7类比探究类几何综合题-2023年中考数学备考

专题7类比探究类几何综合题

考查特点

近几年，几何探究题成为中考命题的热点，其中“从特殊到一般”的几何探究题成为中

考数学一道亮丽的风景线，其起点低，层层递进，设计充分考虑到学习者的认知规律，既考

察了学生的归纳总结能力，又考察了学生对知识技能的迁移运用能力。它需要对前面的解题

方法进行归纳，解题思想进行提升。

解题策略

类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；即整体类

比上一问思路，迁移解决下一问。对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何

结构解决问题。类比型几何探究题，他的特征在于整个题目的布局设置中，每个小题之间有

紧密的联系，要突破后面设置的问题，必须对第一小题充分的理解和掌握。

典型例题

（2022黄冈、孝感、咸宁）问题背景：

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如

图1,已知AD是AABC的角平分线，可证姻•=理.小慧的证明思路是：如图2,过点C作

ACCD

CE〃AB,交AD的延长线于点E,构造相似三角形来证明坐=理.

ACCD

尝试证明：

（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：金殳=股；

ACCD

应用拓展：

（2）如图3,在RtAABC中，NBAC=90°,D是边BC上一点.连接AD,将AACD沿

AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处.

①若AC=，AB=2,求DE的长；

②若BC=m,NAED=α,求DE的长（用含m,α的式子表示）.

【分析】（1）证明aCEDs∕∖BAD,由相似三角形的性质得出生工1,证出CE=CA,

ABBD

则可得出结论；

（2）①由折叠的性质可得出NCAD=NBAD,CD=DE,由（1）可知，笆•侬，由勾股

ACCD

定理求出BC=√目，则可求出答案；

②由折叠的性质得出NC=/AED=a,贝IltanNC=tana=B殳，方法同①可求出CD

AC

=一≡—,则可得出答案.

l+ta∏α

【解答】(1)证明：・.・CE〃AB,

ΛZE=ZEAB,ZB=ZECB,

ΛΔCED^ΔBΛD,

.CE_CD

ABBD

VZE=ZEAB,ZEAB=ZCAD,

ΛZE=ZCΛD,

ΛCE=CA,

・ABBD

•∙―•

ACCD

(2)解：①；将AACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处,

ΛZCAD=ZBAD,CD=DE,

由(1)可知，坐典，

ACCD

XVAC=I,AB=2,

.2BD

••■"—f

1CD

ΛBD=2CD,

VZBΛC=90o,

∙,∙BC=VAC2+AB2=VI2+22=近，

ΛBD+CD=√5,

3CD=√5,

,CD=逅；

3

.∙.DE=2∕∑;

3

②：将AACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，

ΛZCΛD=ZBΛD,CD=DE,ZC=ZAED=ɑ,

AR

ΛtanZC=tanɑɪ-ɪ,

AC

由(1)可知，—

ACCD

.*.BD=CD∙tanɑ,

XVBC=BD+CD=m,

ΛCD∙tanɑ+CD=in,

ΛCD=————,

1+tanɑ

ΛDE=一见一.

l+ta∏α

【点评】本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的

判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义,

熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

中考真题

1.（2022甘肃兰州）综合与实践

【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在正方形ABCD中，E是

BC的中点，AE±EP,EP与正方形的外角/DCG的平分线交于P点.试猜想AE与EP的数量

关系，并加以证明；

【思考尝试】（1）同学们发现，取AB的中点F,连接EF可以解决这个问题.请在图1

中补全图形，解答老师提出的问题.

【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图

2,在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E,B不重合），Z∖AEP是等腰直角三角形，Z

AEP=90o,连接CP,可以求出/DCP的大小，请你思考并解答这个问题.

【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究

点：如图3,在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E,B不重合），AAEP是等腰直角

三角形，ZAEP=90°,连接DP.知道正方形的边长时，可以求出aADP周长的最小值.当

AB=4时，请你求出aADP周长的最小值.

