2023年上海市高考数学考前20天复习-03 平面向量教师版

03平面向量

一、填空题

•上海•统考模拟预测)

1.(2023a=(l,2),⅛=(-l√),β∙⅛=5√=.

【答案】3

【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算求解.

【详解】由题意可得：α∙∕2=l×(-1)+2×∕=2∕-1=5,解得f=3.

故答案为：3.

2∙(2023∙上海青浦•统考二模)已知向量a=(l,0),⅛=(√3,1),则方在〃方向上的投影

是.

【答案】√3

【分析】根据向量投影的知识求得正确答案.

abʌ/ɜrτ

【详解】人在α方向上的投影是丁T=T='3.

故答案为：ʌ/ɜ

3.(2023•上海•统考模拟预测)在ASC中,AC=4,BC=3,点尸是AB的中点，则

BACP=.

7

【答案】⅛

2

【分析】利用向量的加法和减法法则，将胡，C尸分别用CA，CB表示出来，然后代

入结论计算即可.

【详解】在ASC中，点P是A3的中点，所以CP=g(CA+CB),BA=CA-CB,

所以84CP=(CA-C*(C4+C8)C8)=!?(4232)=∣.

7

故答案为：~•

2

4.(2023•上海崇明•上海市崇明中学校考模拟预测)若向量α,b满足

∣α∣=l,∖b∖=y∣3,∣a-2⅛∣=3,则q∙}=.

【答案】1

【分析】将∣α-26∣=3两边平方，然后将条件代入即可得到答案.

【详解】因为∣α∣=1,∣⅛∣=√3,∖a-2b∖=-i,

所以∣α-26f=9,即(Λ-2⅛)2=9,

所以/-4a-b+4b2=9>Wp∣2-4f∕∙Z>+4∣⅛∣^=9

所以l-4a∕+12=9,

所以a∙b-∖

故答案为：1.

5.(2023・上海静安•统考二模)已知向量&=(1,6)，且α,〃的夹角为g,

(α+b)∙(2α-3b)=4,贝心在4方向上的投影向量等于.

【答案】(空)

【分析】根据所给条件利用向量数量积运算求出I百，再由投影向量的定义求解即可.

【详解】d=(l,K),...而=2，

(a+b)(2a-3bj=2∖a∖l-a-b-3∖b∖2=S-2∖b∖cos^-3∖b∖i=4,

—>

.∙.∣⅛∣=ι，

力在4方向上的投影向量为区ICOSg二=历=(1当.

3∣α∣2244

故答案为：(：,去)

6.(2023•上海嘉定•统考二模)ABC是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，

贝UAC-AM=.

【答案】V/0.25

4

【分析】根据正三角形的性质可得IAMI=g,ZCAM=1,然后代入向量的数量积公式

即可求解.

【详解】由题意可知：[AM]=；,ZCAM=P由平面向量的数量积公式可得，

ACAM=∣AC∣∣AM∣cosZC4Λ/=1×→^=^∙,

故答案为：~.

4

7.(2023•上海浦东新•统考二模)已知边长为2的菱形ABC。中，NA=I20。，P、。是

菱形内切圆上的两个动点，且PQ则ApC。的最大值是.

【答案】τ∕0.25

4

【分析】画出图形，求出内切圆半径，设出川，〃,〃)，表达出APCQ=-2(〃-£)+；,

结合-3<〃<立求出最值.

22

【详解】如图，40=1,00=6,故菱形内切圆半径为点。到40的距离，

故内切圆半径r=a°'0d=且，

AD2

z、3

由对称性可知，P,。关于X轴对称，设P(W,〃)，m2+n2=-,

则Q(八f),当<"吟,

其中A(0,1),C(O,-1),故AP∙C(2=(∕∕7,n-l)∙(∕n,-w÷l)=m2—π2+2n-l

322cle2Cl/IYl

=­n—Yi+2H-1=-2,n+2M—=—2.n—H—，

44Ik2；4

当〃=；时，AaeQ取得最大值，最大值为，

故答案为：—

4

8.(2023上海金山・统考二模)已知〃、8、2、4都是平面向量,且W=2k-0=卜4-1=1,

若《w，则1-d∣+∣c-d∣的最小值为.

【答案】V26—/卜J26

22

【分析】根据题意作出图形，利用数形结合即可求解.

