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文档简介
第第页专题2.1平行线的判定【十一大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对顶角的识别及其性质】 1【题型2平行、垂直】 6【题型3平行公理及其推论】 8【题型4同位角相等,两直线平行】 11【题型5内错角相等,两直线平行】 13【题型6同旁内角互补,两直线平行】 16【题型7平行线的判定方法的综合运用】 19【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】 22【题型9平行线判定的实际应用】 26【题型10余角和补角的计算】 29【题型11同(等)角的余角和补角相等的运用】 33【题型1对顶角的识别及其性质】【例1】(2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中)下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是()A. B.C. D.【答案】C【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可.【详解】解:A、∠1与∠2的顶点不相同,故不是对顶角,此选项不符合题意;B、∠1与∠2的一边不是反向延长线,故不是对顶角,此选项不符合题意;C、∠1与∠2是对顶角,故此选项符合题意;D、∠1与∠2的一边不是反向延长线,故不是对顶角,此选项不符合题意.故选:C.【点睛】本题考查的是对顶角的判断,有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义,正确判断.【变式1-1】(2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末)已知:如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOC,∠EOC=25∠COB(1)图中的对顶角有对,它们是.(2)图中互补的角有对,它们是.(3)求∠EOD的度数.【答案】(1)两;∠AOC和∠BOD,∠BOC和∠AOD(2)八;∠AOC和∠BOC,∠AOC和∠AOD,∠BOD和∠AOD,∠BOD和∠BOC,∠AOE和∠BOE,∠EOC和∠EOD,∠EOC和∠EOB,∠AOE和∠EOD(3)140°【分析】(1)根据对顶角的定义,判断即可;(2)根据补角的定义进行判断即可;(3)根据OE平分∠AOC,得出∠EOC=∠AOE,设∠BOC=x,则∠EOC=∠AOE=25x,列出关于x的方程,解方程即可得出∠BOC(1)解:图中的对顶角有:∠AOC和∠BOD,∠BOC和∠AOD.故答案为:两;∠AOC和∠BOD,∠BOC和∠AOD.(2)图中互补的角有:∠AOC和∠BOC,∠AOC和∠AOD,∠BOD和∠AOD,∠BOD和∠BOC,∠AOE和∠BOE,∠EOC和∠EOD,∵OE平分∠AOC,∴∠AOE=∠COE,∵∠AOE+∠BOE=180°,∴∠COE+∠BOE=180°,∴∠EOC和∠EOB互补,∵∠COE+∠EOD=180°,∴∠AOE+∠EOD=180°,∴∠AOE和∠EOD互补.故答案为:八;∠AOC和∠BOC,∠AOC和∠AOD,∠BOD和∠AOD,∠BOD和∠BOC,∠AOE和∠BOE,∠EOC和∠EOD,∠EOC和∠EOB,∠AOE和∠EOD.(3)∵OE平分∠AOC,∴∠EOC=∠AOE,设∠BOC=x,则∠EOC=∠AOE=25x25x+25x+解得:x=100°∴∠EOC=∠AOE=12∴∠DOE=100°+40°=140°,答:∠EOD的度数为140°.【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义,熟练掌握相关定义,根据题意求出∠BOC的度数,是解题的关键.【变式1-2】(2021·山东·济南市钢城区实验学校期末)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF平分∠AOD,若∠【答案】65°【分析】根据角平分线的定义可得∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°,根据垂线的性质可得∠EOD【详解】解:∵OF平分∠AOD,∠AOD=50°,∴∠FOD=∠AOF=12∠AOD∵OE⊥CD,∴∠EOD=90°,∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=90°-25°=65°.【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义,熟练掌握相关的性质是解答本题的关键.【变式1-3】(2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习)直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.(1)若∠AOC=76°,∠BOF=______度.(2)若∠BOF=36°,∠AOC的度数是多少?【答案】(1)33(2)∠AOC的度数是72°【分析】(1)根据对顶角、邻补角、角平分线的定义,求出∠EOF和∠EOB的度数,再根据角的和差即可得∠BOF的度数;(2)根据对顶角、邻补角、角平分线的定义,先用∠BOE的等式表示∠AOC,再根据角分线的定义,列出等式即可求得结果.