2023年高考数学一轮复习习题：第七章第1节　不等式的性质与一元二次不等式

第七章DlQIZHANG

7不等式、推理与证明

第1节不等式的性质与一元二次不等式

考纲要求1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背

景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不

等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次

不等式，会设计求解的程序框图.

、知识分类落实回扣知识・夯实基础

知识梳理

1.实数大小比较的依据

(l)a>bθa-b>0;

(2)a=b^a~b=0;

(3)a<b^a~b<0.

2.不等式的性质

⑴对称性：a>b^b<a;

(2)传递性：a>b,b>c^a>c↑

(3)可加性：a>b<^a+c>b+c↑a>hfc>d^a+c>b+d↑

,

(4)可乘性：a>b9c>O=^ac>bc;a>b,c<O=^ac<bc;a>b>Ofc>d>O^ac>bd;

(5)可乘方：a>b>O^an>b,∖n≡^,n≥l);

(6)可开方：a>b>0今时之心5£N,〃22).

3.三个“二次”间的关系

判别式/=加一4ocJ>0J=OJ<0

1/

y=ax2-∖-bx+c

χ∖toJχ2X

(α>0)的图象ɪ

有两相等实根

cυc2+hx+c=0(〃>0)有两相异实根

b没有实数根

的根Xl，X2(X\<X2)Xf=F

{X∣X>九2

αx2+⅛x+c>0(tz>0)R

或XVXl)

的解集

ax2+bx+c<O(«>0)

(Λ⅛VxVX2：00

的解集

•——常用结论与微点提醒

1.有关分式的性质

1,「由b+ιnbb-m

⑴右。泌>0,，》0,则力5；->―(b-m>0).

(2)若ab>O,且a>b=:<τ

2.对于不等式Or2+bx+c>0,求解时不要忘记“=O时的情形.

3.当/<0时，不等式以2+foχ+oθ(αWθ)的解集为R还是0,要注意区别.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(∖)a>b^ac2>bc2.()

(2)若不等式αχ2+⅛r+c<o的解集为(Xχ2),则必有“>0.()

(3)若方程0χ2+fec+c=03<0)没有实数根，则不等式Or2+bx+c>0("<0)的解集为R.()

(4)不等式6zx2+fejc+c≤θ在R上恒成立的条件是“<0且/="-4"cW0.()

答案(I)X(2)√(3)×(4)×

解析(1)由不等式的性质，ac2>bc2=^,a>b;反之，C=O时，a>b^ac1>bc1.

(3)若方程OX2+bx+c=0(α<0)没有实根，则不等式“χ2+bx+c>0(α<0)的解集为0.

(4)当α=b=O,CWO时，不等式Or2+6x+cW0也在R上恒成立.

〉教材衍化

2.已知集合4={x∣χ2-5x+4<0},B={X∣X2-X-6<0},则4∩B=()

A.(-2,3)B.(1,3)

C.(3,4)D.(-2,4)

答案B

解析由题意知A={x∣l<x<4},B={x∖-2<x<3},

所以A∩8=(l,3).

3.若〃>方>0,c<d<O,则一定有()

.a、bCaJb

-

A.a-}>cB.ac

答案B

解析因为c<d<O,所以0>：>力，两边同乘一1，得一[>一:>°，又a>b>O,故由不

等式的性质可知一》>—§>（）.两边同乘一1,得。Vg

>考题体验

4.（2020•厦门期末）设〃，bWR,贝I]“a>2且匕>1"是“a+疣>3且〃匕>2"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若a>2且〃>1,则由不等式的同向可加性可得a+b>2+l=3,由不等式的同向同正

可乘性可得出》2X1=2.即''a>2且b>∖,'是''a+6>3且ab>2t,的充分条件；反之，若"a

+b>3且而>2”，则%>2且W不一定成立，如a=6,匕=T.所以S2且W是ua

+6>3且必>2"的充分不必要条件.故选A.

5.（2020・镇江期末）某辆汽车以Xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（6O0≤120）,每小时

的油耗（所需要的汽油量）为，X-%+W°）L,其中A为常数.当汽车以120km/h的速度行

驶时，每小时的油耗为11.5L,欲使每小时的油耗不超过9L,则速度X的取值范围为（）

A.[60,120]B.[60,100]

C.[45,100]D.[45,120]

答案B

解析由题意得长120—&+债）=11.5,解得火=Io0,故每小时的油耗为[芥+产）-20

L,

依题意得H+W）-20W9,解得45WXWlo0,又60WXWI20,

所以60WXWIOo.故选B.

