中考数学复习函数22 二次函数中的最值问题（教师版）

专题22二次函数中的最值问题

知识对接

考点一、求二次函数y=4χ2+⅛x+c（a≠0）的最值的方法

1.如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在图象的顶点处取得最大值或最小值,即当

b4ac-b2

X=-------时,y最值=

2a4〃

2.如果自变量的取值范围是XwXWX2（X1<X2,Xl,X2对应的函数值分别为yi，Y2）,那么,首先要看

h

--是否在自变量X的取值范围内.

2a

⑴若-二b在此范围内.

2a

□当a>0时,y最小=如土∙y的最大值要看-2_x|与马一（-2）的大小:当前者大时,y

4。2a2a

最大=y∣;当后者大时,y最大=y2.

□当a<0时》地大=A-Cic-b~.y的最小值要看-上b--Xi与々―（一上h一）的大小:当前者大时，y

4α2ala

最小=yi；当后者大时,y最小=yz

项训练

一、单选题

i.直角坐标系枕>y中，一次函数y=辰+6（妨≠o）的图象过点（2,姑），且匕24,与X轴，y

轴分别交于A,B两点.设，ABO的面积为S,则S的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

首先将（2,妹）点代入一次函数解析式,求出力与人的关系式,再求出一次函数产依⅛（%琼0）

的图象与X轴、夕轴分别交于A、8两点坐标，表示出ASO的面积S,再根据应4,去掉绝

对值，利用二次函数最值求法，可求出S的最小值.

【详解】

解：；一次函数尸质+/幼≠0）的图象过点（2,砌，代入一次函数解析式得：

.∙.kb=2k+b,

.^.kb-2k=b,

.*.k(b-2)=bt

F*

「一次函数y=日+以幼≠0)的图象与X轴、y轴分别交TA、B两点,

∙∙∙A点坐标为：(4,°)，8点的坐标为：(。孙

ΔA3。的面积为S,

Clb,b2b2,,b2-2b

∙'∙S=τ:l出f∙7∣=l∣771t=l-----7—1=1—∑—

2k2k、b2

z-------

h-2

若b..4,.∙.∕-2⅛>0,

..b2-2b

••0―，

2

∙∙.S的最小值为：±Ξ^4=4.

2

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标求法，以及二次函数的最值问题等知识，表示

图象与坐标轴围成的面积，注意应该加绝对值保证S是正值，这是做题中经常犯错的地方.

2.二次函数y=-2x)+4x+3有().

A.最小值，为6B.最大值，为6C.最小值，为5D.最大值，为5

【答案】D

【分析】

先根据二次函数二次项系数。=-2<0,确定有最大值,再把二次函数化为顶点式求解即可.

【详解】

解：二次函数的解析式为y=-2χ2+4x+3,

a=-2<0,

U二次函数有最大值，

y=-2x2+4x+3=-2(x-2x+l)+5=-2(x-l)2+5,

□当尸1时，二次函数有最大值5,

故选D.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

3.如图，在ΛBC中，ZC=90o,AB=IOcm,BC=8cm,点尸从点A沿AC向点C以ICmZS

的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm∕s的速度运动(点。运动到点8停止)，在

运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（)

【答案】D

【分析】

在∕⅛ΔABC中，利用勾股定理可得AC=6cm,设运动时间为f（0≤f44）,∖^∖∖PC=（6-t）cm,

CQ=2tcm,利用分割图形求面积法可得SlM小距=/一8+24,利用配方法即可求出四边形

PABQ的面积最小值.

【详解】

解：在∕⅛ΔA3C中，ZC=90o,Afi=IOcw,BC=8cm,

：.AB=yjAB1-BC2=6cm>

设运动时间为"0≤/≤4),则PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,

•∙S四边形QBQ=

4SMRC

=^ACBC-^PCCQ

=gx6x8-；(6-r)x2z

=r2-6r+24=α-3)2+15

・・•当f=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15c掰2.

故答案为：D

【点睛】

本题考查了二次函数的最值，勾股定理.利用分割图形求面积法找出SIMWW=/一6r+24是

解题的关键.