【详解】如图，设0A=q,OM=5"，OB=b，OC=c<OD=d>

则点8在以A为圆心，以T为半径的圆上，点C在以M为圆心，以1为半径的圆上，

N

所以1-d+∣c-d=p,+∣oc∣≥Wd-g+QΛ∕∣-ι=WA∣+pM∣-3,

作点A关于射线。N对称的点G,则|。Gl=ID4∣,且NGOA=',

所以m+WM≥∣GM∣=√F=回（当旦仅当点GRM三点共线时取等号）

所以1—d+∣c-0的最小值为后-∙∣,

故答案为：Λ∕26—.

UMtlLIrIU

9.（2023•上海黄浦•统考一模）已知四边形ABCQ是平行四边形，若AZ）=2OE，B/〃3E，

UUUUUUlUULlULU

AF-BC=O-且AF∙AC=60，则Ae在A尸上的数量投影为.

【答案】10

【分析】运用向量共线、向量垂直画图，运用平行线性质及直角三角形性质可得

IACl=IlAMI、IAMleoSO=IAFI,再运用数量积运算及几何意义即可求得结果.

【详解】因为Ao=2DE，所以人。、E三点共线，且∣AO∣=2∣OE∣,

IBCllMCI25

又因为AO〃BC,所以上U=匕U=;，所以IACI=力AM∣,

IAE∣IAMI33

UUULKJUl

因为BF//BE，所以3、E、尸三点共线，乂因为AF∙BE=0,所以AF_1_8£,如图所示,

设NE4C=e,则IAMlCos，=IAFI,

所以AF∙AC=∣4∕∣∣ACleOS0=g∣AM∣lA尸ICOs。=；IAfT=60,解得：∣AF∣=6,

AC∙AF

所以AC在AF上的数量投影为I4。COSg=2一二=U6∩=IO.

IAF∣6

故答案为：10.

10.(2023•上海崇明•统考二模)设平面向量a1,c满足：忖=2,W=ICl,14=1,/社C,

则1-c∣的取值范围是.

【答案】［正,30］

【分析】根据题设条件，设出a,"c的坐标，利用坐标运算进行求解

【详解】依题意，设α=(2cose,2sin0),⅛=(f,()),c=(0√),reR

根据.-4=1,即∣(2COSeT,2Sine)I=1,即(2CoSeT)?+(2Sine)?=1,整理得

r+3=4/cosθ.

显然rwθ,否则匕=(0,0)=0,H=自=1,与已知矛盾，故/+3=4/cos。可得

Cr+3

cosθ=-------.

4t

产+3

由ICOSq=而41,即产—4”+3≤0,贝悟M2—4”+3≤0,⅛fc(∣r∣-l)(∣f∣-3)≤0,解得

l≤∣r∣≤3.

故卜-C∣=∣(f,τ)∣=曲忖&,3句

故答案为：［友,3√η

11.(2023•上海奉贤•统考二模)在集合｛1,2,3,4｝中任取一个偶数”和一个奇数6构成一

个以原点为起点的向量2=(α,b),从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为

邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是.

【答案】3

【分析】由题可得满足题意的向量有4个，满足题意的平行四边形有6个，依次计算6

个平行四边形的面积即可得答案.

【详解】由题可得满足题意的向量有(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),又若两向量α,6不共线,

且卜力)=8,则以两向量为邻边的平行四边形面积为：

S=∖a∖∖b∖sin=∣α∣∣⅛∣ɪ--r-jΓ=J“|-("").

∖HPl

则以(2,1),(2,3)为邻边的平行四边形面积为/>13-49=4;

以(2,1),(4,1)为邻边的平行四边形面积为J5X17-81=2;

以(2,1),(4,3)为邻边的平行四边形面积为4X25-⑵=2;

以(2,3),(4,1)为邻边的平行四边形面积为√13X17-⑵=10;

以(2,3),(4,3)为邻边的平行四边形面积为川3X25-289=6;

以(4,1),(4,3)为邻边的平行四边形面积为J*X25-361=8：

综上可知面积不超过4的平行四边形的个数是3.

故答案为：3

12.(2023•上海松江•统考二模)已知点A,8是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点,

且IOAI=2α(a>0).若存在加,〃eR,使得与“AB+08垂直，且

|(/7ZAB+OA)-(/?AB+OB)|=«,贝IJlABl的最小值为.

【答案】√15a

【分析】设WIAB=A尸，nAB=BQ,根据向量线性运算可得卜g=。，设P(x,f),则

2

Q(x+αj),由向量垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得产≤与,

由∣AB∣=2∖∣4a2-t^可求得最小值.