图I图2图3

2.（2022甘肃天水）已知正方形ABCD,E为对角线Ae上一点.

【建立模型】（1）如图1,连接BE,DE.求证：BE=DE;

【模型应用】（2）如图2,F是DE延长线上一点，FB_LBE,EF交AB于点G.

①判断aFBG的形状并说明理由；

②若G为AB的中点，且AB=4,求AF的长.

【模型迁移】（3）如图3,F是DE延长线上一点，FBLBE,EF交AB于点G,BE=BF.求

证：GE=（√2-1）DE.

Sl图2图3

3.（2022贵州铜仁）.如图，在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点0,记ACOD

的面积为S,,ΔΛ0B的面积为S2.

S

（1）问题解决：如图①，若AB〃CD,求证：—1i-二C)Oc)D

S2^OA∙OB

（2）探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证

明；若不成立，请说明理由.

（3）拓展应用：如图③，在OA上取一点E,使OE=OC,过点E作EF〃CD交OD于点

若*4,求要值•

F,点H为AB的中点，OH交EF于点G,且0G=2GH,

OA6S2

③

4.（2022武汉）问题提出

如图（1）,在AABC中，AB=AC,D是AC的中点，延长BC至点E,使DE=DB,延长ED

交AB于点F,探究黑的值.

AB

问题探究

（1）先将问题特殊化.如图（2）,当∕BAC=60°时，直接写出黑的值；

AB

（2）再探究一般情形.如图（1）,证明（1）中的结论仍然成立.

问题拓展

CV1

如图（3）,在AABC中，AB=AC,D是AC的中点，G是边BC上一点，-^=-（n<2）,

BCn

延长BC至点E,点DE=DG,延长ED交AB于点F.直接写出”的值（用含n的式子表示）.

5.（2022仙桃）已知CD是AABC的角平分线,点E,F分别在边AC,BC上,ΛD=m,BD

=n,Z∖ADE与ABDF的面积之和为S.

（1）填空：当NACB=90°,DE±ΛC,DFLBC时，

①如图1,若NB=45°,m=5j^,则n=,S=；

②如图2,若∕B=60°,m=4√3>贝IJn=，S=；

（2）如图3,当NACB=NEDF=90°时，探究S与m,n的数量关系，并说明理由；

（3）如图4,当∕ACB=60°,ZEDF=120°,m=6,n=4时，请直接写出S的大小.

6.（2022苏州）（1）如图1,在AABC中，NACB=2NB,CD平分NACB,交AB于点D,

DE∕7ΛC,交BC于点E.

①若DE=LBD=p求BC的长；

②试探究黑是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

ADDE

（2）如图2,ZCBG和/BCF是AABC的2个外角，ZBCF=2ZCBG,CD平分ZBCF,交

AB的延长线于点D,DE〃AC,交CB的延长线于点E.记aACD的面积为S”ZiCDE的面积为

Q

S2,4BDE的面积为Sa.若SLSs=TrSz?,求cos/CBD的值.

F

C

7.(2022成都)如图，在矩形AfiCD中，AD=nAB(n>∖),点E是AO边上一动点(点

E不与A,。重合)，连接以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG,使得矩形

EBFGS矩形ΛBCD,EG交直线CZ)于点H.

【尝试初探】

(1)在点E的运动过程中，ΔABE与ΔDE”始终保持相似关系，请说明理由.

【深入探究】

(2)若〃=2,随着E点位置的变化，〃点的位置随之发生变化，当〃是线段8中点

时，求tanNABE的值.

【拓展延伸】

(3)连接B9,FH,当ΔS∕7∕是以切为腰的等腰三角形时，求tanNA8E的值(用

含〃的代数式表示).

备用图

8.(2022宁波)【基础巩固】

(1)如图1,在AABC中，D,E,F分别为AB,AC,BC上的点，DE√BC,BF=CF,AF

交DE于点G,求证：DG=EG.

