浙江省慈溪市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案

浙江省慈溪市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、单选题共8小题，每小题5分，共40分。1．若向量，，则＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4答案：D2．在等腰△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝1，则等于（）A． B． C． D．答案：C3．在△ABC中，点D在BC边上，且，设，，则可用基底，表示为（）A． B． C． D．答案：C4．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（）A．2+ B． C． D．1+答案：A5．复数2+i与复数在复平面内对应的点分别是A、B，若O为坐标原点，则∠AOB为（）A． B． C． D．答案：B6．设，是非零向量，则“⊥”是“函数f（x）＝（x+）•（x﹣）为一次函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B7．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：．则△ABM与△ABC的面积之比为（）A． B． C． D．答案：A8．在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于直线OA上，当取得最小值时，向量与的夹角余弦值为（）A． B． C． D．答案：C二、多项选择题本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝2，则角C的大小是（）A． B． C． D．答案：BD10．已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（）A．四面体表面积为 B．四面体的高 C．四面体体积为 D．四面体的内切球半径为答案：ABCD11．在△ABC中，下列命题正确的是（）A．若A＞B，则sinA＞sinB B．若sin2A＝sin2B，则△ABC定为等腰三角形 C．若acosB﹣bcosA＝c，则△ABC定为直角三角形 D．若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角答案：ACD12．若点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的是（）A．若，则点O为△ABC的重心 B．若，则点O为△ABC的垂心 C．若，则点O为△ABC的外心 D．若，则点O为△ABC的内心答案：AC三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在复数范围内，方程x2+4x+5＝0的解集为{﹣2+i，﹣2﹣i}．14．已知点A（1，﹣2），若点A、B的中点坐标为（3，1）且与向量a＝（1，λ）共线，则λ＝．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若B＝60°，a+c＝1，则b的取值范围为[，1）．16．已知z1＝2（1﹣i），且|z|＝1，则|z﹣z1|的最大值为1+2．四、解答题本大题共6个小题，共70分。17．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10cm．求：圆锥的母线长．答案：设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R．∵∴∴答：圆锥的母线长为cm．18．已知复数z满足|3+4i|+z＝1+3i．（1）求；（2）求的值．答案：（1）由|3+4i|+z＝1+3i，得，所以5+z＝1+3i，所以z＝﹣4+3i，所以；（2）＝＝．19．已知，，．（1）求；（2）求与的夹角；（3）若在方向上的投影向量为，求的值．答案：（1）因为，，，所以4﹣4•﹣3＝61，即64﹣4•﹣27＝61，解得•＝﹣6，所以＝＝＝＝．（2）cos＜，＞＝＝＝﹣，因为＜，＞∈[0，π]，所以＜，＞＝，即与的夹角为．（3）＝||cos＜＜，＞＝4×（﹣）×＝﹣，所以＝﹣•（+）＝﹣（•+）＝﹣（﹣6+9）＝﹣2．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足．（1）求角C的大小；（2）若，，求△ABC的面积．答案：（1）由正弦定理知，＝＝，∵，∴（sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，∴sinBcosC＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，∵sinB≠0，∴cosC＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab•cosC，∴c2＝32+2c2﹣2•4•c•cosC，即c2﹣8c+32＝0，解得c＝4，∴b＝c＝8，∴△ABC的面积S＝absinC＝×4×8×＝16．21．已知＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|＝，求证：⊥；（2）设＝（0，1），若+＝，求α，β的值．答案：（1）由＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），则＝（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由＝2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝2，得cosαcosβ+sinαsinβ＝0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．22．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为．∠BAD为钝角，且．（1）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（2）记∠BDC为α，∠CBD为β，求sin（2α+β）的值．答案：（1）∵sinA＝，且A为钝角，∴cosA＝，在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cosA，∴，即AD2+8AD﹣20＝0，解得：AD＝3或AD＝﹣10（舍去）．∴小岛A与小岛D之间的距离为2nmile．∵A、B、C、D四点共圆，∴A与C互补，则sinC＝，cosC＝cos（180°﹣A）＝﹣cosA＝．在△BDC中，由余弦定理得：CD2+CB2﹣2CD•CB•cosC＝BD2，∴，得CD2﹣8CD﹣20＝0，解得CD＝﹣2（舍去）或CD＝10．∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD•sinA+CB•CD•sinC＝×5×2×+×5×10×＝3+15＝18（平方nmile）；（2）在△BDC中，由正弦定理得：，即，解得sinα＝．∵D