6.（2021•北京海淀区调研）若关于X的不等式收一依<1的解集是全体实数，则实数A的取值

范围是.

答案（-4,0]

解析当左=O时，0<1恒成立，

当ZWO时，要使正一船一1<0的解集是全体实数，

伏<0,

只需满足L,,人解得一4<k<0.

[⅛2+4R0,

综上可知，一4<A≤0.故上的取值范围是（-4,0].

考点分层突破考点聚焦・题型剖析

考点一不等式的性质及应用自主演练

I.若q<∣<0,则下列结论不正确的是()

A.a2<b2B.ab<b2

C.α+b<0D.∖a∖-∖-∖b∖>∖a~∖~b∖

答案D

解析由题意可知XaV0,所以A,B,C正确，而⑷十步|=一。一b=∣0+",故D错误.

⅛2a2

2.若α<0,⅛<0,则P=1+/■与夕=。+8的大小关系为()

A.p<qB.PWq

C.p>qD.p》q

答案B

}jr层

解析(作差法加-4=1+了一。一b

2222

=b丁-a+l〒a-b=岭〉北“-/D

(加一*(/?—〃)(b-a)2(b+a)

=ab=ab'

因为4<0,ZxO,所以α+b<0,ab>0.

若a=b,则p-q=O,故p=q;

若a≠b,则p-q<O,故p<q.

综上，PWd故选B.

3.若一会<的，则a一夕的取值范围是.

答案(一兀，0)

解析⅛—S-β<,a<β,

得一π<a—β<0.

4.设火x)=aχ2+⅛r,若IW火一l)≤2,2Wy(l)<4,则4-2)的取值范围是.

答案[5,10]

解析法一设|-2)=叫/(-1)+川U)(m，〃为待定系数)，则4〃-28=〃7(〃一〃)+〃(〃+/?),

即4a-2b=(tn+ιi)a+(/?—tn)b.

tn+n=49m=3,

于是得解得,

n-m=-2n=∖.

ΛΛ-2)=3Λ-1)+Λ1).

又∙.∙ι≤y(一i)≤2,2≤y(DW4

Λ5≤3∕(-l)+Λ∣)≤10,

故5≤Λ-2)≤10.

法二由J‘∙AT)="i,

[f(∖)=a+b

P=∣[∕(-1)+Λ1)],

得1

U=那1)-火-1)],

.∙.y(-2)=44Z-2ft=3Λ-l)+Λl).

又∙.∙lWK-l)W2,2Wy(l)W4,

Λ5≤3∕(-l)+Λl)≤10,故5≤χ-2)≤10.

1≤α-⅛≤2,

法三确定的平面区域如图阴影部分所示,

a-b=∖

<BCU)

r⅛×-~7

\«+6=4

“+6=2

当√(-2)=44-26过点A(|,乡时，

31

取得最小值4×2-2×5=5,

当式-2)=4。-2力过点8(3,1)时,

取得最大值4X3-2X1=10,

.∙.5≤y(-2)≤10.

感悟升华1.比较两个数(式)大小的两种方法

Γ~∣判断差与(>的大小∣~~∣

变结

形论

Ll作商法|_」—I判断两与I的大小—

2.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特

殊值验证的方法.

3.利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，在多次运用不等式的性质时有可能扩大了

变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后

通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

考点二一元二次不等式的解法师生共研

【例U(1)不等式0<x2-χ-2≤4的解集为.

(2)已知不等式ax2-bx-↑>0的解集是则不等式x1-bx-a^0的解集是

答案(l){χ∣-2≤x<-l,或2<xW3}(2){⅛≥3,或xW2}

解析(1)原不等式等价于

X2-x—2>0,[x2-χ-2>0,

C即

X2-X-2≤4,[x2-χ-6≤0,

x>2或x<—1,

解得,

—2≤x≤3.

故原不等式的解集为｛无|—2Wxv—1,或2<入W3｝.

b

14’

(2)由题意，知一提—T是方程cιx~bχ-1=O的两个根，且a<09所以

-1

故不等式x2-bx-a^O为X2—5x÷6≥0,

解得x23或x≤2.