【尝试应用】

(2)如图2,在(1)的条件下，连结CD,CG.若CGJ_DE,CD=6,AE=3,求理的值.

BC

【拓展提高】

(3)如图3,在QABCD中，NADC=45°,AC与BD交于点0,E为Ao上一点，EGZzBD

交AD于点G,EF_LEG交BC于点F.若NEGF=40°,FG平分NEFC,FG=IO,求BF的长.

9.(2022南充)如图，在矩形ABCD中，点。是AB的中点，点M是射线DC上动点，点

P在线段AM上(不与点A重合)，OP=-^ΛB.

(1)判断AABP的形状，并说明理由.

(2)当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N.求证：PN=AN.

O

(3)点Q在边AD上，ΛB=5,ΛD=4,DQ=⅛当∕CPQ=90°时，求DM的长.

5

备用图

《类比探究类几何综合题》答案

［【解答】解：(1)AE=EP,

理由如下：取AB的中点F,连接EF,

图I

'HE分别为AB、BC的中点,

.;AB=BF=BE=CE,

ΛZBFE=45o,

.β.ZAFE=I35o,

VCP平分NDCG,

.∖ZDCP=45o,

ΛZECP=135o,

.∙.ZAFE=ZECP,

VΛE±PE,

ΛZAEP=90o,

ΛZΛEB+ZPEC=90o,

VZAEB+ZBAE=90o,

ΛZPEC=ZBAE,

Λ∆AFE^ΔECP(ASA),

/.AE=EP;

(2)在AB上取AF=EC,连接EF,

图2

由(1)同理可得NCEP=NFAE,

VAF=EC,AE=EP,

・・・ZXFAEdCEP(SAS),

ΛZECP=ZAFE,

VAF=EC,AB=BC,

ΛBF=BE,

・•・NBEF=NBFE=45°,

ΛZAFE=135°,

.∖ZECP=135°,

.,.ZDCP=45o,

(3)作DGJ_CP,交BC的延长线于G,交CP于0,连接AG,

图3

由(2)知，ZDCP=450,

ΛZCDG=45o,

ΛΔDCG是等腰直角三角形,

・・・点D与G关于CP对称，

∙∙.AP+DP的最小值为AG的长，

∙.∙AB=4,

ΛBG=8,

由勾股定理得AG=4√^,_

ΛΔADP周长的最小值为AD+AG=4+4√5∙

2.【解答】(1)证明：・・・AC是正方形ABCD的对角线,

，AB=AD,ZBAE=ZDAE=450,

VAE=AE,

ΛΔABE^ΔADE(SAS),

ΛBE=DE;

(2)解：①AFBG为等腰三角形，理由：

・・・四边形ABCD是正方形，

ΛZGAD=90o,

ΛZΛGD+ZΛDG=90o,

由(1)知，ZSABEg△ADE,

・・・ZΛDG=ZEBG,

ΛZAGD+ZEBG=90o,

VPBlBE,

ΛZFBG+ZEBG=90o,

・・・ZAGD=ZFBG,

VZAGD=ZFGB,

・・・NFBG=NFGB,

ΛFG=FB,

ΛΔFBG是等腰三角形；

②如图，过点F作FHLAB于H,

Y四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，ΛB=4,

ΛAG=BG=2,AD=4,

由①知，FG=FB,

ΛGH=BH=I,

ΛAH=AG+GH=3,

在RtZ∖FHG与RtZ∖DAG中，VZFGH=ZDGA,

.*.tanZFGH=tanZDGΛ,

•里也=2

"GHAG，

.∙.FH=2GH=2,

22

在RtAAHF中，AF=√AH+FH=V13;

(3)VFB±BE,

ΛZFBG=90°,

在RtAEBF中,BE=BF,

EF=&BE,

由(1)知，BE=DE,

由(2)知，FG=BF,

ΛGE=EF-FG=√2BE-BF=√2DE-DE=(√2-1)DE.

