第06讲：三角函数中任意角、诱导公式、同角基本关系 解析版

第06讲：三角函数中任意角、诱导公式、同角基本关系【考点梳理】考点一：终边相同的角 考点二：象限角考点三：弧度制 考点四：弧长公式和面积公式考点五：任意角的三角函数 考点六：同角三角函数的基本关系考点七：三角函数的诱导公式 考点八：三角函数的化简求值问题【知识梳理】知识一：角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角知识二：终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．知识三：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识四：同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.知识五：六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限技巧归纳：1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．同角三角函数基本关系式的常用变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.【题型归纳】题型一：终边相同的角1．（2023下·江西吉安·高一统考期末）已知角的集合，则在内的角有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据给定条件，解不等式，求出k的值即可作答.【详解】依题意，解不等式，得，而，因此，所以在内的角有3个.故选：B2．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】D【分析】根据角与角的终边关于轴对称，即可确定与的关系．【详解】是与关于轴对称的一个角，与的终边相同，即（），，（）.故选：D．3．（2023下·北京海淀·高一北大附中校考期中）将的终边逆时针旋转，与的终边重合，则与终边相同的角的集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题设，即可得与终边相同的角，即知答案.【详解】由题设，则且，所以与终边相同的角的集合为.故选：B题型二：象限角4．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考期中）若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据象限角的范围即可求解.【详解】角是第二象限角，则,所以，故角的终边在第三象限，故选：C5．（2023下·北京·高一北师大二附中校考期中）设是第二象限角，则的终边在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【分析】由，得到，对k赋值判断.【详解】解：因为是第二象限角，所以，，当时，，在第一象限；当时，，在第二象限；当时，，在第四象限；故选：D6．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【答案】B【分析】由是第一象限角，可得，，进而得到，，进而求解.【详解】因为是第一象限角，所以，，所以，，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，综上所述，第一、三象限角.故选：B.题型三：弧度制7．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气．它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气，2022年10月8日为寒露，经过霜降､立冬､小雪及大雪后，便是冬至，则从寒露到冬至，地球公转的弧度数约为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出每一等份的度数，从寒露到冬至经历了5个节气，进而可得答案【详解】由题意知，把圆分成24等份，每一等份为，从寒露到冬至经历了5个节气，所以地球公转的弧度数约为．故选：8．（2023下·浙江杭州·高一统考期末）军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的所对的圆心角的大小，.若角密位，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由密位制与弧度的换算公式可得，，从而可得解．【详解】因为1密位等于圆周角的，所以角密位时，，故选：C．9．（2022上·湖北荆州·高一校联考期末）圆的一条弧的长度等于圆内接正六边形的边长，则这条弧所对的圆心角的弧度数为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】首先求弧长，再根据圆心角公式，即可求解.【详解】设圆的半径为r，由于圆内接正六边形每条边长对应的圆心角为，则圆内接正六边形的边长为r，所以这条弧长所对的圆心角为.故选：A题型四：弧长公式和面积公式10．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设弧的长为，弧的长为，根据弧长公式结合已知可推得.结合已知条件得出方程组，求解即可得出答案.【详解】如图，设弧的长为，弧的长为.因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5，所以，，即，.因为，所以.又因为，联立可得，解得，所以该扇环的内弧长为.故选：A11．（2023下·广东江门·高一统考期末）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面直径为（

）A．6 B．3 C．12 D．【答案】A【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，，则圆锥底面直径为6．故答案为：A．12．（2023下·山东日照·高一统考期末）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据扇形的面积公式可得圆心角大小，进而根据弧长的近似计算公式即可求解.【详解】设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知，所以，如图，取的中点C，连接OC，交AB于点D，则．易知，则，所以，，，所以扇形弧长的近似值为．故选:C

