2023年中考数学探究性试题复习17 轴对称【含答案】

2023年中考数学探究性试题复习17轴对称一、综合题1．如图（1）【感知】如图①，将▱ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点F处，得到折痕DE，连结EF．若AD=4，则四边形AEFD的周长为．（2）【探究】如图②，将四边形AEGD沿GE折叠，点A、D的对应点分别为A′、D′，点A′求证：四边形AEA（3）若AB=6，CB=3，∠B=120°，CA′=1，则△2．综合与探究在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．（1）如图①，若BC=2BA，求∠CBE的度数；（2）如图②，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求EF的长；（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，请直接写出ABBC3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，∠B=∠E=30°，AC=AF=6，用这两个直角三角形研究图形的变换.（1）【翻折】如图1，将△DEF沿线段AB翻折，连接CF，下列对所得四边形ACBF的说法正确的是.①AB平分∠CBF、∠CAF，②AB、CF互相平分，③S四边形ACBF=12AB⋅CF，④A、C（2）【平移】

如图2，将△DEF沿线段AB向右平移，使D点移到AB的中点，连接CD、CF、FB，请猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.（3）【旋转】如图3，将△DEF绕点C(F)逆时针方向旋转，使AC∥ED，连接AE、AD，则旋转角为°，AD=cm.4．如图（1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为.5．如图，平行四边形ABCD中，AB=7，BC=10.点P是BC边上的一点，连接AP，以AP为对称轴作△ABP的轴对称图形△AQP（1）动手操作当点Q正好落在AD边上时，在图①中画出△ABP的轴对称图形△AQP，并判断四边形ABPQ的形状是▲；（2）问题解决如图②，当点P是线段BC中点，且CQ=2时，求AP的长；（3）拓展探究如图③，当点P、Q、D在同一直线上，且∠PQC=∠PQA时，求PQ的长.6．在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作60°，30°，15°的角，可以采用如下的方法：【操作感知】第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开.第二步；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图1）.（1）【猜想论证】

写出图1中一个30°的角：.（2）若延长MN交BC于点P，如图2所示，试判断△BMP的形状，并证明.（3）【迁移探究】

小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照“操作感知”的方式操作，并延长MN交CD于点Q，连接BQ.当点N在EF上时，DM=2，求正方形的边长.7．（1）问题提出如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，若P是边AC上一点，则BP的最小值为.（2）问题探究如图②，在Rt△ABC中，AB=BC，斜边AC的长为42，E是BC的中点，P是边AC上一点，试求PB+PE（3）问题解决某城区有一个五边形MBCDP空地（∠M=∠P=∠PDC=90°，∠C=150°），城建部门计划利用该空地建造一个居民户外活动广场，其中△MAB的部分规划为观赏区，用于种植各类鲜花，△APD部分规划为音乐区，供老年合唱团排练合唱或广场舞使用，四边形ABCD部分为市民健身广场，如图③所示.已知AD=100米，CD=50米，∠BAD=60°，∠ABC=90°.为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要在AB，AD上分别取点E，F，铺设一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，已知铺设景观道的成本为100元/米，求铺设完这条步行景观道所需的最低成本.8．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．操作：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ．（1）探究：①如图①，当点M在EF上时，∠EMB=▲°．②改变点P在AD上的位置（点P不与点A、D重合），如图②，判断MQ与CQ的数量关系，并说明理由．（2）拓展：若正方形纸片ABCD的边长为8，当FQ=1时，直接写出AP的长．9．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处.【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是▲；【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由.【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1=80°，∠2=24°，则∠A的大小为▲.10．问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AB＝8，长AD＝82.动手实践：（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点A′处，折痕为BE，连接A′E，然后将纸片展平，得到四边形AE（2）如图2，永攀小组将矩形纸片ABCD沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC.再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），第二条折痕与AD交于点E.请写出OC与OA的数量关系，并说明理由.（3）如图3，探究小组将图1中的四边形AEA′B剪下，在AE上取中点F，将△ABF沿BF折叠得到△MBF，点P、Q分别是边A′E，A′B上的动点（均不与顶点重合），将△A11．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x=m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x=m的“镜面函数”.例如：图①是函数y=x+1的图象，则它关于直线x=0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(（1）在图③中画出函数y=−2x+1关于直线x=1的“镜面函数”的图象.（2）函数y=x2−2x+2关于直线x=−1的“镜面函数”与直线y=−x+m（3）已知A(−1，0)，B(3，0)，C(3，−2)，D(−1，12．在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB与直线l：y=kx+b，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为A′B′(A′，已知点A(1，1)，（1）线段A′B′为线段AB的“[1，b]关联线段”，点A′的坐标为(2，（2）线段A′B′为线段AB的“[k，0]关联线段”，直线l1经过点C(0，2)，若点A′（3）点P(−3，0)，Q(−3，3)，线段A′13．如图（1）[基础巩固]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，求证：AC2=AD·AB．（2）[尝试应用]如图②，在矩形ABCD中，AD=2，点F在AB上，FB=2AF，DF⊥AC于点E，求AE的长．（3）[拓展提高]如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，NDCE与NDFE关于直线DE对称，点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连结GC交DF于点M，GC∥FE，若AD=2，求GM的长．14．在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′.（1）【观察发现】A′D与B′E的位置关系是；（2）【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与（3）如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG（4）【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C

