7.1 复数的概念-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

7.1复数的概念【考点梳理】考点一复数的有关概念1.复数(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.2.复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.考点二复数的分类1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系考点三复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.考点四复数的几何意义1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).考点五复数的模1.定义：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.3.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).考点六共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi.【题型归纳】题型一：复数的概念1．（2022春·山东青岛·高一统考期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（

）A．2 B．－2 C． D．42．（2022春·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）复数i的虚部为（）A．2 B．C． D．03．（2021春·高一课时练习）下列命题中，正确命题的序号是（

）①若，则是纯虚数；②若且，则；③若是纯虚数，则实数；④两个虚数不能比较大小.A．①③ B．② C．③④ D．④题型二：复数实部和虚部4．（2022春·广东佛山·高一校考期中）复数（是虚数单位）的虚部为（

）A． B． C． D．5．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考期末）已知若（为虚数单位）是纯虚数，则（

）A． B． C． D．6．（2022春·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数a等于（）A．-3 B．3C．-1 D．1题型三：根据相等条件求参数7．（2022·高一）若，是虚数单位，，则等于（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高一）下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个9．（2021春·高一）若，且，则A．4或0 B．-4或0 C．2或0 D．-2或0题型四：复数的分类问题10．（2022·高一单元测试）“复数为纯虚数”是“”的（

）A．必要非充分条件 B．充分非必要条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件11．（2021春·高一单元测试）下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．（2021春·高一单元测试）在复数范围内（为虚数单位），下列命题正确的是（

）A． B．若，则；C．若，则 D．若，则题型五：复数的坐标问题13．（2022·高一课时练习）当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．（2022春·广东广州·高一校联考期末）已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（

）A． B．复数在复平面内对应的点在第一象限C． D．15．（2022春·浙江杭州·高一校考期中）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．题型六：复数的模的问题16．（2022·高一课时练习）已知复数，，在复平面上对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数的模为（

）A． B．17 C． D．1517．（2022春·浙江台州·高一统考期末）已知复数（为虚数单位），则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件18．（2022·高一课时练习）已知复数，满足，复数z的实部为，则复数z的虚部是（

）A． B． C． D．题型七：复数的最值问题19．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足：，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．220．（2022春·浙江·高一期中）已知复数，和满足，若，则的最大值为（

）A． B．3 C． D．121．（2022春·北京延庆·高一统考期末）设复数在复平面内对应的点分别为，则两点之间距离的最大值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【双基达标】一、单选题22．（2023·高一）下列命题中正确的是（

）．A．；B．；C．若x，，则的充要条件是；D．若，则．23．（2023·高一课时练习）已知复数（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（

）．A． B． C． D．24．（2023·高一课时练习）下列命题：①实数在复平面内所对应的点在实轴上；②虚轴上的点所对应的数是纯虚数；③若，则为虚数；④，则．其中正确命题的个数是（

）．A． B． C． D．25．（2023·高一课时练习）复数，在复平面内对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限26．（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．427．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知复数的实部和虚部分别为和4，则实数和的值分别是（

）A． B． C． D．28．（2022·高一课时练习）若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（

）A． B． C． D．29．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知复数是纯虚数，则实数（

）A． B． C．0 D．130．（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）已知为虚数单位，复数，则下列命题不正确的是（

）A．的共轭复数为 B．的虚部为C．在复平面内对应的点在第一象限 D．31．（2023·高一单元测试）实数a分别取什么值时，复数是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？32．（2023·高一课时练习）已知复数的实部与虚部的差为．(1)若，且，求复数的虚部；(2)当取得最小值时，求复数的实部．【高分突破】一、单选题33．（2022春·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期末）设，复数，若为纯虚数，则（

）A．3或 B．3 C．或 D．34．（2022春·甘肃兰州·高一统考期末）复数对应的点在函数图象上，则（

）A． B． C． D．35．（2022春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习）平行四边形OABC中，顶点O、A、C在复平面内分别与复数0，，对应，则顶点B对应的复数为（

）A． B． C． D．36．（2022春·山东临沂·高一校考期末）若复数在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数的值为（

）A． B． C． D．37．（2022春·广东江门·高一统考期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（