(1)∵∠AOC=76°,∴∠BOD=∠AOC=76°,∵OE平分∠BOD,∴∠BOE=∠DOE=38°,∵∠COE+∠DOE=180°,∴∠COE=180°−∠DOE=142°,∵OF平分∠COE,∴∠EOF=∠COF=71°,∵∠BOF+∠BOE=∠EOF,∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°故答案为:33;(2)设∠AOC=x°,∴∠BOD=∠AOC=x°,∵OE平分∠BOD,∴∠BOE=∠DOE=1∵∠COE+∠DOE=180°,∴∠COE=180°−∠DOE=180°−1∵OF平分∠COE,∴∠EOF=∠COF=1∵∠BOF+∠BOE=∠EOF,∠BOF=36°∴36°+1∴x=72°.【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义,解题关键是观察图形分清楚哪两个角相等,哪些角相加得180度.【题型2平行、垂直】【例2】(2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末)如图,点A在直线l1上,点B,C在直线l2上,AB⊥l2,AC⊥l1,AB=4,BC=3,则下列说法正确的是()A.点A到直线l2的距离等于4B.点C到直线l1的距离等于4C.点C到AB的距离等于4D.点B到AC的距离等于3【答案】A【分析】根据点到直线的距离的定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,即可得到答案.【详解】解:点A到直线l2的距离为AB的长,等于4,故A正确;点C到直线l1的距离为AC的长,大于4,故B错误;点C到AB的距离为BC的长,等于3,故C错误;同理,点B到AC的距离也不是3,故D错误,故选:A【点睛】本题考查点到直线的距离,掌握定义是解题的关键.【变式2-1】(2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习)下列说法正确的是(
)A.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,bB.在同一平面内,a,b,c是直线,且a⊥b,b⊥c,则a⊥cC.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥cD.在同一平面内,a,b,c是直线,且,a∥b,b【答案】A【分析】根据平行线的性质分析判断即可.【详解】A.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b∥B.在同一平面内,a,b,c是直线,且a⊥b,b⊥c,则a//C.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则D.在同一平面内,a,b,c是直线,且,a∥b,b∥故选:A.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,准确分析判断是解题的关键.【变式2-2】(2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习)如图,因为AB⊥l,BC⊥l,B为垂足,所以AB和BC重合,其理由是(
)A.两点确定一条直线B.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C.垂直同一条直线的两条直线平行D.垂线段最短【答案】B【分析】利用“平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,逐一分析,排除错误答案即可.【详解】解:A.点A、C可以确定一条直线,但不可以确定三点B、A、C都在直线l的垂线上,故本选项错误;B.直线BA、BC都经过一个点B,且都垂直于直线l,故本选项正确;C.在同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故本选项错误;D.此题没涉及到线段的长度,故本选项错误;故选:B.【点睛】本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短,熟练掌握和运用各定义和性质是解决本题的关键.【变式2-3】(2022·江苏·九年级)如图,点A、点B是直线l上两点,AB=10,点M在直线l外,MB=6,MA=8,∠AMB=90°,若点P为直线l上一动点,连接MP,则线段MP的最小值是____.【答案】4.8【分析】根据垂线段最短可知:当MP⊥AB时,MP有最小值,利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值.【详解】解:当MP⊥AB时,MP有最小值,∵AB=10,MB=6,MA=8,∠AMB=90°,∴AB•MP=AM•BM,即10MP=6×8,解得MP=4.8.故答案为:4.8.【点睛】本题主要考查垂线段最短,三角形的面积,找到MP最小时的P点位置是解题的关键.【知识点平行线的判定】1.平行公理及其推论①经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.②如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.2.平行线的判定方法①两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.(同位角相等,两直线平行).②两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.(内错角相等,两直线平行.③两直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,则这两条直线平行.(同旁内角互补,两直线平行.)【题型3平行公理及其推论】【例3】(2022·江西上饶·七年级期中)同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是(
