3.2.1 单调性与最大（小）值（九大题型）（原卷版）

3.2.1单调性与最大（小）值【题型归纳目录】题型一：单调性的概念题型二：函数的单调性的证明题型三：求函数的单调区间题型四：利用函数单调性求参数的取值范围题型五：利用函数单调性的性质解不等式题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系题型七：求函数的最值题型八：抽象函数单调性的证明题型九：二次函数在闭区间上的最值问题【知识点梳理】知识点一、函数的单调性1、增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．知识点诠释：（1）属于定义域内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．上升趋势下降趋势2、单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．知识点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；④有的函数不具有单调性；⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大．3、证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4、函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．5、单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．知识点诠释：（1）单调区间必须在定义域内；（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性．（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数．7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．8、利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．知识点二、基本初等函数的单调性1、正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．2、一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．3、反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．4、二次函数若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．知识点三、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．【典型例题】题型一：单调性的概念例1．（2023·北京东城·高一校考期中）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（

）A． B．C． D．例2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（

）A．是增函数 B．是减函数C．是增函数 D．是减函数例3．（2023·全国·高一专题练习）下列命题正确的是（

）A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同变式1．（2023·高一课时练习）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（

）A．一定是增函数 B．没有单调性C．不可能是减函数 D．存在减区间变式2．（2023·高一单元测试）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数变式3．（2023·高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（

）A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增变式4．（2023·上海金山·高一上海市金山中学校考阶段练习）下列函数中，在是增函数的是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．题型二：函数的单调性的证明例4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.判断函数在上的单调性，并证明；例5．（2023·全国·高一专题练习）证明：函数在区间上是增函数.例6．（2023·北京·高一北理工附中校考期中）已知函数的图像经过点．(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性并证明．变式5．（2023·全国·高一专题练习）讨论函数，在上的单调性变式6．（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）英国著名物理学家牛顿曾研究过函数的图象，其形恰如希腊神话中海神波塞冬的武器——三叉戟，因此的图象又称为牛顿三叉戟曲线．(1)证明：在上为减函数；(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【方法技巧与总结】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？（作差）（3）如何判断一个式子的符号？（对差适当变形）题型三：求函数的单调区间例7．（2023·高一课时练习）如图为的图象，则它的单调递减区间是.例8．（2023·高一校考课时练习）函数的单调区间是．例9．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则的单调递增区间为.变式7．（2023·上海浦东新·高一校考期末）函数的增区间为.变式8．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调减区间为.变式9．（2023·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）函数的单调增区间为.变式10．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期中）函数的单调递减区间为．【方法技巧与总结】（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关．（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数．题型四：利用函数单调性求参数的取值范围例10．（2023·全国·高一专题练习）若在上单调递减，则实数满足（

）A． B． C． D．例11．（2023·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例12．（2023·甘肃临夏·高一校考期末）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式11．（2023·全国·高一专题练习）已知是上的增函数，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．变式12．（2023·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．变式13．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．变式14．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．（2）分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题．题型五：利用函数单调性的性质解不等式例13．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是R上的增函数，，是其图象上的两点，则的解集是（）A． B．C． D．例14．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在上的奇函数满足对任意的，且，都有，若，则的解集为（

）A． B． C． D．例15．（2023·全国·高一专题练习）定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．变式15．（2023·全国·高一专题练习）已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．变式16．（2023·浙江嘉兴·高一浙江省海盐高级中学校考开学考试）函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解．题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系例16．（2023·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设函数满足，则（

）A． B．C． D．例17．（2023·北京·高一北理工附中校考期中）已知，点都在二次函数的图象上，则（

）A． B． C． D．例18．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上是递减函数，且，则有（

