第二章 系统建模的基本方法与模型处理技术

计算机辅助设计基础武汉大学动机学院

郭江华Email:haihua2@163.comTel动化专业选修课程计算机辅助设计基础系统模型计算机建模仿真建模仿真实验回顾计算机辅助设计基础建模方法学相似原理确定型系统数学模型模型处理技术第2章系统建模的基本方法和模型处理技术

计算机辅助设计基础系统建模是系统仿真的基础，系统模型化技术是系统仿真的核心。有了数学模型，便可以在计算机上研究实际系统的动态特性了。本章主要介绍系统数学模型的建模原理、建立方法，并对数学模型的几种常见的表示形式进行归纳，以及模型之间的转换和处理方法。这些内容将为学习计算机仿真技术和对系统的动态特性进行深入研究建立一个基础。本章的学习目的和要求计算机辅助设计基础所谓相似，是指各类事物间某些共性的客观存在。相似性是客观世界的一种普遍现象，它反映了客观世界中不同物理系统和物理现象具备某些共同的特性和规律。采用相似理论建立物理系统的相似模型，这是相似理论在系统仿真中最基本的体现。相似理论是系统仿真的最主要的基础理论之一。2.1相似原理

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相似的定义计算机辅助设计基础（1）自反性（2）对称性（3）传递性2.1相似原理

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相似性定理1（1）相似的系统具有相同的数学描述（2）表征相似系统的参数在四维空间成比例关系（3）相似倍数不能是任意的，而是彼此相约束的

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相似性定理2计算机辅助设计基础

几何相似，就是把真实系统按比例放大或缩小，其模型的状态向量与原物理系统的状态完全相同。土木建筑、水利工程、船舶、飞机制造多采用几何相似原理进行各种仿真实验。

环境相似，就是人工在实验室里产生与所研究对象在自然界中所处环境类似的条件，比如飞机设计中的风洞，鱼雷设计中的水洞、水池等等。

性能相似，则是用数学方程来表征系统的性能，或者利用数据处理系统，来模仿该数学方程所表征的系统。性能相似原理也是仿真技术遵循的基本原理。相似的方式计算机辅助设计基础（1）几何相似（2）模拟（3）数学相似相似的方式计算机辅助设计基础（4）感觉信息相似（5）逻辑思维相似（6）生理相似相似的方式计算机辅助设计基础2.2建模方法学

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数学模型的作用通信思考理解管理控制设计提高认识能力加强决策能力计算机辅助设计基础2.2建模方法学

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数学建模方法一、信息源

建模目的：它规定了建模的过程和方向，从而造成了系统描述不是唯一的。先验知识：实验数据：计算机辅助设计基础2.2建模方法学

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数学建模方法二、建模途径

白盒系统：利用已知的基本定律，经过分析和演绎导出模型。黑盒、灰盒系统（允许实验性观测）：可假设模型并进行实验验证和修改。黑盒系统（不允许实验性观测）：可采用数据收集和统计归纳的方法来假设模型。计算机辅助设计基础2.2建模方法学计算机辅助设计基础2.2建模方法学

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数学建模方法三、模型可信性

行为水平上：模型是否能重现真实系统的行为。状态结构水平上：模型是否与真实系统在状态上互相对应，可以对未来的行为进行唯一的预测。分解结构水平上：模型是否能表示出真实系统内部的工作情况，而且是唯一的表示出来。计算机辅助设计基础2.3确定型系统的数学模型

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连续时间系统的模型

•连续系统数学模型之间的转换

•离散时间系统的模型

•采样系统的数学模型计算机辅助设计基础2.3.1连续时间系统的模型

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微分方程（时域模型）

•传递函数（复域模型）

•状态方程

•结构图（几何模型）计算机辅助设计基础微分方程例

机械位移系统输入量为输出量为根据牛顿第二定律计算机辅助设计基础微分方程

1.将系统正确划分为若干环节，并确定出个各节乃至整个系统的输入量和输出量。2.根据各环节物理规律，依次列写微分方程，联立方程组。3.消去中间变量，求取系统的微分方程。4.将系统的微分方程整理成标准形式。

