九年级总复习2

九年级总复习——圆的基本认识

教学目标

教学过程设计

教学方法与手段

教学内容

教学内容的说明教学内容：

1、了解圆的有关概念。2、掌握圆的轴对称性。3、掌握垂径定理及其推论，以及它们的证明和应用。

4、弦，弧，圆心角的关系。5、圆周角定理以及推论。教学重点：

垂径定理及其推论，弦，弧，圆心角的关系。圆周角定理及推论。教学难点：

发现垂径定理和垂径定理的证明方法；寻找弦，弧，圆心角的关系及证明。发现圆周角定理与证明。

1、通过直观演示了解圆的轴对称性。2、通过“试验——观察——猜想——证明”掌握垂径定理及其推论。3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。4、熟练掌握了弦，弧，圆心角的关系，能够应用它去解决问题。5、熟练掌握了圆周角定理及推论，能应用它去解决问题。6、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学生的探索精神。教学目标的确立教学方法与手段教学方法：教学手段：教师启发引导下的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、分层评价。教（学）具演示、计算机辅助教学

教学过程的设计动手操作观察猜测交流讨论分析推理归纳总结积极参与共同学习学法指导教学程序（1）观察圆的画法，引出圆的两种定义

（3）圆的有关的概念

（6）复习小结，布置作业.教学过程的设计（5）垂径定理的应用（2）圆的简单性质（4）垂径定理及推论观察圆的画法，引出圆的两种定义

圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。

定点O叫圆心，线段OA的长叫做圆的半径0静态的动态的G:\圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.swf·圆心O

半径r

直径d·A

O点叫做圆心。

OA是圆的半径。连接圆心和圆周上任意一点的线段叫做圆的半径。静态的思考：如何画一个圆？答：要确定圆心和半径。（圆心确定位置，半径确定大小）过圆心且两端点都在圆上的线段叫做直径。•o1.圆是轴对称图形它有无数条对称轴经过圆心的每一条直线都是它的对称轴圆的简单性质2.圆的旋转不变性：G:\圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.swf3.圆是中心对称图形圆心是它的对称中心AB••观察猜想•O•CDE┐••••操作：CD是以点O为圆心的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？猜想：AE=BE,AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒由此就可能得到垂径定理（先复习圆的一些基本概念：如弦，弧，弦心距，圆心角，圆周角，弓高等）和圆有关的基本概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径是经过圆心的弦（是最长的弦）弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧，弧有优弧、半圆、劣弧之分。等弧：能够完全重合的弧就叫等弧。弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距（即过圆心向弦作垂线所得到的垂线段的长度）弓高：弓形的最高点到圆心的距离。圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆周角：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫圆周角。等圆：能够完全重合的圆叫等圆。同心圆：圆心重合在一起的圆叫同心圆。练习1.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弧所对的圆周角等于__________。练习2.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为_________.最大值为_________.

幻灯片15练习3.一条弦的弦心距的长等于它所在圆的直径的四分之一,则这条弦所对弧的度数是______________练习4.已知，如图，在△ABC中,∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D。求：弧AD的度数。幻灯片1645°或135°60°或300°接下来复习垂径定理练习2.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________.

35练习4.已知，如图，在△ABC中,∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D。求：弧AD的度数。（说明：某段弧的度数就是指它所对的圆心角的度数）25°分析：要求弧AD的度数即要求弧AD所对的圆心角的度数，也就是求∠AOD的度数。解：连接OD。∵∠ACB=90°，

∠B=25°∴∠BAC=65°。∵AC=DC∴∠ADC=∠CAD=65°∴∠ACD=50°即弧AD的度数是50°垂径定理及其推论1.垂径定理2.垂径定理的推论3.总结：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）垂直于弦判断题：

(1)过圆心的直径平分弦(2)垂直于弦的直线平分弦(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE•oABCDE(1)•oABCDE(2)O•ABE(3)题设结论垂径定理用垂径定理来确定圆心你能找到弧AB的中点吗？作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点．CDABE变式一：

已知弧AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(弧的中点：平分这段弧的弧上面的一点）你能找到弧AB的中点吗？思考：如何画弧AB的四等分点？错误作法：正确作法：CDABＭFG1．作AB的垂直平分线CD2．作AT、BT的垂直平分线EF、GHＴＥＮＨＰ强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．错误作法CDABEFGmn正确作法OABCab方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．你能确定弧AB的圆心？垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。垂直于弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）平分于弦（不是直径）题设结论垂径定理的推论五个条件