）A． B．2 C．3 D．38．（2022春·天津西青·高一统考期末）已知复数①在复平面内对应点的坐标为(1，－1)；②复数的虚部为；③复数的共轭复数为；④；⑤复数是方程在复数范围内的一个根.以上5个结论中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题39．（2022·高一单元测试）下列关于的说法中正确的有（

）A．表示点与点之间的距离 B．表示点与点之间的距离C．表示点到原点的距离 D．表示坐标为的向量的模40．（2022·全国·高一假期作业）下列说法中正确的有（

）A．若，则是纯虚数B．若是纯虚数，则实数C．若，则为实数D．若，且，则41．（2022·高一单元测试）若非零复数分别对应复平面内的向量，且，线段的中点M对应的复数为，则（

）A． B． C． D．42．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）若复数z在复平面对应的点为Z，则下来说法正确的有（

）A．若，则Z在复平面内的轨迹为圆B．若，则Z在复平面内的轨迹为椭圆C．不可能存在复数z同时满足和D．若，则的取值范围为[8，10]43．（2022春·福建福州·高一福州三中校考期末）复数，，下列结论正确的是（

）A．若z对应复平面上的点在第四象限，则B．若z是纯虚数，则C．当时，z是虚数D．当时，44．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）设复数，（R），对应的向量分别为（为坐标原点），则（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则的最大值为45．（2022春·全国·高一校联考期末）已知复数，则下列结论正确的是（

）A．z可能是纯虚数B．若z是实数，则z＝－2C．z的虚部与实部的差的最小值为D．若在复平面内，z对应的点位于第二象限，则a的取值范围为三、填空题46．（2023·高一课时练习）设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的______条件．47．（2023·高一课时练习）在正方形OMNP中，若对应的复数为，则对应的复数为______．48．（2023·高一课时练习）若复数在复平面内所对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围为______．49．（2023·高一课时练习）已知复数，且，则______．50．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）下面给出的几个关于复数的命题，①若是纯虚数，则实数②复数是纯虚数③复数在复平面内对应的点位于第三象限④如果复数满足，则的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.四、解答题51．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知为虚数单位.(1)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围；(2)若复数满足，求复数.52．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知复数，存在实数，使成立.(1)求证：；(2)求的取值范围.53．（2022·高一单元测试）已知复数在复平面上对应的点为Z，(1)求点Z在实轴上时，实数m的取值；(2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值；(3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.54．（2021春·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知复数，．(1)若z是实数，求m的值．(2)若z是纯虚数，求m的值．(3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；【答案详解】1．A【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值．【详解】解：由是纯虚数，得，解得．故选：A.2．C【分析】根据给定条件，利用复数的定义直接作答.【详解】由复数定义知，复数i的虚部为.故选：C3．D【分析】根据复数的基本概念及复数的分类，逐项判定，即可求解.【详解】①中，当时，为实数，所以不正确；②中，由，因为虚数不能比较大小，所以不正确；③中，由是纯虚数，可得，解得，所以不正确；④中，由虚数不能比较大小，所以两个虚数不能比较大小是正确的.故选：D.4．B【分析】根据复数的基本概念判断即可；【详解】解：根据复数的基本概念，可得复数的虚部为.故选：B5．A【分析】根据复数的分类和性质可得答案.【详解】若（为虚数单位）为纯虚数，则，得，故选：A.6．C【分析】根据给定条件，利用复数的相关概念直接列式计算作答.【详解】复数的实部为1，复数的虚部为-a，则-a=1，解得，所以实数a等于-1.故选：C7．D【分析】根据复数相等可得，，进而即得.【详解】因为，所以，，即，，所以．故选：D．8．B【分析】通过反例可知①②错误；由且可构造方程组求得，知③正确.【详解】对于①，若，，则，①错误；对于②，若，，则，②错误；对于③，由，得：，解得：，③正确.故选：B.9．A【解析】由复数相等的充要条件可得且，再求解即可.【详解】解：由，得，且，解得，，所以或，故选：A.【点睛】本题考查了复数相等的充要条件，属基础题.10．B【分析】根据纯虚数的概念分析可知.【详解】由纯虚数的概念可知，若复数为纯虚数，则且，故“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：B11．B【分析】根据复数的性质有可知①的正误，，负数是实数的概念可知②的正误，复数相等时注意参数可判断③的正误.【详解】①由，则是的一个平方根，正确；②是一个虚部为的纯虚数，实数分正数、0、负数，错误；③如果，当时，当时不一定，错误；故正确命题为1个.故选：B12．D【分析】由复数的定义和复数运算可得结果.【详解】纯虚数不能比较大小，所以A不正确；，当时成立，所以B不正确；，当时成立，所以C不正确；，,所以D正确故选：D13．B【分析】由复数的坐标即可判断.【详解】,若，则，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B14．C【分析】因为为纯虚数，所以，可求出，进而可得，判断各个选项即可．【详解】对于A，因为为纯虚数，所以，所以，故A错误；对于B，当时，，复数在复平面内对应的点在第二象限，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，，故D错误．故选：C．15．D【分析】根据复数的运算法则，直接计算即可【详解】．由题意得解得．故选：D16．A【分析】令，结合已知有，列方程求参数a、b，进而求复数的模.【详解】若，则，而，由四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），所以，即，则，所以.故选：A17．C【分析】根据题意，先解出，进而判断答案.【详解】由得到解得，于是“”是“”的充要条件.故选：C.18．A【分析】由复数z的实部为，结合，由求解.【详解】因为复数z的实部为，所以，因为，所以，解得，（舍去），所以复数z的虚部．故选：A19．B【分析】由复数模的几何意义，转化为求原点到直线的距离．【详解】由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，的中点为，的最小值就是原点到直线的距离即为，故选：B．20．B【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值.【详解】根据题意，得，当，，时，，此时，所以.故选：B.21．C【分析】，则，再由两点之间的距离公式求解即可【详解】设，因为，所以，因为复数在复平面内对应的点分别为，，所以，所以，故当时，取得最大值，故选：C22．A【分析】根据复数的运算法则即可判断结果．【详解】，故A