答案解析部分1．【答案】（1）16（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠A∵将四边形AEGD沿GE折叠，点A、D的对应点分别为A′、D′，点A′∴∠AGE=∠A′GE∴∠AGE=∠AEG，∴AE=AG，∴AG=A∴四边形AEA（3）122．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC=BF，∠FBE=∠CBE，∠C=∠BFE=90°，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBF=∠AFB=30°，∴∠CBE=1∴∠CBE的度数为15°；（2）解：∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE=∠C=90°，FE=CE，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴AFDE∴AF⋅DF=AB⋅DE，∵AF⋅DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC−DE=5−2=3，∴EF=EC=3，∴EF的长为3；（3）解：ABBC的值为33．【答案】（1）①③④（2）解：∵△DEF沿线段AB向左平移，∴AB∥CF，CF=BE.∵△DEF是直角三角形，D是AB的中点，∴BE=BD=BF=1∴CF=BD∵AB∥CF，∴四边形BDCF是平行四边形.∵BD=BF，∴四边形ABEF是菱形.（3）120；64．【答案】（1）DG=BE（2）解：DG=1理由如下：延长BE、GD相交于点H.∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCE，∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，∴CD：CB=CG：CE，∵∠DCG=∠BCE，∴△DCG∽△BCE，∴DGBE∴DG=∵矩形ECGF∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，∴∠H=∠F=90°∴DG⊥BE（3）45．【答案】（1）解：如图①，△AQP即为所求，；菱形；（2）解：如图②，连接BQ交AP于点E，∵△AQP与△ABP是以AP为对称轴的轴对称图形，由轴对称的性质得，AQ=AB，BP=PQ，∴AP是线段BQ的垂直平分线.∴点E是BQ的中点，∠AEB=∠BEP=90°.又∵点P是BC的中点，∴EP为△BQC的中位线，BP=1∴EP=1在Rt△BEP中，BE=B在Rt△ABE中，AE=A∴AP=AE+EP=1+5=6；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵△AQP与△ABP是以AP为对称轴的轴对称图形，∴∠APB=∠APQ，∴∠APQ=∠DAP，∴AD=DP=10，∵∠B=∠AQP=∠PQC=∠ADC，又∵∠ADC=∠ADP+∠PDC，∠PQC=∠PDC+∠DCQ，∴∠ADP=∠DCQ.∵AD∥BC，∴∠ADP=∠DPC，∴∠DCQ=∠DPC.∵∠PDC=∠QDC，∴△PDC∽△CDQ，∴PD即107∴DQ=49∴PQ=PD−DQ=10−496．【答案】（1）∠ABM（2）解：△BMP是等边三角形，证明：如图所示，由（1）可知∠BMP=∠1=60°，∵AD∥BC，∴∠1=∠2=60°，∴△BMP是等边三角形，（3）解：由（2）可得∠DMN=60°，在Rt△DMQ中，DM=2，∠MQD=30°，∴MQ=4，DQ=23∵折叠，∴AB=BN，∴BN=BC，在Rt△BNQ，BN=BCBQ=BQ∴Rt△BNQ≌Rt△BCQ(HL)，∴NQ=CQ，∴MQ=MN+NQ=MA+CQ，∵AD+DC=AM+MD+DQ+CQ=MQ+MD+DQ=4+2+23∴AD=3+37．【答案】（1）60（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=BC，AC=42，A∴2BC2=A∴BC=4∴AB=BC=4，∵E是BC的中点，∴BE=CE=2.如图2，以AB，BC为边作正方形ABCD，连接DE，DP，由正方形的轴对称性，得PB=PD，∵PE+PD≥DE，∴当D，P，E三点共线时，PB+PE最小，最小值为DE的长.