河南省地区联考2023-2024学年高二上学期豫选命题阶段性检测（一）数学试题

20232024学年度高二年级阶段性检测（一）数学（考试时间：120分钟试卷满分:150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上3.考试完毕后，将答题卡收回，在微信公众号查询成绩.4.考察范围选择性必修一一、单选题（共40分、每小题5分）1.空间四边形中，，，，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算解决即可.【详解】由题知，空间四边形中，，，，且，，如图，所以，所以，故选：D2.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又直线经过点，所以直线的方程为，即.故选：D3.如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.【详解】由，可得，因为底面为矩形，，，，所以，，又，所以，则.故选：B4.已知点在直线的上方，则a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先把直线化为斜截式，点在直线上方，即.【详解】直线化为斜截式得，点在直线的上方，即，解得.故选：A5.在正三棱锥中，是的中心，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将转化为，转化为，由三棱锥是正三棱锥可知，，即可将转化为，转化为，结合勾股定理即可求解．【详解】为正三棱锥，为的中心，∴平面，平面，∴，，△ABC是等边三角形，∴，，故，，则．故选：D.6.已知点在直线上的运动，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A7.设为函数（）图象上一点，点，为坐标原点，，的值为（）A.4 B. C.4 D.1【答案】A【解析】【分析】由数量积的定义表示求出，再利用条件，结合点在函数（）图象上，可求出点，从而解决问题.详解】设点，则，，，又，则可得，又，则，解得，所以.故选：A8.如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（）A.平面平面B.线段的最小值为C.当，时，点D到直线的距离为D.当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为【答案】C【解析】【分析】取的中点，易知，结合条件及线面垂直的判定定理可得平面，进而有平面平面，即可判断A；建立坐标系，利用向量法可判断BCD.【详解】取的中点，连接，∵菱形中，，，∴，又，∴，所以，又易知，因为，，，所以平面，因为平面，所以平面平面，故A正确；以为原点，分别为轴建立坐标系，则，当，时，，，，，所以点D到直线PQ的距离为，故C错误；设，设，可得，，当时，，故B正确；当P，Q分别为线段BD，CA中点时，，，，，设PQ与AD所成的角为，则，所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；故选：C.二、多选题（共20分，每小题5分，多选得2分，错选不得分）9.如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角，再根据直线的倾斜程度判断其绝对值的大小，得出答案.【详解】由图可知直线l，m，n的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角，所以又直线m最陡峭，则，所以，，．故选项BCD正确.故选：BCD10.若，，与的夹角为120°，则的值为（）A. B.17 C.1 D.【答案】BD【解析】【分析】由空间向量夹角的坐标表示求解【详解】由题意得解得或故选：BD11.下列说法正确的是（）A.已知直线与直线垂直，则实数a的值是B.直线必过定点C.直线在y轴上的截距为D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】BC【解析】【分析】根据直线垂直关系列方程求，判断选项A；将直线方程化为点斜式即可判断选项B；根据截距的定义判断选项C，根据条件求出满足要求的直线方程，判断选项D.【详解】解：对A：因为直线与直线垂直，则，解得或，A不正确；对B：直线可变为，因此直线必过定点，即B正确；对C：由直线方程取，得，所以直线在y轴上的截距为，所以C正确．对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；故选：BC．12.如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（）A.平面B.点到平面的距离为C.正方体的内切球半径为D.平面与平面夹角的余弦值为【答案】AB【解析】【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断；对于B，利用点面距离的向量公式求解即可判断；对于C，根据正方体的内切球的直径为正方体的棱长，即可判断；对于D，利用面面角的向量法求解即可判断.【详解】对于A，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，由于平面，所以平面，A正确；对于B，由A可知，平面的一个法向量为，，所以点到平面的距离为，B正确；对于C，因为正方体的内切球的直径为正方体的棱长，所以正方体的内切球半径为，C错误；对于D，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，D错误.故选：AB.三、填空题（共20分，每小题5分）13.已知空间向量满足，，则与的夹角为_________．【答案】##60°【解析】【分析】根据题设知可构成三角形，利用余弦定理求与的夹角.【详解】由，即首尾相连可构成三角形，所以，又，故.故答案为：14.直线与直线之间的距离为_____________．【答案】【解析】【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案.【详解】直线可化为，则直线与直线平行,故直线与直线之间的距离为，故答案为：.15.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：①当点是中点时，直线平面；②平面截正方体所得的截面图形是六边形；③不可能直角三角形；④面积的最小值是.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①④【解析】【分析】根据中位线的性质证线线平行后可得线面平行来判定①，利用平面的性质构造相交线可判定②，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积可判定③，利用空间中点到直线的距离可判定④【详解】对①，如图所示，因为是中点，，连接，显然也是的中点，连接，所以，而平面，平面，所以直线平面，①正确；对②，如图直线与的延长线分别交于连接，分别交于，连接，则五边形即为所得的截面图形，故②错误；以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，对③，设，则，则，若，则得，由，故存在点，使得，故可能为直角三角形，③错误；对④，由③得到的投影为，故到的距离，面积为，当时，取得最小值为，④正确.故答案为：①④.16.已知实数满足，，则的最大值为______.【答案】##【解析】【分析】设圆，直线，，，求出∠MON的大小，求出MN中点的轨迹方程，表示和到直线的距离和，数形结合即可求出其最大值．【详解】设圆，直线，，，则，都在圆上，∵，，∴△MON是等边三角形，∴．表示和到直线的距离和，由图形得只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值．取、的中点，过作，垂足为，则，∵为等边三角形，为的中点，∴，则在圆上运动，则当MN∥l时，到直线距离的最大值为，∴的最大值为．故答案为：四、解答题（共70分）17.已知向量（1）求；（2）求向量与夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的模长坐标公式，可得答案；（2）根据向量数量积的公式，结合模长公式，再由夹角公式，可得答案.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】因为，所以，又因为，所以故与夹角的余弦值为.18.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：.（1）当l1//l2时，求实数a的值；（2）当l1⊥l2时，求实数a的值.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可；（2）根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可.【详解】解：由题意得：（1）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：，l2：时，解得a＝1综上可知，当a＝1时，l1//l2(方法2)∵l1//l2∴⇔解得a＝－1故当a＝－1时，l1//l2.（2）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：，l2：由，得(方法2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得19.如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．（1）以为一组基底表示向量；（2）若，，，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．【小问1详解】∵为线段的中点，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】．20.已知的三个顶点分别为．求：（1）边上的中线所在直线的方程；（2）的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题可得AC中点坐标，结合中线过B点，可得答案；（2）由两点间距离公式可得边长，由点到直线距离公式可得高.【小问1详解】设AC边上的中点为D，则，即，故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，故为：，即．【小问2详解】边AC所在直线的方程为：，且，点B到直线AC的距离为：，故的面积：21.1.已知直线l：（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【答案】（1）证明见解析（2）（3）4，【解析】【分析】（1）将含有k的式子整理在一起并将k提出，令k的系数为0，进而得到答案；（2）将直线化为斜截式，结合（1）对直线斜率和纵截距进行限制，最后得到答案；（3）算出直线与坐标轴交点的坐标，进而通过基本不等式求出面积的最小值，及此时直线的方程.【小问1详解】，令x+2=0，则3y+3=0，则直线l过定点（2,1）.【小问2详解】直线l：，因为直线不过第四象限，且直线的定点（2,1）在第二象限，所以.【小问3详解】由题意，，令x=0，得，令y=0，得，所以，当且仅当（负值舍去），则直线l：.22.如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．（1）证明：；（2）求点到平面的距