)A.a∥d B.b⊥d C.a⊥d 【答案】C【分析】根据同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行,可证a∥c,再结合c⊥d,可证【详解】解:∵a⊥b,b⊥c,∴a∥∵c⊥d,∴a⊥d,故选:C.【点睛】本题主要考查了平行线及垂线的性质,解题的关键是掌握同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.【变式3-1】(2022·河南漯河·七年级期末)如图,工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b,得到a∥b,理由是(
)A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行【答案】B【分析】三条直线AB、a、b位于同一平面内,且直线a与直线b都垂直于AB,即可根据在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出a∥b.【详解】∵直线AB、a、b位于同一平面内,且AB⊥a、AB⊥b∴a∥b(同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行)故答案为B.【点睛】本题考查了平行线判定的性质,根据已知题目反应出两条直线是同一平面内,且同时垂直于一条直线是本题的关键.【变式3-2】(2022·湖北武汉·七年级期中)下列命题:①内错角相等;②两个锐角的和是钝角;③a,b,c是同一平面内的三条直线,若a//b,b//c,则a//c;④a,b,c是同一平面内的三条直线,若ab,bc,则ac;其中真命题的个数是(
)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【分析】根据平行线性质可判断①,根据两锐角的大小求和可判断②,根据平行公理推论可判断③,根据垂直定义得出∠1=∠2=90°,然后利用同位角相等,两直线平行的判定可判断④.【详解】解:①两直线平行,内错角相等,故①不正确;②两个锐角的和可以是锐角,直角,钝角,故②不正确;③a,b,c是同一平面内的三条直线,若a//b,b//c,则a//c,故③正确;④a,b,c是同一平面内的三条直线,如图∵ab,bc,∴∠1=90°,∠2=90°,∴∠1=∠2∴a∥c,故④不正确;∴真命题只有1个.故选A.【点睛】本题考查平行线的性质与判定,两锐角和的大小,掌握平行线的性质与判定,锐角定义是解题关键.【变式3-3】(2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年级期末)如图,AB∥CD,如果∠1=∠2,那么EF与AB平行吗?说说你的理由.解:因为所以____________∥___________.(
)又因为AB∥所以AB∥EF.(【答案】CD∥EF;内错角相等,两直线平行;平行于同一直线的两条直线平行【分析】根据平行线的判定定理完成填空即可求解.【详解】解:因为∠1=∠2,所以CD∥EF.(内错角相等,两直线平行)又因为AB∥所以AB∥【点睛】本题考查了平行线的判定,平行公理,掌握平行线的判定定理是解题的关键.【题型4同位角相等,两直线平行】【例4】(2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末)如图,AB⊥MN,垂足为B,CD⊥MN,垂足为D,∠1=∠2.在下面括号中填上理由.因为AB⊥MN,CD⊥MN,所以∠ABM=∠CDM=90°.又因为∠1=∠2(),所以∠ABM−∠1=∠CDM−∠2(),即∠EBM=∠FDM.所以EB∥【答案】
已知
等量减等量,差相等
同位角相等,两直线平行【分析】根据垂线的定义,得出∠ABM=∠CDM=90°,再根据角的等量关系,得出∠EBM=∠FDM,然后再根据同位角相等,两直线平行,得出EB∥【详解】因为AB⊥MN,CD⊥MN,所以∠ABM=∠CDM=90°.又因为∠1=∠2(已知),所以∠ABM−∠1=∠CDM−∠2(等量减等量,差相等),即∠EBM=∠FDM.所以EB∥【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定,解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理.【变式4-1】(2022·湖北·蕲春县向桥乡白水中学七年级阶段练习)如图,过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法,其依据是______.【答案】同位角相等,两直线平行【分析】作图时保持∠1=∠2,根据同位角相等,两直线平行即可画出已知直线的平行线.【详解】解:过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法,其依据是:同位角相等,两直线平行.