2022年新高考全国H卷】(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【详解】

(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

1.求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=α+Z√(α,bcR),则该复数的实部为4,

虚部为江

2.求一个复数的共规复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复

数的共加复数.

3.复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z=α+Z>i（4乃GR）OZ（α,份=OZ=（α,b）∙

4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时

可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

5.复数的加减法：在进行复数加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则（实部与实部相加减，虚部与

虚部相加减）计算即可.

6.复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看

作另一类同类项，分别合并即可.

7.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共舸复数，解题中要注意把i的舞写成最简形式.

常用

常用结论：

⑴(l±i)2=±2i,g=i，F=-i

1-z1+z

(2)-b+ai=i(a+bi).

(3)z4n=1,z4"+,1=1,z4,,+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*)；Z4n+Z4n+l+i4n+2+i4n+3=θ(n∈N*)

(4)z∙z=∖z∖2=∖z∖-,∣z,∙z∣=∣z∣∙∣z∣,—znzr

212⅛∣H

L复数的有关概念

（1）复数的概念:

形如α+仪∙（α力e∕?）的数叫复数，其中匕分别是它的实部和虚部.若力=O,则α+初为实数；若b≠0,

则α+4为虚数；若α=0且则“+初为纯虚数.

(2)复数相等：Q+沅=C+di=α=c且"c,dwR).

(3)共辄复数：a+bi与c+di共筑oa=c,b=-d(a,b,c,d£R).

(4)复数的模：

向量OZ的模叫做复数z=α+0i(α,b∈R)的模，记作IZl或∣α+0i∣,^∖z∖^a+bi∖=y∣a2+b2.

2.复数的几何意义

一一对应

(1)复数z=。+万<------>复平面内的点Zg,b)(a,beR).

一一对应

(2)复数z=α+次.(a,∕2∈R)----------＞平面向量OZ.

3.复数的运算

设z1-aΛ-bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),贝IJ

(1)加法：z1+z2=(α+bi)+(c+di)=(¢1+c)+(⅛+d)i；

(2)减法：z1-z2=(tz+W)-(c+t∕O=(tz-c)+(Z?-J)Z；

(3)乘法：z1∙z2=(6/+bi)∙(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

/、0人JZla+bi(a+bi)(c-di)ac+hdbc-aa

(4)除法：一L=---=--------------=-----r+~;------;

Z2c+di(c+di)(c-di)c~+d~c~+d~

2-i

1.(2022•全国•模拟预测)φ-)=()

A13.13.

A.---------1oB.-------1

2222

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用复数的四则运算求解即可.

【详解】

2-i2-i(2-i)(l-i)l-3il3.

i(l-i)-7+Γ一(l+i)(l-i)-^τΓ-2^21'

故选：B.

2.(2022•全国•模拟预测)若复数Z满足(2+i)z=∣G-,(i为虚数单位)，则在复平面内Z所对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的模长与乘法除法运算求解可得z=£-'i,再根据复数的几何意义分析即可

【详解】

因为(2+i)z=监-i3∣,即(2+i)z=∣G+i∣,故Z=Y=2(：二I)H,所以在复平面内Z所对应的

T

11112+1(2+ι)(2-ι)55

点为(土-|),位于第四象限,

故选：D.

3.(2022•青海•模拟预测(理))若合=2y(x,yeR,i为虚数单位)，则复数x+yi在复平面内所对应

的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用复数乘法结合复数相等求出X,y即可求解作答.

【详解】

因字3∙=2y,则有x-2i=2y+2yi,而x,ywR,有卜二?，解得x=-2,y=-l,

1+1[-2=2y

所以复数X+M在复平面内所对应的点(-2,-1)位于第三象限.

故选：C

4.(2022•广东茂名•二模)已知复数Z在复平面内对应的点为(1,1),5是Z的共辄复数，则3=()

【答案】B

【解析】

【分析】

求出2,再由复数的除法运算可得答案.

【详解】

V复数Z在复平面内对应的点为(U),

∙>∙z=1+i»z=1-i,

—1=-----1--+--i------=-l-+---i=—14—1ɪ.