）A． B．C． D．变式17．（2023·全国·高一专题练习）已知是函数的增区间，则下列结论成立的是（

）A． B． C． D．变式18．（2023·全国·高一专题练习）定义在R上函数满足以下条件：①函数图像关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．变式19．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（）A． B．C． D．不确定【方法技巧与总结】利用函数的单调性进行比较，数形结合．题型七：求函数的最值例19．（2023·四川眉山·高一校考期中）对任意，给定，，记函数，则的最小值是.例20．（2023·江西抚州·高一临川一中校联考期中）函数，对任意的，总存在，使得成立，则a的取值范围为．例21．（2023·云南西双版纳·高一统考期末）已知，对恒成立，则实数的取值范围．变式20．（2023·江苏扬州·高一期末）设函数．(1)证明：函数在上单调递减；(2)求函数的值域．变式21．（2023·全国·高一专题练习）求关于的二次函数在上的最小值．变式22．（2023·云南怒江·高一校考期中）已知(1)函数的值域；(2)用定义证明在区间上是增函数；(3)求函数在区间上的最大值与最小值．变式23．（2023·福建福州·高一闽侯县第一中学校考阶段练习）已知函数，．(1)判断并用定义证明在上的单调性；(2)若在上的最大值为m，且（，），求的最小值．变式24．（2023·高一课时练习）已知函数，求的值域．变式25．（2023·高一课时练习）求函数在区间上的最大值与最小值变式26．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)用定义法证明：在上单调递增；(3)求在上的最大值与最小值.【方法技巧与总结】（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．题型八：抽象函数单调性的证明例22．（2023·河北邯郸·高一校考期末）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．(1)求；(2)用定义证明的单调性；例23．（2023·湖北鄂州·高一校联考期中）①，.当时，；②，.当时，；③，.对，，当时，.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答此题.问题：对任意，均满足___________.(1)判断的单调性；(2)求不等式的解集.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.例24．（2023·全国·高一专题练习）已知的定义域为，对任意都有，当时，(1)求；(2)证明:在上是减函数；(3)解不等式:.变式27．（2023·全国·高一专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，．(1)求证：是上的增函数；(2)若，解不等式．变式28．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是，满足，时，对任意正实数x，y，都有．(1)求的值；(2)证明：函数在上是增函数；(3)求不等式的解集．变式29．（2023·全国·高一专题练习）函数是定义在上的函数，满足下列条件：①；②；③任意，有．(1)求的值；(2)判断并证明函数在区间上的单调性；(3)解不等式．变式30．（2023·全国·高一专题练习）设定义在R上的函数，满足当时，，且对任意，有．(1)求；(2)求证：对任意，都有；(3)解不等式；(4)解方程．变式31．（2023·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）若非零函数对任意实数a，b，均有，且当时，．(1)求的值．(2)求证：①任意，．②为减函数．(3)当时，解不等式．(4)若，求在上的最大值和最小值．【方法技巧与总结】研究抽象函数的单调性是依据定义和题设来进行论证的．一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“”型[即给出所具有的性质，如本例，二是“”型．对于型的函数，只需构造，再利用题设条件将它用与表示出来，然后利用题设条件确定的范围，从而确定与的大小关系；对型的函数，则只需构造即可．题型九：二次函数在闭区间上的最值问题例25．（2023·广东深圳·高一校考期中）已知二次函数，，的最大值为16；(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间的最大值.例26．（2023·全国·高一专题练习）（1）求二次函数在上的最小值；（2）求函数在闭区间上的最小值．例27．（2023·全国·高一课堂例题）设是正数，且函数在上的最大值为，求的表达式．变式32．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值为．求的解析式；变式33．（2023·高一单元测试）已知函数的最小值为.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.变式34．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)求的最小值;(2)求的最大值.变式35．（2023·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）设函数.(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值：(2)设函数在区间的最小值为，求.【方法技巧与总结】二次函数在闭区间上的最值问题由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴的位置（在区间上，还是在区间左边，还是在区间右边）来确定，当开口方向和对称轴的位置不确定时，则需要进行分类讨论．【过关测试】一、单选题1．（2023·黑龙江佳木斯·高一校考期中）若函数与在上都是单调递增的，则函数在上（）A．单调递减 B．单调递增C．先增后减 D．先减后增2．（2023·全国·高一专题练习）若函数在上单调函数，则的取值范围是（）A． B．C． D．3．（2023·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考开学考试）对于反比例函数，如果当时有最大值，则当时，有（

）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值4．（2023·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）关于函数的结论正确的是（

）A．值域是 B．单调递增区间是C．值域是 D．单调递增区间是5．（2023·河北保定·高一校联考阶段练习）设函数，其中实数．若的值域为，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2023·全国·高一专题练习）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2023·河北衡水·高一衡水市第二中学校考期中）已知函数的最小值是－1，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函数是上的增函数，则a的值可以是（

）A． B． C． D．110．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（

）A． B．，C．有最大值 D．最小值为011．（2023·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．