4.已知二次函数y=f-2∕nx（"?为常数），当T≤x≤2H寸，函数值N的最小值为—2,则〃?

的值是（）

A.—B.夜C.±—或&D.--或近

【答案】D

【分析】

先确定抛物线的对称轴为直线X=加，解答时，分加＜-l,-1＜加＜2,/”＞2三种情形求解即

可.

【详解】

解：二次函数y=f-2g（加为常数），

抛物线的对称轴为直线x=--=m,

当m<-∖时，-l<x<2表示的数在对称轴的右侧，

:二次函数y=∙V2-2,nx（加为常数）中，α=l>0,

□在对称轴的右侧，y随X的增大而增大，

3

当X=-I时，函数V取得最小值，即l+2w=-2,解得m=-/；

当-1<,"V2时，

,二次函数y=χ2-2∕nr（加为常数）中，α=l>0,函数有最小值，

当x=m时,y取得最小值,即m2-2m2—2,

解得"尸④或"尸-血（不在范围内，舍去）；

当m>2时,

；二次函数y=χ2-2mx（WJ为常数）中，α=l>0,

∏在对称轴的左侧，y随X的增大而减小，

3

□当尸2时，函数y取得最小值，即44%-2,解得加=彳，（不在范围内，舍去）

综上所述，〃，的值为血或

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的

增减性确定最值是解题的关键.

5.关于X的方程以2+⅛r+c=0有两个不相等的实根为、x2,若毛=2百，贝∣j46-9αc的最大

值是（）

A.1B.五C.√3D.2

【答案】D

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数

的关系，代入代数式，配方法化简求值即可.

【详解】

解：由方程Or2+fec+c=O有两个不相等的实根须、×ι

bc

可得，QW0,X+X=∙----,XX=—

λ212a

22

x,=2x∣,可得3%=一2,2xl=-,g∣J2(--)=-

aa3aa

化简得9αc=2b^

则4h-9ac=-2h2+4⅛=-2(h2-2b)=-2(⅛-I)2+2

故4∕>-9αc最大值为2

故选D

【点睛】

此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二

次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键.

6.已知二次函数y∣=sχ2+"χ-3(机#0)经过点(2,-3).不论m取何实数，若直线以=配户发

总经过力的顶点，则k的取值可以是()

A.-3B.-1C.OD.2

【答案】A

【分析】

将将点(2,-3)坐标代入抛物线求得〃=-2”的关系，再求得抛物线顶点坐标，将顶点

坐标代入直线解析式，求得&与m的关系，即可求解.

【详解】

解：将点(2,-3)坐标代入抛物线g的表达式得：-3=4加+2〃-3,

解得：n=-2m,故抛物线y∣=mχ2_2mx-3,

□yι=∕nχ2-2mx-^i=m(X-I)2-w-3

J抛物线M的顶点坐标为：(1,-3-W,

代入夕2="^^+A得：-3-m=m2+k,

.，°/1、2M

k--m^-m-3=-(m+-)-----

24

故人有最大值，此时，，"=-：时，最大值为-ɪɪ,

24

故人≤-二，

4

故选：A.

【点睛】

此题考查了二次函数的性质及应用，熟练掌握二次函数的性质求解女与“，的函数关系是解题

的关键.

7.对于抛物线>=3丁-1,下列说法不正确的是()

A,向上平移一个单位可得到抛物线y=3YB.当X=O时，函数有最小值-1

C.当x<0时，y随X的增大而增大D.与抛物线y=-3χ2+ι关于X轴对称

【答案】C

【分析】

根据二次函数图象的几何变换、二次函数的性质逐项排查即可解答.

【详解】

解：/、向上平移一个单位可得到抛物线N=3d,说法正确，故本选项不符合题意；

8.由于o=3>0,该抛物线的开口方向向上，且顶点坐标是(0,-1),则当产0时，函数有最

小值-1,说法正确，故本选项不符合题意；

C、由于对称轴是y轴且抛物线的开口方向向上，则当x<0时，y随的增大而减小，说法错

误，故本选项符合题意；

D、抛物线y=3fτ与抛物线y=-3∕+l关于X轴对称，说法正确，故本选项不符合题意.