正确；，故B错误；若x，，若有；若有；故是的充分不必要条件，C错误；若，取则，故D错故选：A23．B【分析】由已知得到，解出，对选项逐一验证即可.【详解】由已知可得，即，解得或计算选项中的三角函数可得，，，，故选：B.24．D【分析】根据实数对应点的坐标的特征可知①正确；通过反例可知②③④错误.【详解】对于①，实数在复平面内所对应的点的坐标为，均在实轴上，①正确；对于②，点在虚轴上，但所对应的数为实数，②错误；对于③，当时，为实数，③错误；对于④，当，时，，④错误；故选：D.25．D【分析】根据二次函数性质可确定对应的点的横纵坐标的正负，由此可得结果.【详解】令，则，恒成立；令，则，恒成立；对应的点为，对应的点位于第四象限.故选：D.26．C【分析】首先由模等于1得，则点为圆上的点,再结合的几何意义即可求出最值.【详解】若,即,点为圆上的点,，则其几何意义为圆上的点到点之间的距离,则的最大值为故选：C.27．D【分析】根据给定条件，利用复数的概念列式计算作答.【详解】，复数的实部和虚部分别为和4，因此，解得，所以实数和的值分别是.故选：D28．B【分析】复数的几何意义和向量的坐标运算即可求解.【详解】因为向量与对应的复数分别是，则，所以，则向量对应的复数为，故选：.29．B【分析】由纯虚数的定义得出实数.【详解】，因为复数是纯虚数，所以，且，解得.故选：B30．B【分析】根据复数的定义和几何意义解决即可.【详解】由题知，复数的共轭复数为，虚部为1，在复平面内对应的点为在第一象限，，故B错误故选：B31．(1)(2)且(3)或【分析】分式中分母不等于0，（1）表示实数，则b=0；（2）表示虚数，则b≠0；（3）表示纯虚数，则a=0且b≠0；【详解】（1）由题意知，∴当a=5时，复数z是实数.（2）由题意知，且∴当且时，复数z是虚数.（3）由题意知，或∴当或时，复数z是纯虚数.32．(1)6(2)【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得，再结合题意可得，再确定在复平面内对应的点的坐标即可；（2）先求出函数取最小值时对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.【详解】（1）由题意可得，因为，所以，又，所以，即，则，所以复数的虚部为．（2）因为，所以当时，取得最小值，此时，，则，所以的实部为．33．B【分析】由题知，进而解方程即可得答案.【详解】解：因为复数为纯虚数，所以，解得.故选：B34．D【分析】由复数几何意义可得对应点的坐标，代入函数解析式即可求得结果.【详解】对应的点为，，解得：.故选：D.35．A【分析】根据可求出点坐标，即可求出.【详解】由题可得，设，因为四边形OABC为平行四边形，所以，即，所以，解得，所以点B对应的复数为.故选：A.36．D【分析】根据复平面内各点的坐标，结合圆方程的几何求法求解圆心，再根据半径列式求解即可【详解】由题意，在复平面内对应的点分别为，由圆的性质可得，圆心在的中垂线上，设，则，故，解得，故，圆的半径，故，故正实数的值为故选：D37．A【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解【详解】因为，所以，解得，所以，故选：A38．C【分析】利用复数除法运算求得，根据复数在复平面内对应的点的坐标判断①的正误，根据复数的概念判断②的正误，根据复数的共轭复数可以判断③的正误，根据复数模的概念判断④的正误，利用方程在复数范围内求解判断⑤的正误.