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编写微分方程的步骤计算机辅助设计基础微分方程例

RLC电路输入量为输出量为根据基尔霍夫第二定律计算机辅助设计基础微分方程

系统的阶数就是指描述该系统的微分方程的阶数，可能是一阶、二阶或高阶，完全取决于系统自身的结构和参数。对于单输入—单输出的线性定常系统来讲，其动态特性可用下列微分方程的一般形式来表示：计算机辅助设计基础微分方程1.经典法求解2.零输入响应和零状态响应3.拉氏变换法4.直接迭代法

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微分方程的求解计算机辅助设计基础传递函数例

RC电路（1）当u1为输入，u2为输出时：计算机辅助设计基础传递函数例

RC电路（2）当u1为输入，i为输出时：计算机辅助设计基础传递函数

当初始条件为零时，系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。

Thetransferfunctionofalineartime-invariantsystemisdefinedastheLaplacetransformoftheimpulseresponse,withalltheinitialconditionssettozero.

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传递函数的定义计算机辅助设计基础传递函数 设线性定常系统的输入量为，输出量为,则系统微分方程一般形式为：计算机辅助设计基础在零初始条件下取Laplace变换得：传递函数传递函数为：计算机辅助设计基础一般有n≥m

同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用等条件无关。分析、理解计算机辅助设计基础传递函数

1.传递函数只适用于线性定常系统。2.传递函数只描述系统的输入输出特性，不能表示系统内部所有状态的特性。3.传递函数只取决于系统的结构和参数与输入量无关。4.传递函数不能反映系统的物理结构。5.传递函数通常为s有理分式。

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传递函数的性质计算机辅助设计基础状态方程(1)状态：系统过去、现在和将来的状况(2)状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：表示系统时刻的状态当时的输入给定，且上述时的行为

状态确定时，状态变量能完全确定系统初始在

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定义计算机辅助设计基础状态方程作为分量的向量，即(3)状态向量：以系统的个独立状态变量为(4)状态空间:以状态变量维空间。标轴构成的坐计算机辅助设计基础状态方程输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：(6)(7)状态空间表达式：(5)+(6).(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微分方程（组）：

(1)独立性：状态变量之间线性独立.(2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案.(3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异变换(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量(5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义.计算机辅助设计基础状态方程

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状态变量的特点计算机辅助设计基础状态方程

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状态空间表达式的一般形式(1)线性系统其中，A为系统矩阵，B为控制矩阵，C为输出矩阵，D为直接传递矩阵。(2)非线性系统｛｛计算机辅助设计基础结构图

将系统中所有的环节用方框图表示，图中标明其传递函数，并且按照在系统中各环节之间的联系，将各方框图连接起来。结构图也是系统的一种数学模型，它实际上是数学模型的图解化。

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定义计算机辅助设计基础结构图

信号线综合点引出点方框

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动态结构图组成符号计算机辅助设计基础结构图

1.由输入到输出的顺序，依次列写出系统的全部运动方程。2.对上述方程进行拉氏变换，求出全部象方程。3.根据象方程画出对应各个环节的方框。4.正确连接各环节方框。

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动态结构图的绘制步骤计算机辅助设计基础结构图例

画出下图两级RC网络动态结构图。计算机辅助设计基础结构图(1)列写系统全部运动方程，并进行拉氏变换计算机辅助设计基础结构图(2)画出各环节框图计算机辅助设计基础结构图(3)将基本方框按照信号流向正确连接计算机辅助设计基础2.3.2连续系统数学模型之间的转换

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微分方程→

状态方程

•传递函数→

状态方程

•结构图→

状态方程

•状态方程

→传递函数计算机辅助设计基础化微分方程为状态方程对于单输入/单输出系统假如一个连续系统可用微分方程来描述，系统输入量中不含导数项，即：计算机辅助设计基础化微分方程为状态方程引入各状态变量