故选C.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值等知识点，解答

灵活利用二次函数的性质是解答本题的关键.

8.已知二次函数y=(〃?-2)X2+2HX+“L3的图像与X轴有两个交点(x∣,O),(X2,0),

则下列说法：□该二次函数的图像一定过定点(—1,-5)；U若该函数图像开口向下，则％

的取值范围为：^<m<2；口当〃?>2,且l≤x≤2时，y的最大值为4用一5；正确的有()

A.□□B.□□C.□□D.□□□

【答案】A

【分析】

由抛物线的开口方向判断，与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系进行推理，

进而对所得结论进行判断.

【详解】

解：Qy=(m-2)x2+2mx+m-3=m(x+l)2-2x2-3,

当X=-I时，y=-5,故该函数图象一定过定点(-1,-5),故「正确；

「若该函数图象开口向下，则加-2<O,且/>0,

=b2-4ac^20m-24>O,解得：wι>∙,且MV2,

故，”的取值范围为：∣<m<2,故;正确；

当〃?>2,函数的对称轴在y轴左侧，

当l≤r≤2时，y的最大值在x=2处取得，

故P的最大为：(加-2)×4+2∕w×2÷w-3=9w-l1,故□错误；

故选A.

【点睛】

本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2α与b的关系，以

及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

9.如图，已知二次函数的图象(0≤x<l+2√2).关于该函数在所给自变量取值范围内，下

B.有最小值-2,有最大值-1.5

C.有最小值-2,有最大值2

D.有最小值-1.5,有最大值2

【答案】C

【分析】

由函数图象可看出其最大值和最小值，可求得答案.

【详解】

解：由图象可知当x=l时，)，有最小值-2,

当X=I+2夜时，y有最大值2,

□函数有最小值-2,有最大值2,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的最值，正确识别函数图象、理解最值的意义是解题的关键.

10.已知二次函数y=-(X-I)2+10,当机Wx≤%且机"<0时，y的最小值为2机，y的最

大值为2”，贝的值为()

53

A.3B.-C.2D.-

22

【答案】C

【分析】

山题意可得加<0,«>0,则y的最小值为2,〃为负数，最大值为2〃为正数.分两种情况讨

论：□当"VI时，X=加时，y取最小值，求出机的值，当X="时，y取最大值，可求得〃

的值，即可得到m+"的值；当"≥1时,，当X=W时，y取最小值，求出m的值，当X=I

时，y取最大值，求出"的值，或X="时，y取最小值，x=l时，y取最大值，分别求出m,

”的值，故可求解.

【详解】

解：二次函数y=-(X-I)2+10的大致图象如下：

□∕w<0,〃>0,

口当n<1时，x=tn时，y取最小值，即2m=-(∕w-1)2÷10,

解得：m=-3.

当X=〃时，y取最大值，即2〃=-(/?-1)2÷10,

解得：〃=3或〃=-3(均不合题意，舍去)；

当〃≥1时，当犬=加时，y取最小值，即2加=-(/H-1)2+IO,

解得：m=-3.

当x=l时∙，y取最大值，即2〃=-(1-1)2÷10,

解得：〃=5,

或X=〃时，y取最小值，x=l时，歹取最大值，

2m=-(/7-1)2+10,H=5,

□m=-3,

所以m+n=-3÷5=2.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，数形结合是解题的关键.

二、填空题

11.如图，矩形/8CQ中，BC=4,4B=3,点E为CD边上一动点、(不与C、。重合)，以

4

CE为边向外作矩形CEFG,月.CS=]CR连接即7，点。是线段吕尸的中点，连接

根据矩形的性质证明AO£F仝AOMB,得出族=BW,OE=QM,再根据已知设EC=3x,

则CG=JEF=3M=4x,再根据勾股定理求出EM=J259-32x+16，求出到/的最小值即可.