题型五：任意角的三角函数13．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可.【详解】因为角终边经过点，所以，所以，解得.故选：C14．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考查三角函数的定义，利用定义即可得出结果.【详解】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：.故选：B.15．（2024上·上海·高一校考期末）函数（且）的图象都过定点P，且点P在角的终边上，则．【答案】/【分析】由题意先求出定点，然后结合三角函数定义即可得解.【详解】因为，所以令，得，且此时，即点，所以.故答案为：.题型六：同角三角函数的基本关系16．（2023上·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值．【详解】∵，∴，即，∴，∴，得，∴，∴或，∵，且，∴由三角函数定义知，∴，故．故选：D.17．（2023上·四川成都·高一校考期末）若，且是方程的两实根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同角平方和的关系即可结合韦达定理求解.【详解】由于是方程的两实根，所以，又，所以，故，由于，，所以，故，因此，所以，故选：D18．（2024上·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）已知角终边过点，且，则实数（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得.【详解】因为角的终边过点，所以，所以，解得.故选：C题型七：三角函数的诱导公式19．（2024上·天津和平·高一统考期末）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用诱导公式化简，再进行弦化切代入即可.【详解】因为角的终边经过点，则，则，故选：C.20．（2024上·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）若为第四象限角，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数的诱导公式和同角的三角函数关系计算得出.【详解】①，因为，又因为为第四象限角，由可知，所以①，故选：A21．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知.(1)求；(2)若角为第二象限角，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用诱导公式整理得，进而代入求解即可；（2）根据同角三角关系可得，进而可得结果.【详解】（1）因为，所以.（2）若角为第二象限角，且，则，可得，所以.题型八：三角函数的化简求值问题22．（2024上·新疆阿勒泰·高一统考期末）已知(1)化简；(2)若角是三角形ABC的内角，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由诱导公式即可化简；（2）由同角三角函数的平方和商的关系即可求解．【详解】（1）．．即．（2）由，得，所以，．所以角是钝角，．，，所以．．23．（2024上·内蒙古包头·高一统考期末）（1）化简；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）利用同角三角函数的基本关系和完全平方公式求解即可.【详解】（1）由诱导公式可得，（2）由，即可得所以.又，所以，，则所以.24．（2024上·重庆·高一统考期末）已知．(1)化简函数；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由诱导公式化简即可.（2）由题意得，再结合商数关系即可得解.【详解】（1）．（2）因为，所以，所以．【强化精练】一、单选题25．（2024上·重庆·高一统考期末）已知扇形的面积为，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意设出扇形的弧长、半径和圆心角，通过扇形的面积可求出扇形半径，然后利用弧长公式即得.【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为，所以扇形的面积，得（），由（）故选：A26．（2024上·甘肃陇南·高一统考期末）若角的终边经过点，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知得出为第二象限角，求出满足条件的一个的值，即可得出答案.【详解】由点位于第二象限可得，角为第二象限角.又，则当时，有.所以，与终边相同的角的集合为.因为满足，不满足，不满足，不满足.故选：A.27．（2023上·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台.”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸（单位：）如图所示，则该扇面的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】设圆心角，圆的半径，由弧长公式得，根据扇形面积公式计算即可.【详解】

如图：与交于圆心O，设圆心角，圆的半径，由弧长公式得，解得，该扇面的面积为故选：A28．（2023下·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B．当时，C．若角的终边过点，则D．若，则【答案】B【分析】根据弧度制的定义，结合三角函数定义、正切函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为弧度，A错误；对于B，当时，；B正确对于C，若角的终边过点，则，C错误；对于D，若，则有，D错误，故选：B29．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同角三角函数关系式求得，代入即可求解.【详解】因为，所以，又，即，解得，所以.故选：B.30．（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知，且为第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用诱导公式，将已知和要求的因式都转化成单角形式，即只含有的形式，再用同角三角函数基本关系式转化即可.【详解】因为，所以，且.因为为第二象限角，所以.则，故选：D.31．（2024上·天津和平·高一天津一中校考期末）已知，则（