由勾股定理，得DE=4∴PB+PE的最小值为25（3）解：如图3，分别延长AB，DC，相交于点N，连接AC，在四边形ABCD中，∠ADC=360°−(150°+90°+60°)=60°，∵∠BAD=60°，∴△AND是等边三角形，∴AN=AD=ND=2CD=100（米），C是ND的中点，∴∠NAC=∠DAC=30°，由勾股定理，得AC=503分别作点C关于AB，AD的对称点C′，C″，在AN，AD上任取点E，F，连接CC′，CC″，CE，设O是AC与C′C″的交点，由轴对称的性质，得C∴CE+EF+CF=C′E+EF+C″F≥C′C在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=503∴BC=253（米），C连接AC′，AC″，∵AB是∴△AC∴AC=AC∴四边形AC∴O是C′C″在Rt△C′CO∴∠CC′C由勾股定理，得C′∴C∴150×100=15000（元），答：铺设完这条步行景观道所需的最低成本为15000元.8．【答案】（1）解：①30；②结论：MQ=CQ．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAD=∠C=90°．由折叠可得：AB=BM，∠BAD=∠BMP=90°，∴BM=BC，∠BMQ=∠C=90°．又∵BQ=BQ，∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL)，∴MQ=CQ；（2）解：AP的长为4011或249．【答案】解：【感知】∠1=2∠A；【探究】如图②，2∠A=∠1+∠2.理由如下：∵∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°−∠A′，∴A′DA+∠A′EA=360°−(∴∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°，∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°，∴∠A′+∠A=∠1+∠2，由折叠可得：∠A=∠A′，∴2∠A=∠1+∠2，故答案为：2∠A=∠1+∠2；【拓展】28°10．【答案】（1）8（2）解：在Rt△ABC中，AC=A∵点A落在OC上，∴BE⊥AC.∵S△ABC∴BO=AB⋅BC∴Rt△ABO中，OA=ARt△BOC中，OC=B∴OC=2OA；深度探究：（3）4或2511．【答案】（1）解：如图，即为函数y=−2x+1的“镜面函数”的图像（2）解：如图，对于y=x2−2x+2，当∴函数y=x2−2x+2与当直线y=−x+m经过点(−1，5)时，此时y=x2−2x+2关于直线x=−1当直线y=−x+m与原抛物线只有一个交点时，则有：−x+m=x整理得，x2此时，Δ=(−1)解得，m=综上，m的值为4或74（3）解：函数y=x2−2nx+2当x=−1时，y<0，∴1−2n+2<0，解得，n>3当y=x2−2nx+28−4解得n=2或n=−2（舍），此时，函数y=x2−2nx+2(n>0∴3当x=3时，y<−2∴9−6n+2<−2解得，n>13综上，n的取值范围为32<n<2或12．【答案】（1）2；-1（2）解：如图，作C关于l的对称点C′，连接OC′，OA，OC′，由题意，得直线l解析式为：y=kx，设C关于l的对称点为C′，∴OC′=OC=2，∵AB关于l对称点A′B′在l1上，又l1经过点C，∴点C′在直线AB上，∵A(1，1)，B(1，-1)，∴直线AB即是直线x=1，∴C′横坐标为1，∴C′纵坐标为22∴C′(1，3)，∴tan∠C′OK=C′KOK∴∠C′OK=60°，∵A(1，1)，∴OA=AK，∴△AOK是等腰直角三角形，∴∠AOK=45°，∴∠C′OA=∠C′OK-∠AOK=60°-45°=15°，∵A、B、C′关于直线l的对称点是A′、B′、C，∴∠COA′=∠C′OA=15°；当A′B′在y轴的右侧时，同理可求∠COA′=∠COD+∠A′OD=105°，（3）解：b≤−7213．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°.∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△CAD∽△BAC，∴ACAD∴AC2=AD⋅AB；（2）解：∵FB=2AF，∴AB=AF+BF=3AF.∵四边