【详解】

.。为B/中点，EF//BG,

.-.OB=OF9ZEFO=MBOf

在AOE尸和AOAffirh,

NEFO=NMBO

OF=OB

NEoF=/MOB

.∙.Δ0JEF≡Δ0MB(A5A),

EF=BM,OE=OM,

设EC=3x(0<3xv3),

则CG=E产=BM=4式，

..MC≈BC-BM=4-4X9

:.EM=4EC1+MC1=7(3X)2+(4-4X)2=√25x2-32x÷16，

当EM最小时，OE最小，此时X=—»

48

SPEC=3x=-,

,-.OE=-EM=-.

25

故答案为：y.

【点睛】

本题考查矩形的性质以及三角形全等的判定，关键是对知识的掌握和综合运用.

12.如图，正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上运动(不与点A,8重合)，ZDAM=45°,

点尸在射线AM上，且AF=&BE，C尸与A。相交于点G,连接EC、EF、EG.则下列

结论：□NECF=45O;□FE平分NAFG；□BE+DG=EG;□△后!尸的面积的最大值是，；

其中正确的结论是.

【答案】□口

【分析】

正确，如图1中，在BC上截取8H=8E,连接EH.证明△的学AEHC(SAS)即可解决问

题；

一错误，山(1)可得NEFC=45。，ZEFA=ZCEH<45°,由此即可判定EE不平分NAFG;

正确，如图2中，延长AO到H,使得OH=BE,连接CH,则ACBE名aCDH(S45),再

证明AGCEmAGCH(SAS)即可解决问题.

借误，如图1,设BE=BH=X,则AE=CW=I-X,利用三角形的面积公式构建二次函数,

利用二次函数的性质解决最值问题.

【详解】

解：如图1中，在BC上截取8H=3E,连接EH.

图1

.∙,EH=s∕2BE,ABEH=45°,

AF=CBE，

AF=EH,

ΛDAM=ΛEHB=45o,NBAD=90o,

.∙.ZFAE=ZEHC=135o,

TBA=BC,BE=BH,

:.AE=HC,

AFAEmAEHC(SAS),

：.EF=EC,ZAEF=NECB,

NEeH+NCEB=90。,

:.ZAEF+ZCEB=90°,

NFEC=90°,

:.NECF=ZEFC=45。,故正确；

「在RfZXBEC中，"=90°,

ZBEC<90°,

□ZSEW+ZCfiW<90°,

450+ZCEH<90°,

即NCEH<45°,

ΛFAE^ΛEHC,

ZfiE4=NCEH<45°,

又NEFC=45°,

AEFA≠ΛEFC,

FE不平分NAFG,故错误；

如图2中，延长力。到〃，使得DH=BE,连接C”,

图2

又,BC=DC,NB=NHDC=9CP,

ΔCBE^ΛCDH(SAS),

.-.AECB=ADCH,CE=CH,

:.NECH=NBCD=90°,

.-.ZECG=ZGCH=45°,

又∙.CG=CG,CE=CH,

:.∕∖GCE^/XGCH(SAS),

..EG=GH,

GH=DG+DH,

..EG=BE+DG,故正确；

如图1,设BE=BH=X,贝IJAE=CH=I-X,

=

•∙^∆ΛEF=AHCE2CH∙BE

=^(l-χ)∙Λ

121

=——厂+—X

22

当X=4时.，一心的面枳取得最大值，最大值为：，故二错误，

2o

故答案为：

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

13.如图，矩形ABC。的四个顶点都在正三角形EFG的边上.已知.£FG的边长为6,记矩

形ABC。的面积为S,则当AB=时，S有最大值是.

【答案】3∣√3

【分析】

求出4F=5G=3-gx,解直角三角形求出/D,再根据矩形的面积公式求出面积S关于X的

函数关系式，把解析式化成顶点式，再得出答案即可.