）.A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】利用诱导公式以及同角三角函数之间的基本关系化简代入计算可得结果为.【详解】由诱导公式可得，将代入计算可得，原式.故选：A32．（2023上·全国·高一期末）已知是第四象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知条件化简求出的值，然后利用诱导公式及弦化切，计算即可.【详解】由，解得或．因为是第四象限角，所以，故．故选：D.二、多选题33．（2024上·云南大理·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．终边在轴上角的集合是B．若角的终边在第二象限，则角是钝角C．若角是钝角，则角的终边在第二象限D．终边在直线上角的集合是【答案】CD【分析】根据终边相同的角的表示方式进行判断AD，根据钝角的概念判断BC.【详解】对A：终边在轴上的角的集合是：，故A错；对B：终边在第二象限的，未必都是钝角，例如，故B错；对C：因为钝角是大于小于的角，必在第二象限，故C对；对D：终边在直线上的角的集合是：，故D对.故选：CD34．（2022上·重庆巫山·高一校考期末）下列命题中正确的是（）A．若角是第三象限角，则可能在第三象限B．C．若且，则为第二象限角D．若角的终边经过点，则【答案】ABC【分析】对A：由的范围求出的范围判断；对B：用诱导公式计算；对C：根据与的符号判断所在的象限；对D：根据三角函数的定义求解.【详解】对A：若角是第三象限角，即，，所以，，当时，，所以可能为第三象限角，故正确对B：由诱导公式可得，所以正确，对C：若，则为第二象限或第四象限角，若，则为第一象限角或第二象限角或轴正半轴，同时满足两条件可得，若且，则为第二象限角，正确，对D：若角的终边经过点，则，故错误．故选：ABC．35．（2023上·四川成都·高一校联考期末）已知，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用三角函数基本关系和完全平方公式、三角函数值的正负求解.【详解】将平方得，因为，所以，因为，所以，，，所以，因为，所以，根据解得，所以.故选：ACD.36．（2023上·全国·高一期末）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标可以为（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.【详解】点的初始位置，锐角，设时刻两点重合，则，即，此时点，即，，当时，，故A正确；当时，，即，故C正确；当时，，即，故D正确；由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误，故选：ACD.37．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知，则下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】依题意，，所以，所以，A选项正确；，B选项错误；，C选项正确.，D选项错误.故选：AC三、填空题38．（2024上·安徽淮北·高一校考期末）已知一个扇形的圆心角为2．其周长的值等于面积的值，则扇形的半径．【答案】4【分析】根据扇形的周长公式和面积公式建立关系，求出答案.【详解】，弧长，周长为，面积，，或0（舍去），故答案为：4．39．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知角的终边与单位圆的交点为，则．【答案】/【分析】先根据三角函数的定义求得角的三角函数值，再利用诱导公式化简即可得解.【详解】因为角的终边与单位圆的交点为，所以，则.故答案为：.40．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）化简：．【答案】/0.5【分析】根据同角平方和关系即可求解.【详解】，故答案为：41．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）已知，且，则.【答案】【分析】根据已知切化弦结合二倍角公式，化简即可得出.进而根据角的范围得出，整理推得，求解即可得出答案.【详解】由，可得，即.由于，故，则，所以有，则，所以有，解得.故答案为：.42．（2023上·全国·高一期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.则【答案】/【分析】求出定点M的坐标，利用三角函数定义求出，再利用诱导公式计算作答.【详解】由，得，，即点，，因此，所以.故答案为：四、解答题43．（2024上·安徽淮北·高一校考期末）已知．(1)若，求的值；(2)求的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）若，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系，可求的值；（2）令，则有，由的取值范围结合二次函数的性质，求的值域．【详解】（1），，．（2）令，因为，则，所以，即，因为，即，所以，所以，，由二次函数性质可知，在上单调递增，所以，即的值域为．44．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）已知，且是第二象限角．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(