(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧规律

知二推三总结：经验点拔

对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d+h=r⑵经验点拔垂径定理的应用AB●RCO((∠AOC是圆心角，∠B是圆周角。圆心角和圆周角的概念R由OC=OB得到∠B=∠C又∵∠AOC=∠B+∠C∴∠AOC=2∠B由此得到圆周角定理圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系幻灯片15ODCBAFEAOB=CODAB=CDAB=CDOE=OF（OEAB于EOFCD于F）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。例如：四个量：（1）圆心角相等（2）所对的弧相等（3）所对的弦相等（4）所对的弦的弦心距相等知一推三圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。ABCO推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，

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圆周角所对的弦是直径。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。圆周角定理及推论垂径定理的应用

例一：幻灯片19例二：幻灯片32练习一：幻灯片43练习三：幻灯片31

例1已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求弦AB与CD之间的距离。

.AEBOCD20152525247讲解.AEBOCDFEF有两解：15+7=22cm15-7=8cmF如图，⊙O的半径为1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，且=点D在AB弧上，且BD弧=40度，你能否在BC上找到一点P，使AP+DP最小？若能找到，请画出这个点，并求出AP+DP的最小值；若不能找到，请说明理由。

·P∟分析：找到D点关于BC的对称点D‘，连接AD’交BC于P点。则P点就是所找的点∴50°6、△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E。(1)如图1，若AB=6，CD=2，求CE的长；ABCDO图1E解：连接AD，

BE。∵AB为⊙O直径，∠ADB是AB弧所对的圆周角∴∠ADB是直角即：AD⊥BC又∵AB=AC，∴AD是△ABC的边BC上的中线，即：D是BC的中点。∴BD=CD=2∴BC=4同理△ABE也是Rt△。又∵∠BAD=∠CBE，∴Rt△ABD∽Rt△BCE。∴AB：BC=BD：CE即：CE=BC●BD÷AB=4×2÷6=4/3┐┐(2)如图2，当∠A为锐角时，连结BE，试判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；ABCDO图2E(3)若图2中的AB边不动，边AC绕着点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图3，CA的延长线与⊙O相交与E，请问：∠BAC与∠CBE是否与(2)中你得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不相同，请说明理由。ABCDOE图31.（6分）车间工人要将如图一个破损的圆湓复原，需要知道圆湓半径的大小。你有什么办法？（画出图形，保留作图痕迹，不写作法）练习（1）如图，P是⊙O上一点，PA、PB是两条弦，M、N分别是弧PA、弧PB的中点，连接MN交PA、PB于点E、F。问：是不是等腰三角形？为什么？ABOGHEFPMN（2）如图，P是⊙O外一点，过点P画两条射线交⊙O于A、B、C、D。M、N分别是弧AB、弧CD的中点，连接MN交PA、PB于点E、F。问：是不是等腰三角形？为什么？

ABCDEFOGHPMN（3）如图，P是⊙O内一点，过点P画两条弦AB、CD，设M、N分别是弧AB、弧CD的中点，连接MN交AB、CD于点E、F。问：是不是等腰三角形？为什么？

ABCDEOFMNGH反思小结：

反思小结，布置作业.布置作业：

1、对垂径定理的理解

(1)证明定理的方法是典型的“叠合法”

(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法

(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。2、关于垂径定理的运用

(1)辅助线的常用作法

(2)注意把问题化为解直角三角形的问题

A层：幻灯片38B层：幻灯片39C层：幻灯片35判断对错：

1、一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍（）

2、如果两个圆的圆心角相等，则它们所对的弦相等（）

3、长度相等的弧是等弧（）

4、顶点在圆上的角是圆周角（）

练习：A组在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是()cmB组在圆o中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离为5,则圆o的直径是()C组若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,则CD＝()

(4)多方练习，分层评价.•ABDCEO•oCDE•CDOE答案：3答案：26答案：16练习二如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、F，

DE=1cm，EF=3cm，则AB=________cm51、过圆O内的点P的最长弦与最短弦分别为10cm、8cm，则OP长为

cm。3·ABCDP·O5㎝4㎝分析：最长的弦为直径，最短的弦是过P点垂直于直径AB的弦CD。所以只要在直角三角形OPC中解直角三角形即可。例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的