Z(l-i)(l+i)222,

故选：B.

5.(2022.江苏无锡.模拟预测)已知复数Z满足('i)i=4+3i,则IZl=()

A.2√5B.3C.2√3D.3√2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算求出W，再利用共施复数及模的意义求解作答.

【详解】

依题意，z-i=-,则有z='A/+i=3-4i+i=3-3i,于是得z=3+3i,

1ɪ-(-ɪ)

所以IZl=ʌ/ɜ2+32=3∖∣2.

故选：D

I.(2022•山东聊城•三模)若复数Z满足z+3i=W,则复数Z的虚部为()

【答案】B

【解析】

【分析】

设z=α+历(α,6wR),利用共施复数的定义、复数的加法以及复数相等可求得b的方程，解出匕的值，即可

得解.

【详解】

设z=α+bi(α,6eR),则［=a-6i,

因为z+3i=1则α+(6+3)i=α-万，所以，b+3=-b,解得b=-j

3

因此，复数Z的虚部为

故选：B.

2.(2022.江苏.扬中市第二高级中学模拟预测)若i为虚数单位，复数Z满足l≤∣z+l+i∣≤√L则∣zTT∣的

最大值为.

【答案】3√2

【解析】

【分析】

利用复数的几何意义知复数Z对应的点Z到点C(T-I)的距离d满足ι≤d≤√L|z-1-i∣表示复数Z对应的

点Z到点P(Ll)的距离，数形结合可求得结果.

【详解】

复数Z满足14∣z+l+i∣≤JLβpi≤∣z-(-l-i)∣≤√2

即复数Z对应的点Z到点C(-h-1)的距离d满足1≤4≤&

设P(U),∣z-l-i∣表示复数Z对应的点Z到点P(Ll)的距离

数形结合可知IZ-ITl的最大值IAPHCPI+√2=√22+22+应=3√2

故答案为：3后

O4

3.（2022•上海♦模拟预测）若1-6（i是虚数单位）是关于X的实系数方程f+∕7χ+c=0的一个复数根，则

【答案】L##0.0625

16

【解析】

【分析】

由题知I-Gi与其共规复数1+石i均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案.

【详解】

；实系数一元二次方程V+bx+c=0的一个虚根为1-行，

•••其共挽复数1+后也是方程的根.

(l-√3i)+(l+√3i)=

由根与系数的关系知，

(l-√3i)(l+√3i)=c

/?=—2,c=4.

16

故答案为：ɪ

Io

4.（2022∙天津,静海一中模拟预测）已知复数Z满足z（l+i）=3-4i（其中i为虚数单位），则IR=

【答案】殛

2

【解析】

【分析】

根据复数的乘除运算法则，化简得z,进而根据共视复数得到I,根据模长公式即可求解.

【详解】

由z（l+i）=3-4i得Z="=MM==所以W=-<+<i.故

1+i222222

故答案为:逑

2

5.(2022.全国.模拟预测)请写出一个同时满足①卜-24巾-2|：②∣zf=2的复数z,Z=.

【答案】±(l+i)

【解析】

【分析】

设z=4+历，a,⅛∈R.根据模长公式得出4=b=±l,进而得出z.

【详解】

设z="+bi,a,beR,由条件①可以得到荷花了=J(a-2f+B,两边平方化简可得α=力，故

∣z∣2=2=>«2+⅛2=2=>a=⅛=±1,z=±(l+i)；

故答案为：±(l+i)

6.(2022.全国.模拟预测)若复数Z满足z∙(l+2i)=6i,WJz=()

126.c126.C126.

Aλ.—+—1B.-------ɪC.-----+—1D.上上

55555555

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据题意计算出复数z,然后根据共轨复数的概念即可得到答案

【详解】

6i6i(l-2i)12+6il26.

因为Z=+1

l+2i(l÷2i)(l-2i)^5^T5

--126.

所rr以rZ=M-I1.