【详解】设AB在直线y=f上，又AB是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，

IOAi=2α(α>0),.∙.∖AB∖=2∖∣4a2-t2；

^tmAB=AP,HAB=BQ,则〃*B+OA=OA+AP=OP，"AB+OB=OB+BQ=OQ，

:.^mAB+OA)-(nAB+OB^=\OP-OQ\=\PQ\=a,

不妨设P在。的左侧，p(x∕),则Q(x+a,r),

mAB+OAiJ∏AB+OBW,..OPOQ=O,

即X(X+ɑ)+*=0有解，；.t~=—x(x+α)=-x2-ar≤-—α∙^--∣∙^=∙^-)

.∙.∣Λβ∣=2〃/">2—展瓜,即IABl的最小值为715«.

故答案为：y∕15a.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量模长最值的求解问题，解题关键是能够将问题

转化为求解与变量t有关的函数最值的求解问题，从而根据向量的线性运算和向量垂直

的坐标表示求得r的范围，结合函数最值求法可求得结果.

13.(2023•上海黄浦・统考二模)如图.在直角梯形ABCO

中.AD/∕BC,ZABC=90。，AD=2,BC=I,点P是腰AB上的动点，则∣2PC+P0的

最小值为.

【答案】4

【分析】建立平面直角坐标系，设■=0,求得相关点坐标，求出∣2PC+PD∣的表达式,

结合二次函数的性质即可求得答案.

【详解】由在直角梯形ABC。中.AD/∕BC,ZABC=90。，AD=2,BC=I,

则NzMB=90。，则以A为原点，A。为MN轴建立平面直角坐标系，

设AB=α,设P(x,0),则8(α,0),C(a,l),D(0⑵,

故PC=(α-x,l),PD=(T,2),

所以2PC+PO=(2α-3x,4),故12PC+尸。∣=24，

当且仅当2a-3x=0即X=$，时取得等号，

即∣2PC+P。的最小值为4,

故答案为：4

14.(2023•上海普陀•统考二模)设x、yeR,若向量”，力，c满足α=(x,D,力=(2,y),

c=(l,l),且向量α-6与C互相平行，则∣“∣+2∣∙∣的最小值为.

【答案】3√5

t分析】由向量平行的坐标表示可得X+y=3,在坐标系中&=砺=(X,1),

2⅛=OD=(4,6-2Λ),将。按向量4平移至C,根据C轨迹为直线2x+y-15=0,将问

题化为同+2向=|。4|+|4。最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.

【详解】由α-6=(x-2,l-y),乂向量α-6与C互相平行，

所以x-2=l-y,故x+y=3,

令“=OA=(X,1),b=OB=(2,3-x),则2b=OO=(4,6-2x),

所以A(x,l),Γ>(4,6-2x),将。按向量d平移至C(4+x,7-2x),

所以C是直线2x+y-15=0上的动点，如下图示，

所以26=OO=AC,故∖a∖+2∖b∣=∣OA∣+∣AC∣,

由图知：要使I。I+2闻最小，只需。,A,C三点共线且。到直线2x+y-15=O距离最短,

故|〃|+2闻最小值为原点到直线2》+丫-15=0的距离,最小值为〃=

此时题设中的Λ=2,.y=l.

故答案为：3不

【点睛】关键点点睛：找到力=而的Z>,并将其平移至C使2%丽=前,即有

k∣+2∣"=∣OA∣+M4,问题化为求点到直线距离.

15∙(2023∙上海闵行•统考二模)平面上有一组互不相等的单位向量。4，OA11,

若存在单位向量OP满足OPOA+OP∙04++QPOA=0，则称o尸是向量组。A，

OA2,…，OA”的平衡向量.已知(OA,。&)=三，向量OP是向量组。A，OA2,OAi的

平衡向量，当OPoA取得最大值时，Q4∙oa值为.

［答案］-3±∙

6

【分析】设磔=43,例=BC,OCD,结合题意可得OPAo=O,为使ORM最

大，则。RCH5两向量的方向相同，即OP,CD两向量的方向相同，也即OP=CD，设直

线AB与直线CQ交于点E，再分如图所示两种情况讨论即可得解.