则有：

计算机辅助设计基础化微分方程为状态方程将上述个一阶微分方程组写成矩阵形式可得

其中

计算机辅助设计基础化微分方程为状态方程例

系统如图所示选择状态变量：计算机辅助设计基础化微分方程为状态方程整理得：计算机辅助设计基础化微分方程为状态方程状态方程为：输出方程为：计算机辅助设计基础化微分方程为状态方程

写成矩阵形式计算机辅助设计基础化微分方程为状态方程假如系统输入量中含有导数项，则：计算机辅助设计基础化微分方程为状态方程

若已知及其各阶导数项的初始值，则可直接求出各个状态变量的初值。这是因为由上式表示的状态方程的状态变量仅与输入和输出及其各阶导数有关，而与其他状态变量无关。计算机辅助设计基础化微分方程为状态方程例

已知微分方程及初值如下，将其化成状态空间表达式。解:据公式可写出状态空间表达式如下：

计算机辅助设计基础化传递函数为状态方程单输入单输出线性定常系统传递函数：

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直接分解法计算机辅助设计基础化传递函数为状态方程输出为：令：计算机辅助设计基础化传递函数为状态方程则有：的L氏反变换，则系统的状态空间表达式为：令：分别表示计算机辅助设计基础化传递函数为状态方程可控标准型计算机辅助设计基础化传递函数为状态方程可观标准型

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并联分解法计算机辅助设计基础化传递函数为状态方程极点两两相异时其中：计算机辅助设计基础化传递函数为状态方程令：则有：则有：计算机辅助设计基础化传递函数为状态方程系统的矩阵式表达：对角线标准型计算机辅助设计基础化传递函数为状态方程约当标准型第行为

重特征根

计算机辅助设计基础化传递函数为状态方程例

设求其约当标准型实现。

解:将按分母因式展开成部分分式，由公式得计算机辅助设计基础化传递函数为状态方程由上述可见，对于同一个系统，实现不是唯一的。因此在进行数字仿真研究时，可以根据具体情况选择适当的形式。当给定初值为状态变量时，选用可控标准型比较方便；而当给定初值为输入和输出量的各阶导数时，选用可观标准型比较方便。计算机辅助设计基础在系统设计过程中较为经常遇到的情况是，已知系统的动态结构图，并且其中某些环节的参数已知，要求确定一些环节的参数或者改变一些环节的形式，使系统的性能满足要求。此时若用结构图化简求出等效的闭环传递函数，再将其转换成状态空间的形式，就显得不方便了。其主要缺点是：⑴系统经常是由许多环节组成的，并且系统中常有许多小环节，如果用传递函数仿真计算，就必须由研究人员事先将小闭环的传递函数求出，然后求出总的开环或闭环传递函数，这项工作显然是十分麻烦的。化系统结构图为状态方程计算机辅助设计基础⑵既然写出了总的传递函数，系统中某个环节或某个小闭环中的参数对系统传递函数的影响将是复杂的，这样研究参数变化对系统性能的影响是十分不方便的。⑶若系统中含有非线性环节时，就很难处理。为了解决这些实际问题，就很自然地想到，能否将结构图不经化简略做变换或直接对应写出状态空间表达式。显然，这样处理，由于输入的数据是各节的参数，因此，要研究某些参数对系统性能的影响将是十分方便的。这一节所讨论的问题也是面向结构图仿真技术的基础。化系统结构图为状态方程计算机辅助设计基础化系统结构图为状态方程

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模拟结构图所谓模拟结构图，就是将整个系统的动态环节全部用积分环节及比例环节来表示。采用这种方法，首先要将结构图变换成模拟结构图的形式，然后根据积分环节选择状态变量，积分环节的个数便为状态方程的阶数，由各环节连接关系可方便地得到状态方程和输出方程。计算机辅助设计基础化系统结构图为状态方程首先将动态结构图转换为模拟结构图：图2.3.2系统的模拟结构图计算机辅助设计基础化系统结构图为状态方程若选取每个积分环节的输入为，输出为。则各积分环节的微分方程为