故答案为:同位角相等,两直线平行.【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质,平行公理,解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质.【变式4-2】(2022·山东泰安·七年级期末)如图,AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3.请说明线段BE与DF的位置关系?为什么?【答案】BE∥DF,见解析【分析】由已知推出∠3+∠4=90°,利用∠1+∠2=90°,∠2=∠3,得到∠1=∠4,即可得到结论BE∥DF.【详解】解:BE∥DF,∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠3+∠4=90°,∵∠1+∠2=90°,∠2=∠3,∴∠1=∠4,∴BE∥DF.【点睛】此题考查了平行线的判定定理,熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键.【变式4-3】(2022·北京东城·七年级期末)如图,直线l与直线AB,CD分别交于点E,F,∠1是它的补角的3倍,∠1−∠2=90°.判断AB与CD的位置关系,并说明理由.【答案】AB∥CD;理由见解析【分析】先根据补角的定义求出∠1的度数,然后求出∠CFE和∠2的度数,最后根据平行线的判定进行解答即可.【详解】解:AB∥CD;理由如下:∵∠1是它的补角的3倍,∴设∠1=α,则∠1的补角为13∴α+1解得:α=135°,∴∠1=135°,∴∠CFE=180°−∠1=45°,∵∠1−∠2=90°,∴∠2=∠1−90°=45°,∴∠2=∠CFE=45°,∴AB∥CD.【点睛】本题主要考查了补角的有关计算,平行线的判定,根据题意求出∠2=∠CFE=45°,是解题的关键.【题型5内错角相等,两直线平行】【例5】(2022·山东·曲阜九巨龙学校七年级阶段练习)如图,点A在直线DE上,AB⊥AC于A,∠1与∠C互余,DE和BC平行吗?若平行,请说明理由.【答案】平行,理由见解析【分析】由垂直定义可得∠BAC=90°,根据平角定义得∠1+∠BAC+∠CAE=180°,即可得出∠1+∠CAE=90°,由∠1与∠C互余,根据余角的性质即可得出∠CAE=∠C,根据平行线的判定定理即可得出结论.【详解】解:平行,理由如下:∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°,∴∠1+∠CAE=90°,∵∠1与∠C互余,即∠1+∠C=90°,∴∠CAE=∠C,∴DE∥BC.【点睛】本题考查平行线的判定,余角的性质,熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.【变式5-1】(2022·北京市房山区燕山教委八年级期中)如图,已知∠1=75°,∠2=35°,∠3=40°,求证:a∥b.【答案】见解析【分析】先根据三角形内角和性质,求得∠4=75°,再根据∠1=75°,即可得到∠1=∠4,进而判定a∥【详解】证明:如下图:∵∠4=∠3+∠2=75°,又∵∠1=75°,∴∠1=∠4,∴a∥【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及三角形内角和性质,解题时注意:内错角相等,两直线平行.【变式5-2】(2022·福建·莆田第二十五中学八年级阶段练习)如图,CF是△ABC外角∠ACM的平分线,∠ACB=40°,【答案】证明见解析【分析】由角平分线的定义及补角的定义可求得∠ACE的度数,即可得∠【详解】证明:∵∠ACB∴∠ACM∵CF是△ABC外角∠∴∠ACF∵∠A∴∠A∴AB∥【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质和平行线的判定,证得∠A【变式5-3】(2022·辽宁·阜新市第十中学七年级期中)如图,AB∥DE,∠1=∠ACB,∠CAB=12∠BAD,试说明AD∥BC【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得∠BAC=∠1,等量代换得∠ACB=∠BAC,根据∠CAB=12∠BAD可得∠ACB【详解】证明:∵AB∥∴∠BAC=∠1,∵∠1=∠ACB,∴∠ACB=∠BAC,∵∠CAB=1∴∠ACB=∠DAC,∴AD∥【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,解题的关键是掌握平行线的判定与性质.【题型6同旁内角互补,两直线平行】【例6】(2022·河北衡水·七年级阶段练习)已知:∠A=∠C=120°,∠AEF=∠CEF=60°,求证:AB∥【答案】见解析【分析】根据同旁内角互补,两直线平行,再根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证明结论.【详解】证明:∵∠A=∠C=120°,∠AEF=∠CEF=60°,∴∠A+∠AEF=180°,∠C+∠CEF=180°,∴AB∥EF,CD∥EF,∴AB∥CD.【点睛】本题考查了平行线的判定,解决本题的关键是掌握平行线的判定.【变式6-1】(2022·西藏昂仁县中学七年级期中)如图,∠CAD=20°,∠B=70°,AB⊥AC,求证:AD∥BC.【答案】见解析【分析】根据同旁内角互补,两直线平行证明即可.