故选：B

7.(2022・福建•三明一中模拟预测)已知i是虚数单位，若；^=α+6i(aSeR),则a-力的值是()

l÷ι

A.—1B.—C.~∙D.1

32

【答案】D

【解析】

【分析】

1—ɪ

根据复数的运算法则，得到市r结合复数相等的条件，求得9的值，即可求解.

1-i(l-i)(l-i)

由复数的运算法则，可得丁一二1.I.∣=T,

1+1(l÷ι)(l-ι)

因为^--=6z+⅛i(β,⅛∈7?),即α=O,b=T,所以〃-6=1.

l+i

故选：D.

8.（2022•河南省杞县高中模拟预测（理））已知复数Z满足（l+2i）z-l-i=0,则Z的虚部为（)

3

D.

5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算法则求解即可.

【详解】

由题意知Z=焉(l+i)(l-2i)3-i=31.

(l+2i)(l-2i)-^--5^51

所以Z的虚部为

故选C.

9.（2022•河南安阳•模拟预测（理））设z=x+Y（xeZ,yeZ）,则满足z。≤1的复数Z的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的运算可得，χ2+y2≤∖,即可求出满足题意的解的个数.

【详解】

因为zS≤l,所以V+y2≤ι,而χeZ,yeZ,所以当X=T时，y=0；当X=O时，＞=1或y=-1或y=O；

当X=I时，y=o,即满足zGwι的复数Z的个数为5.

故选：D.

10.（2022•浙江绍兴•模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到

分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i2=T,17世

纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用a+砥GOeR）表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”.若

复数Z满足方程Z2+2Z+5=0,则Z=（）

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2+i

【答案】C

【解析】

【分析】

设出复数Z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.

【详解】

2

设z=α+历（α,b∈R）,0z+2z+5=O.则（α+历y+2（α+bi）+5=0,

cr-⅛2+2α+5=0a=-i

β[J(a2-b2+2<a+5)+2⅛(α+l)i=0,ff∏a,⅛∈R,则,解得

2b(α+l)=0b=±2'

所以z=—l±2i.

故选：C

-ɪ.则复数Z=()

11.（2022•河南•开封市东信学校模拟预测（理））复数Z满足i2022z=

4-31

A.3+当43.43.n43∙

dB.——ɪC.-------I--I

55555555

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出i2≡=T,再由复数运算求出Z即可.

【详解】

则一出+。_/+当

⅛i2=-Ij4=I可得i2022=严8+2;2Z=3

(4-3i)(4+3i)5555

故选：D.

12.（多选题）（2022•江苏南京•模拟预测）任何一个复数z=α+6i（其中b∈R,i为虚数单位）都可以

表示成：z=r（cos8+isin6）的形式，通常称之为复数Z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

rtn

z=[r(cos0+rsin^)J=r(cosnθ÷zsinnθ)(n∈Ni),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列

说法正确的是()

A-∣z2∣=M2

JT

B.当厂=1,§时，z3=1

C.当r=l,O=W时，Z=I--I

322

D.当〃=1,£时，若〃为偶数，则复数Z"为纯虚数

4

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算

出复数可判断C选项的正误；计算出z3可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项,z=r(cos0+isinJ),则z?=r2(cos26+isin2e),可得团=H(COS26+isin26)∣=/,

∣z∣2=Ir(COSj+Isin=r2,A选项正确;

对于B选项，当厂=1,6=(时，z'=(cos6+isiney=cos3e+isin30=CoSiT+isinτr=-l,B选项错误；

对于C选项，当「=1,时，Z=CoS工+isin工='+且i,则Z=L-立i,C选项正确；

3332222

对于D选项，z"=(cose+isind)”=cosnθ+zsinnθ=cos+zsin,

取〃=4,则〃为偶数，则24=8$万+得m乃=-1不是纯虚数，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共辗复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

13.(2022•上海•位育中学模拟预测)如果复数Z满足∣z+i∣+∣z-i∣=2,那么∣z+4+2i∣的最大值是.