若用矩阵表示，则有

计算机辅助设计基础化系统结构图为状态方程式中：是一个维的对角方阵，即

及为连接矩阵，分别为若将代入中，则得式中计算机辅助设计基础分析、理解利用模拟结构图转换为状态方程的步骤如下：⑴首先将结构图变换成模拟结构图的形式；⑵然后确定状态变量，每个积分环节选做一个状态变量并编号；⑶根据模拟结构图写出积分环节增益矩阵；⑷根据各环节输入与输出之间的关系写出连接矩阵；⑸列写状态方程。上述方法是针对单输入单输出系统讨论的，它使用起来比较简单。其基本思想可以推广到多输入多输出系统，采用仿真矩阵的方法来实现。计算机辅助设计基础实际中应用的一般方法

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积分环节状态方程为:计算机辅助设计基础实际中应用的一般方法

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比例积分环节状态方程为:++其中计算机辅助设计基础实际中应用的一般方法

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惯性环节状态方程为:其中-计算机辅助设计基础化状态方程为传递函数状态方程：传递函数矩阵为：其中计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型

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差分方程

•离散传递函数

•结构图

•离散状态方程

•数学模型之间的转化计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型X(n)Y(n)=T[x(n)]一.离散时间系统定义

一个系统,若输入是离散时间信号,输出也是离散时间信号,则此系统为离散时间系统.计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型

线性时不变离散系统的数学模型为常系数线性差分方程：

各序列的序号自n以递减方式给出，称后向(或右移序)差分方程。或写作计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型另一种形式：各序列的序号自n以递增方式给出，称前向(或左移序)差分方程。或写作计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型说明：(1)差分方程的阶数：输出序列的最高序号与最低序号之差。(2)前向差分方程与后向差分方程之间可以相互转换。(3)要求解n阶差分方程，需要有n个独立的初始条件。计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型二、离散时间系统的基本符号单元1/E（a）单位延时（b）相加（c）乘系数D计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型

例：某离散系统如图所示，试写出其差分方程。解：由模拟图知，加法器的输出为，另一延时器的输出为。对加法器列方程，得计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型例如：给出下面两个系统a(a)a(b)计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型1、差分方程的迭代求解（阶次较低时常用此法）三、从常系数微分方程得到差分方程计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型2、从常系数微分方程得到差分方程在连续和离散之间作某种近似:计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型取近似：计算机辅助设计基础2.3.3离散时间系统的模型例：梯形网络如图，试列写节点电压v(n)的差分方程。解：第n个节点如图所示，其KCL方程为整理得计算机辅助设计基础2.4Matlab语言中的模型表示在Matlab语言中有丰富的系统模型指令来处理各种不同的问题，最常使用的模型有：传递函数模型、零极点增益模型、状态空间模型三种形式。下面给出他们的使用方法说明。

指令ss()：产生一个状态空间模型，或将模型变换为状态空间模型。例：sys=ss(A,B,C,D)产生一个连续时间状态空间模型sys，模型的参数矩阵为A,B,C,D。计算机辅助设计基础2.4Matlab语言中的模型表示

sys=ss(A,B,C,D,Ts)产生一个离散时间状态空间模型sys，采样时间是Tssys=ss(sys1)变换一个线性时不变模型sys1为状态空间模型sys，即计算模型sys1的状态空间实现。

sys=ss(sys1,'min')计算模型sys1的最小状态空间实现sys.计算机辅助设计基础2.4Matlab语言中的模型表示

指令tf()：产生一个传递函数模型，或将模型变换为传递函数模型。例：sys=tf(NUM,DEN)根据模型的分子多项式NUM和分母多项式DEN产生一个连续时间传递函数模型sys。例如：num={-5;[1-56]};den={[1-1];[110]};h=tf(num,den)则传递函数的输出为:计算机辅助设计基础2.4Matlab语言中的模型表示

指令zpk():

产生一个零极点增益模型，或将模型变换为零极点增益模型。例：sys=