【详解】解:∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,∵∠CAD=20°,∠B=70°,∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°,∴AD∥BC.【点睛】本题考查平行线的判定、垂直定义,熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键.【变式6-2】(2022·甘肃·平凉市第七中学七年级期中)如图,∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC.(1)∠DAB+∠B等于多少度?(2)AD与BC平行吗?请说明理由.【答案】(1)∠DAB+∠B=180°(2)AD∥BC;理由见解析【分析】(1)由已知可求得∠DAB=120°,从而可求得∠DAB+∠B=180°;(2)根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC.(1)解:∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°.又∵∠1=30°,∴∠BAD=120°,∵∠B=60°,∴∠DAB+∠B=180°.(2)解:AD∥BC.理由如下:∵∠DAB+∠B=180°,∴AD∥BC.【点睛】本题主要考查了平行线的判定,解题的关键是熟练掌握同旁内角互补,两直线平行.【变式6-3】(2022·北京市第五中学分校七年级期末)如图,已知点E在BC上,BD⊥AC,EF⊥AC,垂足分别为D,F,点M,G在AB上,GF交BD于点H,∠BMD+∠ABC=180°,∠1=∠2,求证:MD∥GF.下面是小颖同学的思考过程,请补全证明过程并在括号内填上证明依据.证明:∵BD⊥AC,EF⊥AC,∴∠BDC=90°,∠EFC=90°(①).∴∠BDC=∠EFC(等量代换).∴BD∥EF(同位角相等,两直线平行).∴∠2=∠CBD(②).∵∠1=∠2(已知).∴∠1=∠CBD(等量代换).∴③(内错角相等,两直线平行).∵∠BMD+∠ABC=180°(已知),∴MD∥BC(④).∴MD∥GF(⑤).【答案】垂直的定义;两直线平行,同位角相等;GF∥BC;同旁内角互补,两直线平行;平行于同一直线的两直线平行.【分析】根据垂直定义得出∠BDC=∠EFC,根据平行线的判定推出BD∥EF,根据平行线的性质得出∠CBD=∠2,求出∠CBD=∠1,根据平行线的判定得出GF∥BC,GF∥MD即可.【详解】证明:∵BD⊥AC,EF⊥AC,∴∠BDC=90°,∠EFC=90°(垂直的定义).∴∠BDC=∠EFC(等量代换).∴BD∥EF(同位角相等,两直线平行).∴∠2=∠CBD(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2(已知).∴∠1=∠CBD(等量代换).∴GF∥BC(内错角相等,两直线平行).∵∠BMD+∠ABC=180°(已知),∴MD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).∴MD∥GF(平行于同一直线的两直线平行).故答案为:垂直的定义;两直线平行,同位角相等;GF∥BC;同旁内角互补,两直线平行;平行于同一直线的两直线平行.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质;熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.【题型7平行线的判定方法的综合运用】【例7】(2022·广西贺州·七年级期末)如图,有下列条件:①∠1=∠2;②∠3+∠4=180°;③∠5+∠6=180°;④∠2=∠3.其中,能判断直线a∥A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【分析】同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.依据平行线的判定方法即可得出结论.【详解】解:①由∠1=∠2,可得a∥b;②由∠3+∠4=180°,可得a∥b;③由∠5+∠6=180°,∠3+∠6=180°,可得∠5=∠3,即可得到a∥b;④由∠2=∠3,不能得到a∥b;故能判断直线a∥b的有3个,故选:B.【点睛】本题主要考查平行线的判定,掌握平行线的判定方法是解决问题的关键.【变式7-1】(2022·浙江台州·七年级期末)在铺设铁轨时,两条直轨必须是互相平行的,如图,已经知道∠2是直角,那么再度量图中已标出的哪个角,不能判断两条直轨是否平行(
)A.∠1 B.∠3 C.∠4 D.∠5【答案】A【分析】因为∠2是直角,只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角,根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案.【详解】因为∠2是直角,∠4和∠2是同位角,如果度量出∠4=90根据“同位角相等,两直线平行”,就可以判断两条直轨平行,∠5和∠2是内错角,如果度量出∠5=90根据“内错角相等,两直线平行”,就可以判断两条直轨平行,∠3和∠2是同旁内角,如果度量出∠3=90根据“同旁内角互补,两直线平行”,就可以判断两条直轨平行,所以答案为:A.【点睛】本题考查两直线平行的判定定理,解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理.