3.【解答】(1)证明：过点D作AE_LAC于E,过点B作BFLAC于F,如图①所示:

ΛDE≈ODsinZDOE,BF=OBsinZBOF,

ΛSl=⅛∙DE=⅛∙0D∙sinZD0E,S,=Λ)A∙BF=ʌOA∙OB∙sinZBOF,

2222

VZDOE=ZBOF,

ΛsinZDOE≈sinZBOF,

Sl-∣OC∙OD∙sinZD0E

OoOD

,-

,~ξ1OA-OB

2耕∙0B∙sinNB0F

(2)解：(1)中的结论成立，理由如下：

过点D作AELAC于E,过点B作BFLAC于F,如图②所示：

ΛDE=OD∙sinZD0E,BF=OBSinNBOF,

.∙.Sl=^OC∙DE=^<)C∙OD∙sinZDOE,S2=-∣OΛ∙BF=-∣υΛ∙OB∙sinZBOF,

VZDOE=ZBOF,

AsinZDOE=SinZBOF;

S1-^OC∙OD∙sinZD0E

OOOD

-

CiOMOB

2^^^0A∙0B∙sinNB0F

(3)解：过点A作AM〃EF交OB于M,取BM中点N,连接HN,如图③所示:

VEF√CD,

ΛZODC=ZOFE,ZOCD=ZOEF,

XVOE=OC,

ΛΔ0EF^Δ0CD(ΛΛS),

/.OD=OF,

VEF√ΛM,

ΛΔOEF^ΔOAM,

.如=殴=5

"0M^0A^^6,

设OE=OC=5m,0F=0D=5n,则0A=6m,0M=6n,

：H是AB的中点，N是BM的中点，

HN是AABM的中位线，

，HN〃AM〃EF,

ΛΔ0GF^Δ01IN,

,OG=OF

"OH-ON,

V0G=2GH,

.∙.OG=∙∣OH,

・空=PL=2

"0H-0N-3^,

1

.".ON=⅛)F=ɪ--∙,BN=MN=ON-0M≈---1∙-6n=∙^∙,

2222

.∙.OB=ON+BN==%+毁=9n,

22

ɪZ9XZgSl_0OOD_5mX5n_25

'：^7^0A*0B^6m×9n-^54'

4.【解答】解：(1)如图，取AB的中点G,连接DG,

(2)

Y点D是AC的中点，

∙∙∙DG是aABC的中位线,

ΛDG/7BC,

VΛB=AC,ZBAC=60o,

,△ABC是等边三角形，

Y点D是AC的中点，

ΛZDBC=30o,

VBD=CD,

ΛZE=ZDBC=30o,

ΛDF±ΛB,

YNAGD=NADG=60°,

.,.ΔADG是等边三角形，

∙.AF=工AG,

2

；AG=2AB,

2

∙.AF=LB,

4

.AF1

.=—;

AB4

(2)取BC的中点H,连接DH,

•,点D为AC的中点，

,.DH√AB,DH=-UB,

2

.,ΛB=AC,

,.DH=DC,

,.ZDIIC=ZDCn,

ZBD=DE,

∙.ZDBH=ZDEC,

∙.ZBDH=ZEDC,

,.ΔDBΠ^ΔDEC(ASA),

∙.BH=EC,

•胆金

,西而，

∕DH√ΛB,

,.ΔEDH^ΔEFB,

F

D一EB2

E3H

F,

4

A]r∙.