【详解】因为，所以在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，所以①正确；复数的虚部为，所以②错误；复数的共轭复数为，所以③错误；，所以④正确；方程在复数范围内的根为，所以复数是方程在复数范围内的一个根，所以⑤正确；所以正确的命题个数为3个，故选：C.39．ACD【分析】利用复数模的几何意义判断可得出结论.【详解】由复数的几何意义知复数、分别对应复平面内的点与点，所以表示点与点之间的距离，故A正确；，可表示为点到原点的距离，故C正确；，故B错误；与向量一一对应，则可表示坐标为的向量的模，故D正确.故选：ACD.40．CD【分析】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当，可得的不是纯虚数，故A错误；对于B中，当，可得，此时不是纯虚数，所以B错误；对于C中，当时，可得，所以为实数，所以C正确；对于D中，由，且，所以，所以D正确．故选：CD41．AD【分析】利用向量的加减法和复数模的结合意义，得到，再由线段的中点M对应的复数为，得到，即可求解.【详解】如图所示，由向量的加法及减法法则可知，，又由复数加法及减法的几何意义可知对应的模，对应的模，因为，所以四边形是矩形，则，又因为线段的中点M对应的复数为，所以，所以．故选：AD.42．AD【分析】设，根据题中的条件得到相应的轨迹，再分析、判断、计算可求解.【详解】对于A，设，则有，可知Z在复平面内的轨迹为圆，故A正确；对于B，设且，所以，所以在复平面内的轨迹是以和为端点的线段，故B不正确；对于C，设且，所以，所以在复平面内的轨迹是以和为焦点，长轴为的椭圆，其方程为，若，则有，两者联立，有解，，所以存在复数z同时满足和，故C不正确；对于D，设，若，则有，令则，（）令，可得，所以，于是得，故D正确.故选：AD43．AC【分析】根据给定复数，利用复数的概念及几何意义，逐项分析、计算判断作答.【详解】复数，，对于A，z对应复平面上的点在第四象限，则，解得，A正确；对于B，z是纯虚数，则，解得，B不正确；对于C，当时，复数z的虚部，z是虚数，C正确；对于D，当时，，则，D不正确.故选：AC44．AD【分析】对A，根据模长公式求解即可；对B，根据向量平行的坐标公式求解即可；对C，根据向量垂直的坐标公式求解的关系，再求解即可；对D，根据复数的几何意义数形结合求解即可【详解】对A，；对B，对应的坐标为，对应的坐标为，因为，故，即，故B错误；对C，若，则，即，因为，故，即，故，故C错误；对D，若，即，其几何意义为到的距离小于等于，又的几何意义为到的距离，故的最大值为故D正确；故选：AD45．CD【分析】根据已知复数逐个分析判断【详解】对于A，若复数为纯虚数，则且，方程组无解，所以复数不可能为纯虚数，所以A错误，对于B，若z是实数，则，解得或，所以或，所以B错误，对于C，因为，所以z的虚部与实部的差的最小值为，所以C正确，对于D，当z对应的点位于第二象限时，且，解得，所以D正确，故选：CD46．必要不充分【分析】利用复数的概念即可得到二者间的逻辑关系【详解】由、中至少有一个数是虚数，不妨设，此时不是虚数，则“、中至少有一个数是虚数”不是“是虚数”的充分条件不妨设，由是虚数，可得，则，则不成立，则、不能均为实数，则、中至少有一