【详解】设0¼1=AB,OA2=BC,网=CO,

由(QA,OA2)J,得(AB,BC)=g即NABC=军,

由题意可得OPcM+OPOA2+OP√M,=O,

g∣JOP-AB+OPBC+OPCD=OP-(AB+BC+CD)=OP-AD=O,AD,

为使0P∙Q4,最大，则OP,04两向量的方向相同，即OP,8两向量的方向相同,

也即OP=C。，所以ADLCO,

设直线AB与直线C。交于点E，

IAB∣=∣BC∣=∣CD∣=1,ZABC=y,ZBAC=ZBCA=∙^,ADlCD,ΛC=√3,

则SinZCAD=—,cosZCAD=—,

33

因为SinNcAQ=且>,=sin^,所以NC4O>Zft4C,

326

如图1所示，

cosZAED=sinZDAE=sin(ZCAD+ZCAB)=^-×-+^-×-=+'ʃð,

'732326

__o_/7

所以42∙CD=1χ1χCOS(AaC£(>=-cosZAED=工,

即OAs=七亚

如图2所示，

cosZAEC=cos(ZEAD+ZADE)=-sinZEAD=-sin(ZC4D-ZSAC)

f√3√3√6∩-3+√6

=-×-------×—=-------

I3232)6

所以AB∙CO=lχlχcos<AB,CS=CoSN4EO=

即OA。4=刍捶，

综上所述，0A∣Q3=.

故答案为：二-.K

6

【点睛】关键点睛：设Q41=Aβ,Q42=BC,O%=CD,结合题意可得OPJ_AD,根据

OPoA3最大,说明OP,OA,两向量的方向相同，即OP=CD，是解决本题的关键所在.

16.(2023•上海杨浦•统考二模)已知非零平面向量a、b、C满足Ial=5,2向=向，且

(⅛-oj∙(c-α)=0,则W的最小值是

【答案】√5

【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.

1rUlMlrrUll

解：如图AC=a,AD=b-AB=C则6-α=CO,c-a=CB，

/ɪ*r∖/rr∖LiiBUUH

已知也-a)∙(c-α)=0,即CDCB=O,所以CDLCB,

1Ilrrl

取80的中点。则有OC=5BD=5W-c∙∣,

而OA=义力+4，根据三角形的三边关系可知。4+OC≥AC

则乎+3+小」上向=5,所以J+U+J叫≥10,当A,O,C三点共线时取等号,

记b,c向量的夹角为8，则卜+4=J(j+<)=J5I2+412cos拜=WJ5+4CoSe，

同理卜二卜卜5-48$J,

由区+q+卜一4210,可得M(J5+4cosl+j5-4cosK)210,

则w≥__________10100>100

2

∖∣5+4cosθ+yJ5-4cosθ10+2√25-16COS(9^10+2λ^5

当CoSe=0,即万工d时取等号，

所以M≥石，即W的最小值是君,

故答案为：ʌ/ʒ.

【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式

∣⅛+c∣+∣i-^∣≥ιo,进而利用数量积求模长.

二、单选题

17.(2023•上海青浦•统考二模)设分C2是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能

组成平面向量的一个基底的是()

A.备+02和0一02B.e∣+2e2和e2+2e∣

C.3β∣—2e,和4e,—GeiD.e2和e,+e∣

【答案】C

【分析】根据基底的知识确定正确答案.

【详解】依题意，4、弓不共线，

A选项，不存在2∈R使G+/=∕l^1-^2),

所以q+/和q-弓可以组成基底.

B选项，不存在4∈R使弓+2%=%(/+2eJ,

所以q+2/和弓+2e,可以组成基底.

C选项，4β2-6e1=-2(3ei-2e2),

所以3q-2/和4e；-6e；不能构成基底.

D选项，不存在XeR使02=/112+6),

所以e?和C?+G可以组成基底.

故选：C

18.(2023•上海•高三专题练习)已知向量α/满足Iai=IJbl=百Ja-2,h3,则α.6=()

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】W：V∣d-25∣2=∣Λ∣2^fl∙⅛+4∣⅛∣2,

又；|a|=IJZH=6,∖a-2b|=3,

∙"∙9=l-4d∙⅛+4×3=13—4α∙⅛>

•∙ab=\

故选：C.

19.(2023春•上海宝山•高三上海交大附中校考阶段练习)已知。、6是平面内两个互相

垂直的单位向量，若向量C满足(c-α)∙(c-6)=0,则Icl的最大值是()

5

A.1B.2C.√2D.—

2

【答案】C

【分析】由向量垂直的条件可得α