1■

A]4;

A]

问题拓展

取BC的中点H,连接DH,

由(2)同理可证明aDGH丝ZiDEC(ASΛ),

.∙.GH=CE,

ΛHE=CG,

..CG_1

,^BC-n,

•.∙~胆~~~~-」^，

BCn

.里上

•∙,—，

BHn

.HE_2

"Bf=n+2'

VDH/7BF,

ΛΔEDH<^ΔEFB,

.HE.DH=2

"^BE=BK=n+2'

∙.∙DH=LB,

2

.BFn+2

•∙-，

AB4

.AF_2-n

"AB=4

5.解：（1）①如图1中，∙.∙∕ACB=90°,NB=45°,

ΛCA=CB,

YCD平分NACB,

ΛAD=DB=5√2'

VDE±ΛC,DF±BC,ZA=ZB=45°,

ΛΔADE,ABDF都是等腰直角三角形，

ΛBF=DF=5,ΛE=DE=5,

...S=』X5X5+』X5X5=25,

22

故答案为：5√2125；

②如图2中，

在RtZXADE中，AD=4√3,NA=90°-∕B=30°,

ΛDE=^-AD=2√3>AE≈√3DE≈6,

VDE±AC,DF±BC,CD平分NACB,

DE=DF=2后

.∙.BF=2,BD=2BF=4,

Λn=4,

ΛS=^×2√3×6+-^-×2√3×2=8√3,

故答案为：4,8√ξ;

(2)如图3中，过点D作DM,AC于点M,DNJ_BC于点N.

图3

VDM±ΛC,DN±BC,CD平分NACB,

ΛDM=DN,

VZDMC=ZDNC=ZMCN=90o,

・•・四边形ABCD是矩形，

ΛDM=DN,

・•・四边形DMCN是正方形，

ΛZMDN=ZEDF=90o,

.∖ZMDE=ZNDF,

VZDME=ZDNF,

ΛΔDME^ΔDNF(ASA),

∙*∙S=S∆ADE÷S∆BI)F=S∆ADM÷S∆B∣)N,

把ABDN绕点D逆时针旋转90°得到右边AADH,ZADH=90o,AD=m,DH=n,

.1

..Sq=­mn；

2

(3)如图4中，过点，AC于点M,DNLBC于点N.

VDMlAC,DN±BC,CD平分NACB,

ΛDM=DN,

YNDMC=NDNC=90°,

ΛZMDN=180o-ZACB=120°,

ΛZEDF=ZMDN=120°,

ΛZEDM=ZFDN,

YNDME=NDNF=90°,

ΛΔDME^ΔDNF(AAS),

∙*∙S=S∆ADE÷S∆BDF=S∆ADM÷S∆BIW，

把aADM绕点顺时针旋转120°得到ADNT,ZBDT=60o,DT=6,DB=4,

过点D作DNJ_BT于点N,

BH=BDXsin60o=4×亨=2«,

∙*∙S=SΔCDT=X~×6×2*∖ʃ3=6‹∖ʃ3.

6.【解答】解：(1)①・・・CD平分NACB,

.∖ZACD=ZDCB=-⅛ZACB,

2

VZACB=2ZB,

,NACD=NDCB=NB,

3

,CD=BD=±

2

VDE√AC,

ΛZΛCD=ZEDC,

ΛZEDC=ZDCB=ZB,

ΛCE=DE=1,

ΛΔCED<^ΔCDB,

.CECD

••—■，

CDCB

3

.17

••—,

3CB

~2

.∙.BC=弓9；

4

②∙.∙DE"AC,

•••空有，同①可得，CE=DE,

AUCE

.ABBC

,,ADɪ

.ABBEBCBECE

ADDEDEDEDE

■-第■是定值，定值为1；

ADDE

(2)VDE∕/AC,

.sI_AC_BC

,,^S7^DE"BE'

.A_BE

'^S7"CE,

.si,s3^BC

,∙c2"CE"