【详解】

解：□□EFG的正三角形，

□□G=□尸=60°,

□四边形。48。是矩形，

o

UAD=BCfDC=ABiQDAB=JCBA=90f

□□C=口C5G=90o,

在LE4。和GBC中

ZF=ZG

<ZDAF=NCBG,

AD=BC

Γ∖[2FAD3UGBC(AAS)f

UAF=BG1

UFG=6fAB=xf

AF=BG=×(6-χ)=3-“

N尸=60°,NΠ4尸=90°,

ZfDA=30。，

FD=2x(3」X)=6-x

2

AD=y∣FD2-FA2=^(6-x)2-(3-∣x)2=3√3-冬,

矩形/BCD的面积S==DxXB=((3√5-争)x,

即S关于X的函数表达式是：S=-^-X2+3^X,

2

ΩO<AB<FGfFG=6,

□自变量X的取值范围是OVjVV6,

S=--X2+3>∕3x

2

=当…2+券，

-更<0,

2

口开口向下，有最大值，

当x=3时，S的最大值是更，

2

故答案为：3,述.

2

【点睛】

本题考查了二次函数的解析式,二次函数的最值,等边三角形的性质,矩形的性质等知识点，

能求出AF和AD的长解此题的关键.

14.如图，在矩形/88中，Aβ=2cm,AO=5cm,点尸为边4。上一个动点，连接CP,

点P绕点。顺时针旋转90。得到点P,连接CP'并延长到点E,使CE=2CP,以CP、CE

为邻边作矩形PCE尸,连接DE、。/7,则,£>“"和,DCE面积之和的最小值为.

31

【答案】V

4

【分析】

过点。作D”PC于H,设PZAx,然后利用勾股定理求出尸C,CH,E尸的长，然后表示

出面积，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】

解：如图，过点。作ZWIPC于，，设尸Z)=X,

四边形/8S是矩形，

JAB=CD=Icm,□PDC=90o,

PC=yjDP2+CD2=√4+x2cm，

DllPC,

gPCgPH=；CDgPD

CDgPD2x

DH=cm

PC∖∣4+X2

CH=yJCD2-DH2=,4cm,

√4+X2

四边形PCE尸是矩形，

EF=PC=λ∕4+x2cm，

EC=2PC=2√4+x2cm，

=，44+£2J4+f--12x]+L2J4+χ2XJ

SADEF+SADCE

2I√4÷X2J2√4+X2

1,31

U当X=5时,SADEF+SADCE有最小值彳，

31

故答案为：—.

4

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积，二次函数等知识，解题的关键在于能

够熟练掌握相关知识进行求解.

15.对于二次函数y=f-4x+3,图象的对称轴为,当自变量X满足a≤χ≤3

时，函数值V的取值范围为τ≤y≤o,则〃的取值范围为.

【答案】直线x=2l≤α≤2

【分析】

根据二次函数对称轴公式代入，可得到对称轴；利用配方法求出顶点坐标，令y=o,可得

到点力,8的坐标分别为(1,0),(3,0),画出图形，观察图形，即可求解.

【详解】

解：口二次函数y=f-4x+3,

对称轴为直线X=-二=2；

2x1

ʃ=x2-4x+3=(x-2)2-11

□当x=2时，函数有最小值，最小值为y=τ,

当N=O时，有χ2-4χ+3=0,

解得：X∣=1,*2=3,

如图所示，点48的坐标分别为(1,0),(3,0),

1当l≤x≤3时，-l<y≤O,

αVX≤3时，函数值y的取值范围为T≤y40,

从图象中可得到T4y≤0时，l<a≤2.

故答案为：直线x=2；l≤α≤2.

【点睛】

本题考查的是抛物线与X轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐

标轴的交点、顶点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题的关键.

三、解答题

16.一块材料的形状是锐角三角形/8C,边BC=l20mm,高4>80∕n∕n,把它加工成正方形

零件如图1,使正方形的一边在8。上，其余两个顶点分别在42,ACl..

(1)求证：□NEF□□∕BC:

(2)求这个正方形零件的边长；

(3)如果把它加工成矩形零件如图2,当EG宽为多少加机时，矩形有最大面积，最大面积

是多少？

【答案】(1)见解析；(2)正方形零件的边长为48M加；(3)当EG=40时，此时矩形面积

最大，最大面积是2400"”"2.

【分析】

(I)根据矩形的对边平行得到8CE广，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其

他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可.