【变式7-2】(2022·山西临汾·七年级期末)在下列图形中,已知∠1=∠2,一定能推导出l1∥lA. B. C. D.【答案】D【分析】根据邻补角的定义,对顶角相等和平行线的判定定理即可求解.【详解】解:A.如图,∵∠1=∠2,∠1+∠3=180°,∴∠2+∠3=180°,∴不能推导出l1B.如图,∵∠1=∠2,∠1+∠3=180°,∴∠2+∠3=180°,∴不能推导出l1C.如图,∵∠1=∠2,∠1+∠3=180°,∴∠2+∠3=180°,∴不能推导出l1D.如图,∵∠1=∠2,∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴一定能推导出l1故选:D.【点睛】本题考查了平行线的判定,关键是熟悉同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行的知识点.【变式7-3】(2022·山东日照·七年级期末)如图,在下列给出的条件中,不能判定DE∥BC的是(A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠5=∠C D.∠B+∠BDE=180°【答案】B【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可.【详解】因为∠1=∠2,所以DE∥故A不符合题意;因为∠3=∠4,不能判断DE∥故B符合题意;因为∠5=∠C,所以DE∥故C不符合题意;因为∠B+∠BDE=180°,所以DE∥故D不符合题意;故选B.【点睛】本题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】【例8】(2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习)如图,在四边形ABCD中,∠ADC+∠ABC=180°,∠ADF+∠AFD=90°,点E、F分别在DC、AB上,且BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC,判断BE、DF是否平行,并说明理由.【答案】平行,理由见解析【分析】先根据角平分线的定义可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC,从而可得【详解】解:BE∥DF,理由如下:∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC,∴∠ABE=1∵∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADF+∠ABE=1又∵∠ADF+∠AFD=90°,∴∠ABE=∠AFD,∴BE∥DF.【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解题关键.【变式8-1】(2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期末)将下列证明过程补充完整:已知:如图,点E在AB上,且CE平分∠ACD,∠1=∠2.求证:AB∥证明:∵CE平分∠ACD(已知),∴∠2=∠().∵∠1=∠2(已知),∴∠1=∠().∴AB∥CD(【答案】ECD;角平分线的性质;ECD;等量代换;内错角相等,两直线平行【分析】根据平行线的判定依据角平分线的性质即可解决问题.【详解】证明:∵CE平分∠ACD,∴∠2=∠ECD(角平分线的性质),∵∠1=∠2.(已知),∴∠1=∠ECD(等量代换),∴AB∥CD(内错角相等两直线平行).故答案为:ECD;角平分线的定义;ECD;等量代换;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定和角平分线的性质,解题的关键是根据平行线的判定解答.【变式8-2】(2022·辽宁沈阳·七年级期末)按逻辑填写步骤和理由,将下面的证明过程补充完整如图,直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F,且∠1=∠2.∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E,∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C.求证:BE∥CF.证明:∵∠1=∠2(已知)∠ABF=∠1(对顶角相等)∠BFG=∠2(____________)∴∠ABF=______(等量代换)∵BE平分∠ABF(已知)∴∠EBF=1∵FC平分∠BFG(已知)∴∠CFB=1∴∠EBF=______∴BE∥CF(____________)【答案】对顶角相等;∠BFG;∠ABF;角平分线的定义;∠BFG;角平分线的定义;∠CFB;内错角相等,两直线平行;【分析】根据对顶角的定义,平行线的判定,角平分线的性质,结合上下文填空即可.【详解】证明:∵∠1=∠2(已知)∠ABF=∠1(对顶角相等)∠BFG=∠2(对顶角相等)∴∠ABF=∠BFG(等量代换)∵BE平分∠ABF(已知)∴∠EBF=12∠ABF(∵FC平分∠BFG(已知)∴∠CFB=12∠BFG(∴∠EBF=∠CFB,∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行),故答案为:对顶角相等;∠BFG;∠ABF;角平分线的定义;∠BFG;角平分线的定义;∠CFB;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题考查对顶角的定义及性质,平行线的判定,角平分线的性质,能够熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键.