【答案】5

【解析】

【分析】

设z=x+M,χ,y≡R,根据题干条件得到X=O,-l≤y≤l,化筒得至U∣z+4+2i∣=J16+(y+2)),根据

-l≤y≤l求出最大值.

【详解】

设Z=X+w,x,yeR,则GTGTɪ7+=2，

22

变形为Jχ2+(y+ι)2=2-λ∕χ+(>-l),两边平方后得到1_y=#+)7)2,

22

两边平方后得到X=O，将X=O代入λ∕x+(y+l)++&—if=2,

即∣y+ι∣+∣y-ι∣=2,故τ≤y≤ι,

222

则Iz+4+2i∣=λ∕(x+4)+(y+2)=λ∕16+(y+2),

当y=l时，∣z+4+2i∣=J16+(y+2)2取得最大值,最大值为5

故答案为：5

—r-------—≡ii≡x

［真题练）

1.（2022•北京•高考真题）若复数Z满足i∙z=3-4i,则同=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.

【详解】

由题意有Z=ɪpɪ=（3；；MT）=-4—3i,故IZI=JT+（-3）2=5.

故选：B.

2.（2022.浙江•高考真题）己知α,b∈R,α+3i=S+i）i（i为虚数单位）,则（）

A.a=],b=-3B.a=-i,b=3C.a=-},b=-3D.a=},b=3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数相等的条件可求

【详解】

α+3i=-l+bi,而α,b为实数，故α=-l,b=3,

故选：B.

3.(2022•全国•高考真题(理))若z=-l+6i,则一"7=()

乌

A.-l+√3iB.-l-√3iC.-ɪ+-iD.

3333

【答案】C

【解析】

【分析】

由共扼复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】

z=-l-√3i,zz=(-l+√3i)(-l-√3i)=l+3=4.

Z-l+√3i1内.

—________________—____1_[

zz-l^3-33

故选：C

4.(2022•全国•高考真题(理))已知z=l-2i,MZ+ΛZ+⅛=0,其中小6为实数，则()

A.a=},b=-2B.a=-∖,b=2C.a=∖,b=2D.a=-∖,b=-2

【答案】A

【解析】

【分析】

先算出z,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】

Z=1+2i

z+应+b=1—2i+α(l+2i)+b=(1+α+b)+(2α-2)i

l+α+⅛=Oa-1

由Iz+dz+/?=0,得,即

2a-2=0b=-2

故选:A

5.(2022・全国•高考真题(文))若z=l+i∙则∣iz+3ΞJ=()

A.4√5B.4√2C.2√5D.2√2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的运算法则，共桅复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.

【详解】

因为z=l+i,所以iz+3N=i(l+i)+3(l-i)=2-2i,所以∣iz+3司=J?TZ=20.

故选：D.

6.(2022・全国•高考真题(文))设(l+2i)α+b=2i,其中。力为实数,则()

A.a=l,⅛=-lB.a=∖,b=∖C.a=~∖,b-∖D.a=-∖,b=-∖

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.

【详解】

因为a,"R,(α+6)+24i=2i,所以α+b=0,24=2,解得：a=∖,b=-∖.

故选：A.

2-i

7.(2021•全国•高考真题)复数J在复平面内对应的点所在的象限为()

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的除法可化简V,从而可求对应的点的位置.

1-31

【详解】

2-i(2-i)(l+3i)5+5il+i场D

----=A——------=----=——，所以该复数对应的点为I

l-3i10102(22

该点在第一象限,

故选：A.

8.(2021・北京・高考真题)在复平面内，复数Z满足(l-i)z=2,贝IJZ=()

A.-1—zB.—1+iC.1-ZD.1+Z

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由题意可得：Z=H=岛温f—=ι+i.

故选：D.

9.(2021•全国•高考真题)已知z=2-i,则z(5+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的乘法和共轨复数的定义可求得结果.

【详解】

因为z=2-i,故［=2+i,故z(z+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i

故选：C.

10.(2021・全国•高考真题(文))已知(l-i)2z=3+2i,则Z=()

3333

A.-1——iB.-1+一，C.-一+iD.-----

2