(2)设正方形零件的边长为X"?"，，则S=E尸=x,ZK=80-x,根据EF8C,得到AEFABC,

根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；

(3)根据矩形面积公式得到关于α的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值.

【详解】

解：(1)□正方形EGHF,

DEFDBC,

^UAEF3JABC；

(2)口∕5C中8C边上的高/O与所相交于点K,

设EG=EF=x,

∖ΔUAEFABC,

AD与AK是对应边上的高，

EFAK

-=—f

BCAD

X80-x

=,

120---80

□x=48,

正方形零件的边长为48〃?加；

(3)/18。中8。边上的高4。与小相交于点K,

设EG=a,

矩形EGHF,

Γ∖EFBCf

UJAEF3UABC9

AD与力K是对应边上的高，

EFAK

BC-AD,

EFSO-a

120^80*

3

EF=I20--a,

2

333

矩形面积S=α(∖20--a)=--a2+120a=-—(α-40)2+2400,

222

当α=40时，此时矩形面枳最大，最大面积是2400团〃?2,

即：当EG=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400"”"2.

【点睛】

本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质,

解本题的关键是判断出AEFABC.

17.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-Jχ2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C

三点，其中点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-4,0).

(I)求该二次函数的表达式及点C的坐标；

(2)点。为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接AC、CD,以AC、CD为邻边作

平行四边形ACDE,设平行四边形ACDE的面积为S.

口求S的最大值；

」当5取最大值时，P为该二次函数对称轴上一点，当点£>关于直线CP的对称点E落在y轴

上时，求点P的坐标.

【答案】(1)尸―/+x+8,C点坐标为(8,0)；(2)「32：P(2,2)或(2,6)

【分析】

(1)把4点和8点坐标代入尸-$2+fcv+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、

c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标

(2)设直线即交X轴于尸,过点C作CHGDE于H,先求出直线AC的解析式为y=r+8,

然后设Q(α,-a2+a+S),直线OE的解析式为，=τ+4求出直线。E的解析式，从而

求出厂的坐标得到6的长，即可得到C4的长，最后利用二次函数的性质求解即可；

(3)设E(0,m),P(2,n),根据题意可得CZ>CE,PD=PECD2=CE2,PD2=PE2.

先求出。点坐标，然后利用两点距离公式求解即可.

【详解】

解：(1)把力(0,8),8(40)代入产∙1χ2+队÷c得

ʃC=S

∣-4-4⅛+c=0,

{b=∖

解得。，

[c=8

所以抛物线的解析式为产+x+8；

4

当尸0时，-：/+丁+8=0,解得xι=-4,X2=8,

所以C点坐标为(8,0)；

(2)口如图，设直线EO交X轴于F,过点C作C“：IDE于，,

C(8,0),A(0,8),设直线/C的解析式为y="+8,

0=84+8解得Z=T

直线/C的解析式为y=-X+8,

设D(a,~^-a2+a+S),直线。E的解析式为y=-X+A,

4

--a2+a+S=-a+h.

4'

解得4=-∕+2α+8

直线DE的解析式为y——X—/+2〃+8,

4

厂是直线。E与X轴的交点，

F(—er+2tz÷8,0),

4

6=-,/+24+8-8=-^/+24

44

O∕=OC=8

ACO=CAgHFC=450,AC=√O42+OC2=8√2

CH=HF,

CH2+HF'=CF2，

CH=-CF,

2

+24)=-2(/-84+16)+32=-2(α-4)2+32当

SYACDE~ACgcH=8>∕2X

0=4时,S有最大值32；

□当S取最大值时，α=4,

D(4,8)二次函数的对称轴2x'2)，

由题意可得，CD=CE,PD=PE即CO?=CE"PD2=PE2

设E(O,m)即(8-4)2+麒=々+/，

解得"i=±4,

即E(0,4)或(0,-4),

设尸(2,〃),

(2-4)2+(〃-8)2=(2-O)?+(〃-4『或(2-4)2+(〃-8))=(2-O)2+(〃+4)2,

解得〃=2或"=6,

UP(2,2)或(2,6).