【变式8-3】(2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末)如图,点G在CD上,已知∠BAG+∠AGD=180°,EA平分∠BAG,FG平分∠AGC.请说明AE∥GF的理由.解:因为∠BAG+∠AGD=180°(已知),∠AGC+∠AGD=180°(______),所以∠BAG=∠AGC(______).因为EA平分∠BAG,所以∠1=1因为FG平分∠AGC,所以∠2=1得∠1=∠2(等量代换),所以______(______).【答案】平角的定义;同角的补角相等;角平分线的定义;∠AGC;AE∥GF;内错角相等,两直线平行【分析】由题意可求得∠BAG=∠AGC,再由角平分线的定义得∠1=12∠BAG,∠2=12【详解】解:∵∠BAG+∠AGD=180°(已知),∠AGC+∠AGD=180°(平角的定义),∴∠BAG=∠AGC(同角的补角相等).∵EA平分∠BAG,∴∠1=1∵FG平分∠AGC,∴∠2=1∴∠1=∠2(等量代换),∴AE∥GF(内错角相等,两直线平行).故答案为:平角的定义;同角的补角相等;角平分线的定义;∠AGC;AE∥GF;内错角相等,两直线平行.【点睛】本题主要考查角平分线的定义,补角的性质和平行线的判定,解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用.【题型9平行线判定的实际应用】【例9】(2022·全国·七年级课时练习)如图,若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行,则旋转的最小角度为()A.65° B.85° C.95° D.115°【答案】B【分析】根据同位角相等两直线平行可得当∠AOB=65°时,a∥【详解】解:∵当∠AOB=65°时,a∴旋转的最小角度为150°﹣65°=85°,故选:B【点睛】此题主要考查了平行线的判定,关键是掌握同位角相等两直线平行.【变式9-1】(2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习)如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中,不一定能判断纸带两条边a,b互相平行的是()A.如图1,展开后测得∠1=∠2 B.如图2,展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C.如图3,测得∠1=∠2 D.在图4中,展开后测得∠1+∠2=180°【答案】C【分析】根据平行线的判定定理,进行分析,即可解答.【详解】A、当∠1=∠2时,内错角相等,两直线平行,所以a∥B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘,所以a∥C、∠1=∠2不能判定a,b互相平行;D、∠1+∠2=180°时,同旁内角互补,两直线平行,所以a∥故选:C.【点睛】本题考查平行线的判定,掌握平行线的判定定理是解题的关键.同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.【变式9-2】(2022·全国·七年级)一辆汽车在广阔的草原上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,那么这两次拐弯的角度可能是(
)A.第一次向右拐40°,第二次向右拐140°.B.第一次向右拐40°,第二次向左拐40°.C.第一次向左拐40°,第二次向右拐140°.D.第一次向右拐140°,第二次向左拐40°.【答案】B【分析】画出图形,根据平行线的判定分别判断即可得出.【详解】A.如图,由内错角相等可知,第二次拐弯后与原来平行,但方向相反,故不符合题意;B.如图,由同位角相等可知,第二次拐弯后与原来平行,且方向相同,故符合题意;C.如图,由内错角不相等可知,第二次拐弯后与原来不平行,故不符合题意;D.如图,由同位角不相等可知,第二次拐弯后与原来不平行,故不符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了平行线的判定,正确画出图形,熟记判定定理是解题的关键.【变式9-3】(2022·江苏·南京外国语学校七年级期中)如图,a、b、c三根木棒钉在一起,∠1=70°,∠2=100°,现将木棒a、b同时顺时针旋转一周,速度分别为18度/秒和3度/秒,两根木棒都停止时运动结束,则___________秒后木棒a,b平行.【答案】2或14或50或110【分析】设t秒后木棒a,b平行,分四种情况讨论:当0<t≤509秒时,当509<t≤20时,当【详解】解:设t秒后木棒a,b平行,根据题意得:当0<t≤509秒时,解得:t=2;当509<t≤20时,解得:t=14;当t>20时,木棒a停止运动,当20<t≤703时,解得:t=-10;(不合题意,舍去)当t>703时,3t−70=180−100或解得:t=50或t=110;综上所述,2或14或50或110秒后木棒a,b平行.故答案为:2或14或50或110【点睛】本题主要考查了平行线的判定,一元一次方程的应用,明确题意,利用分类讨论思想解答是解题的关键.【题型10余角和补角的计算】【例10】(2022·河南平顶山·七年级期中)如图,点O在直线AB上,CO⊥AB,∠1=28°,OE是∠AOD的平分线,OF⊥OE.