02

又∙∙∙S∣∙S3=7⅛S22,

16

.BC,9

"CE^16,

设BC=9x,则CE=6x,

：CD平分NBCF,

.∖ZECD=ZFCD=-⅛ZBCF,

2

VZBCF=2ZCBG,

.∙.NECD=NFCD=NCBD,

ΛBD=CD,

VDE∕7AC,

ΛZEDC=ZFCD,

JNEDC=NCBD=NECD,

ΛCE=DE,

VZDCB=ZECD,

ΛΔCDB<^ΔCED,

.CD_CB

•∙^，

CECD

ΛCD2=CB∙CE=114X2,

.∙.CD=12x,

过点D作DHJ_BC于点H,

19

.*.BH=⅛=-x,

22

9

.*.cos∑l=I∙

NCBD=

第12x8

7.解：（1）四边形E5AG和四边形ABCD是矩形,

/.ZA=ZBEG=ZD=90o,

二ZABE+ZAEB=ZAEB+ZDEH=90。，

.∖ZDEH=ZABE,

:./SABEsgEH，

二•在点七的运动过程中，ΔABE与ΔΩEH始终保持相似关系;

:.DH=CH,

设DH=X,AE=af则A8=2x,AD=4x,DE=4x-a,

由（1）知：ΛABE^ΛDEH,

AEABa2x

即一=-----

~DH~~DEX4x-a

:.2X2=4ax-a2,

/.2X2-4ax+/=0，

4a±∖∕16a2-4×2×a22a±6a

.∙.X=-----------------------------=-------------

42

.CLAEa

tanNL48石=---=—

AB2x

2-√2

当.驾至时,tan/ABE=------------^―

_2a+∖∣2a2

2×-----------

2+√2

、\12a-Jian.tan/ABE=------------ʃ=-

当X=---时，C2a-y∕2a2

22×------------

2

综上，tanZABE的值是注旦.

2

（3）分两种情况：

①如图2,BH=FH,

D

尸

设AB=x,AE=a,

四边形BEG厂是矩形，

.∙.ZAEG=NG=90。，BE=FG,

:.RtΔBEH二RtAFGH(HL),

：.EH=GH,

矩形EBAGS矩形ABCD,

ADEG

----==H

ABBEf

EHn

BE2

由(1)知：^ABESmEH,

DEEH一

~AB~~BE~2'

Ivc-an

.,.-------=—,

X2

.∙.nx=2a,

a_n

"x^2'

.∙.tan∠A8E=丝，J；

ABx2

②如图3,BF=FH,

矩形GS矩形ABCD,

j∖β

：.ZABC=AEBF=9Cf——

tBC

..ZABE=NCBF,

:2BESACBF,

/.ZBCF=ZA=90o,

.∙.D,C,尸共线，

BF=FH,

AFBH=ΛFHB,

EG//BFf

.∙.ZFBH=ZEHB,

.∖ZEHB=ZCHB,

BE工EH,BC-LCH,

BE=BC,

由①可知：AB=x,AE=a,BE=BC=nx,

由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，

.,.x1+a2=(HX)2,

%告(负值舍)，

.,.tanAABE==-=∖jn2—1,

ABX

/7，

综上，tanZABE的值是5或Jt-I.

8.(1)证明：VDE√BC,

Λ∆ΛGD^ΔAFB,ΔAFC^ΔΛGE,

.DG=AGGE=AG

**BF-AF,FC-AF,

.DGGE

,*BF^FC,

VBF=CF,

ΛDG=EG；

(2)解：VDG=EG,CG±DE,

ΛCE=CD=6,

VDE√BC,

Λ∆ΛDE^ΔABC,

,DE=AE=3=1

*,BC^AC^3^6^T

(3)解：延长GE交AB于M,连接MF,过点M作MNLBC于N,

Y四边形ABCD为平行四边形，

ΛOB=OD,NABC=NADC=45°,

VMG∕/BD,

ΛME=GE,

VEF±EG,

/.FM=FG=IO,

在RtZXGEF中，ZEGF=40o,

ΛZEFG=90o-40°=50°,

VFG平分NEFa

.∖ZGFC=ZEFG=50o,

VFM=FG,EF±GM,

.∖ZMFE=ZEFG=50o,

ΛZMFN=30o,

ΛMN=⅛F=5,

2

ΛNF=7HF2