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，两点距离公式,

平行四边形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

18.已知二次函数y=2χ2-χ+l,当-lSκ≤l时，求函数y的最小值和最大值.彤彤的解答

如下：

解：当X=-I时，则y=2x(-1)2-(-1)+1=4；

当X=I时，则y=2χp-1+1=2；

所以函数y的最小值为2,最大值为4.

彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.

【答案】不正确，二次函数的最大值为4,最小值为1

【分析】

根据二次函数的性质，先求出其对称轴，然后确定函数图像的增减性，利用增减性和对称性

求解即可得到答案.

【详解】

解：彤彤的解答不正确，

y=2x2-x+l

h-11

口二次函数的的对称轴X=-S=——=3

2a42

-1<—<1>且2>0,

2

当X=T时，二次函数有最小值y=2x(g)-→1=1,

二次函数在-l≤χ≤;时，y随X增大而减小，二次函数在g≤χ≤l时，y随X增大而增大,

3」ɪ

222

为x=-l时，：次函数有最大值y=2χ(-l)2-(-l)+l=4,

!二次函数的最大值为4,最小值为1.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的对称性和增减性，二次函数的最值，解题的关键在于能够熟练掌

握相关知识进行求解.

19.已知二次函数y=-x2+fcv+c图象的顶点坐标为(1,16).

(1)求b,C的值；

(2)是否存在实数加，〃(加V〃)，使当阳≤x≤〃时，二次函数的最小值是4加，最大值是4〃.若

存在，求出加，〃的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)⅛=2,c=l5；(2)∕M=-5,/7=4

【分析】

(1)先根据对称轴求得6,进而把点(1,16)代入解析式即可求得c；

2

(2)分三种情况：。、若Λ≤1,有t-汴+2加+15=4∕w□,∙W÷2"+15=4-□,m<nQt由此求出

2

m、〃的值相同，不合题意；b、若m≥l,有：■加2+2〃?+15=4〃□,-π+2n+15=4∕n□,m<nJ9

由此确定M=〃=3,不合题意；c、若∕wVl,此时函数的最大值为16,4/7=16,得出

〃=4,再由最小值是4加，确定"7<1,且-加2+2m+15=4%解得符合条件的〃?的值，便可得

出结果.

【详解】

解：(1)□二次函数产・/+瓜+°图象的顶点坐标为(1,16).

一击j

b=2,

□y=x2+2x+c,

把(1,16)代入得，16=∕+2+c,

□c=15；

(2)存在，理由如下，

分三种情况：

a、n<∖,有：-加2+2加+15=4〃?」，-∕72+2π÷15=4/7,m<nɪ,

解得加=〃，不合题意；

2

b、m>∖,有：・加+2m+15=4鹿U,-π+2∕ι+15=4∕7z□,m<n∖J9

-得：(〃-m)(〃?+〃)=6(n-m),n-m>O,

□W+H=6,

代入「解得：∕n=3,w=3；

不合题意，

Cs若MV1,

1此时函数的最大值为16,

□4n=16,

□Λ=4,

□当x=m时，-W2+2∕H+15=4f∏,

解得〃?i=・5,加2=3(舍去)，

当x=n时,-,I2÷2∕7+15=4/72,

□/6+8+15=4加,

7

解得〃尸了(舍去)，

4

综上所述：m=-5,n=4.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，关键是分情况讨论和根据特征点解题.

20.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=0χ2+bχ-4经过力(-4,0),C(2,0)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点〃为第三象限内抛物线上一动点，点"的横坐标为相，□4MH的面积为S.求S

关于〃?的函数关系式，并求出S的最大值.

【答案】(1)y=gχ2+χ-4.(2)S关于用的函数关系式为S=―/-4/〃，S的最大值

为4.

【分析】

(1)将将/(-4,O),C(2,0)代入y=αr2+反-4,可求出。力，即可确定解析式；

,

(2)过点M作MNACΓ'.⅛N,可得SAW=Saw+S神初侬~ΛM从而得到S关丁An

的函数关系式，再利用函数的性质得出最大值，即可求解.