(1)求∠AOE的度数.(2)找出图中与∠BOF互补的角,并求出∠BOF补角的度数.【答案】(1)59°(2)∠AOF和∠COE,31°【分析】(1)利用余角互余关系求得∠BOD,利用邻角补角关系求得∠AOD,进而人求得∠AOE;(2)利用等角的余角相等,求得与∠AOF相等的角,即求得∠BOF的补角.(1)∵CO⊥AB,∴∠COA=90°,∴∠AOD=∠COA+∠1=90°+28°=118°.∵OE平分∠AOD,∴∠AOE=1(2)与∠BOF互补的角是∠AOF和∠COE,因为OF⊥OE,∴∠EOF=90°,∴∠AOF=∠EOF=∠AOE=90°−59°=31°,∴∠BOF补角的度数是31∘.【点睛】本题考查余角、邻补角的定义,利用余角、邻补角的关系是解题关键.【变式10-1】(2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习)一个角的余角比它的补角的15【答案】70°【分析】设这个角的度数为x,由题意列出方程,解方程即可.【详解】解:设这个角的度数为x,根据题意得:90°-x=15(180°-x解得:x=70°.所以这个角的度数为70°.故答案为:70°【点睛】本题考查了余角和补角以及一元一次方程的应用;由题意列出方程是解题的关键.【变式10-2】(2022·新疆·乌鲁木齐市第136中学七年级期末)如图,O是直线AB上一点,OC为任意一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.(1)图中∠AOD的补角是和;∠BOD的余角是和.(2)已知∠COD=40°,求∠COE的度数.【答案】(1)∠BOD,∠COD;∠COE,∠AOE(2)50°【分析】(1)根据互为补角的和等于180°找出即可;(2)根据角平分线的定义表示出∠BOC与∠AOC,再根据角平分线的定义即可得解.(1)解:∵OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∴∠BOD=∠COD,∠AOE=∠COE,∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠BOD=90°,∴∠BOD+∠EOC=90°,∵∠AOD+∠BOD=180°,∴∠AOD+∠COD=180°,∴∠AOD的补角是∠BOD和∠COD;∠BOD的余角是∠COE和∠AOE.故答案为:∠BOD,∠COD;∠COE,∠AOE.(2)解:∵OD平分∠BOC,∠COD=40°,∴∠BOC=2∠COD=80°,由题意可知,∠AOB是平角,∠AOB=∠AOC+∠BOC,∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=180°−80°=100°,∵OE平分∠AOC,∴∠COE=1【点睛】本题考查了余角和补角的概念,角度的计算,以及角平分线的定义,准确识图并熟记概念是解题的关键.【变式10-3】(2022·全国·七年级)已知:如图所示,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.若∠BOC=70°,∠AOC=50°.(1)求出∠AOB及其补角的度数;(2)求出∠DOC和∠AOE的度数,并判断∠DOE与∠AOB是否互补,并说明理由;(3)若∠BOC=α,∠AOC=β,则∠DOE与∠AOB是否互补,并说明理由.【答案】(1)∠AOB=120°,其补角为60°;(2)∠DOE=60°,∠AOB=120°,∠DOE与∠AOB互补;(3)∠DOE与∠AOB不互补,理由见解析.【分析】(1)由∠AOB=∠BOC+∠AOC,以及补角的定义,即可得到答案;(2)根据角平分线的定义,即可求出∠DOE和∠AOE的度数,然后∠DOE+∠AOB=180°,即可得到答案;(3)分别求出∠DOE与∠AOB的度数,然后进行判断,即可得到答案.【详解】解:(1)∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°,其补角为:180°−∠AOB=180°−120°=60°.(2)∠DOE与∠AOB互补;理由如下:∵OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∴∠DOC=12∠BOC=12×70°=35°,∠COE=12∠AOC∴∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°.∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°,∴∠DOE与∠AOB互补.(3)∠DOE与∠AOB不互补,理由如下:∵OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∴∠DOC=12∠BOC=12α,∠COE=12∠AOC=∴∠DOE=∠DOC+∠COE=12α+12β=12(α∴∠DOE+∠AOB=12(α+β)+(α+β)=32(α+∴∠DOE与∠AOB不互补.【点睛】本题考查了角平分线的定义,余角的定义,补角的定义,以及角的和差计算,解题的关键是熟练掌握几何图形中的角度的计算,熟练掌握所学的知识进行计算.【题型11同(等)角的余角和补角相等的运用】【例11】(2022·全国·七年级单元测试)如图,在同一平面内,∠AOB=∠CO
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