【详解】

解(1)将力(-4,0),C(2,0)代入y=α√+瓜-4,得：

16a-4⅛-4=0

，解得：

4a+26-4=0

抛物线解析式为:V=--*r2+x-4；

2

(2)如图，过点M作MN匚/C于点M

‘抛物线'=5丁+彳-4与y轴交于点8,

当X=O时，y--4,

β(0,-4),即08=4,

点〃为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m,

ON--m,MN=-----/2一勿+4

2

AN=In-(-4)=7zz+4,

□

SS22

.ΛBU=Sw+‰jmeB-,AOB=^(4+Λ7)[-∣ffl-Λ7+4j+∙∣f-∣ffl-Λ7+4+4j(-ffl)-ɪ×4

=-m2-4z»=-(m+2)~+4(-4<m<0).

当加=-2时，S有最大值，最大值为4，

S关于m的函数关系式为S=-加-4/M,S的最大值为4.

【点睛】

本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，用待定系数法求出二次函数的

关系式是解决问题的关键.

21.抛物线丫=江+法+3过点A(To),点8(3,0),顶点为C.

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)如图1,点尸在抛物线上，连接CP并延长交X轴于点£>,连接AC,若AZMC是以AC

为底的等腰三角形，求点尸的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A,C不重合)的动点，连接PE,

作ZPEF=NCAB,边E尸交X轴于点尸，设点尸的横坐标为机，求加的取值范围.

720S

2

【答案】(I)y=-x+2x+3,C(I,4);(2)P(-,y)i(3)-∖<m<-

【分析】

(1)将48的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得对

称轴，代入解析式即可的顶点C的坐标；

(2)设。3,0),根据是以Ae为底的等腰三角形，根据AD=CD,求得O点的坐

标，进而求得8解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得尸点的坐标；

(3)根据题意，可得ACEPSA4FE,设AE=〃，根据相似三角形的性质，线段成比例,

O-

可得加=-4(”2-2不r〃)-1,根据配方法可得加的最大值,根据点E是线段AC上(与点A,

C不重合)的动点，可得用的最小值，即可求得，"的范围.

【详解】

(I)抛物线丫=々+灰+3过点A(T,0),点8(3,0),

6Z-⅛+3=0

‰+3⅛+3=O

.∙.y=—χ1+2x+3,

b2,

∙r≈-Z-=-ʌ=1∙代入y=-χ2+2x+3,

2a20×(-ln)

解得：y=4,

.∙∙顶点C(1,4),

(2)设。3,0),

A(-l,0),C(l,4),z∖D4C是以AC为底的等腰三角形,

AD=CD

222

EPλ∕(J+l)=λ∕(rf-l)+4

(√+l)2=(J-I)2+42

解得”=4

.∙.D(4,0)

C(l,4),f>(4,0)

设直线S的解析式为

(4k+b=0

[k+b=4

解得

7

3

b,=—16

3

・・.直线8的解析式为y=-∣4x+1y6

416

V=——x+—

联立《33

y=—x~+2,x+3

7

Xi=­

,3W=1

解得：,

20y=4

%。2

7ɔf)

(3)「点尸的横坐标为“，A(-l,0),C(l,4),P(-,-)

3y

.∙.AC=√(l+l)2+42=2√5.AF=m+l

CP=J(W)2+(%)2=型

V399

设AE=",!ill]Cf=2√5-».

△D4C是以Ac为底的等腰三角形，

.'.ZDAC=ZDCA

/PEF=NCAB=/EAF,NCEF=NEAF+ZAFE=NPEF+NCEP

,∖ACEP=ΛAFE

.∖∕∖CEP^∕∖AFE

.AFAE

~CE~~CP

m+∖_n

即云仁二及

9

gL

整理得m=—("~—2Λ∕5M)—1

ιn=--—(n-ʌ/ʒ)2+∙^-<-

2044

当E点与C点重合时，产与A点重合，由题意，点E是线段AC上(与点A,C不重合)的

动点，

A(T,0)

.^.m>-∖

二，"的取值范围为：-∖<m≤-.

4

【点睛】

本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，待定

系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，综合运用