所以，所求不等式的解集为“卜23或xW2｝.

[例2]解关于X的不等式ΛX2-2≥2χ-tzx(rz∈R).

解原不等式可化为0r2+(∏-2)χ-2≥0.

①当Q=O时，原不等式化为x+lW0,解得xW—1.

②当α>0时，原不等式化为(x—3(x+1)20,

2

解得x2∕或x≤-1.

③当“<0时，原不等式化为(X—务+l)≤0.

22

当%>—1,即〃<—2时，解得一lWx≤]

当£=—1,即。=—2时，解得工=一1满足题意；

22

当ZV—19即一2<a<0时，解得,≤x<—1.

综上所述，当〃=O时，不等式的解集为｛X仅《一1｝；

当α>0时，不等式的解集为卜卜》5或x≤-1｝;

当一2<.<0时，不等式的解集为卜1｝；

当。=一2时，不等式的解集为｛一1｝；

当。<一2时，不等式的解集为卜I-IWXW1.

感悟升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论

(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不

等式或二次项系数为正的形式.

(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式/与0的关系.

(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定

解集形式.

【训练1】(1)(2021.西安一模)关于X的不等式以一*0的解集是(1,+8),则关于X的不

等式(G∙+6)(χ-3)>0的解集是()

A.(-∞,-1)U(3,+∞)B.(1,3)

C.(-1,3)D.(-∞,1)U(3,+∞)

答案C

解析关于X的不等式Or-Z><0即4X<%的解集是(1,÷°o),.∖a=b<0,

不等式(Or+6)(χ-3)>0可化为(x+l)(χ-3)<0,解得一l<x<3,

二所求不等式的解集是(-1,3).

(2)解不等式12x2—0r>"2(a∈R).

解原不等式可化为12/一℃一屋>0,

即(4x+a)(3χ-α)>0,令(4x+α)(3χ-a)=0,

解得Xl=一点,X2=1.

当”>0时，不等式的解集为(-8,-ξ)∪^∣,+8)；

当α=0时，不等式的解集为(一8,0)U(0,+∞);

当α<0时,不等式的解集为(一8,§(j(号+8).

考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究

角度1在实数集R上恒成立

【例3】对于任意实数X,不等式(“一2)/—2(a—2)x—4<0恒成立，则实数“的取值范围

是()

A.(一8,2)B.(一8,2]C.(-2,2)D.(-2,2]

答案D

解析当a-2=0,即a—1时，-4<0恒成立；

当a—2≠0,即a≠2时，

[a-2<0,

则有《

[∆=[-2(〃-2)尸一4×(iz-2)×(-4)<0,

解得一2<a<2.

综上，实数”的取值范围是(-2,2］.

角度2在给定区间上恒成立

【例4】设函数y(x)=WLv2—/MX—若对于χe［l,3］,兀0<—〃?+5恒成立，则，"

的取值范围是.

答案()<∕H<^或机VoJ

解析要使危)<一机+5在［1,3］上恒成立，

故ιwc1-mχ-∖-m-6<0,

则w(x-^2÷^∕w-6<0在X£［1,3］上恒成立.

法一令g(X)=〃(L，2+52—6,X∈［l,3］.

当机>0时，g(x)在［1,3］上是增函数，

所以g(X)rnax=g(3)=7m—6V0.

所以mV专,则OVZnV专.

当m<0时,g(x)在［1,3］上是减函数,

所以g(x)max=g(l)=m一6<0.

所以相V6,所以〃7Vo.

综上所述，机的取值范围是卜0<机VS或勿2<0j.

法二因为x2-x+I=(X—4)+(>0,

又因为Wa2—χ+1)—6VO,所以］•

因为函数y=7⅛γ=T—Aʒ在［1,3］上的最小值为*所以只需加VS即可.

因为mW0,所以机的取值范围是［机0<m<^或加<θ］.

角度3给定参数范围的恒成立问题

【例5】对任意加£［-1,1］,函数於:)=d+(加一4)x+4—2团的值恒大于零，求K的取值

范围.

解由y(x)=x2+(m—4)x+4—2tn

=(χ-2)∕zz+x2-4Λ+4,

令g(m)=(χ-2)m+x2-4x+4.

由题意知在［-1,1］上，g(M的值恒大于零，

一Jχ-l)=(x-2)×(-l)+x2-4x+4>0,

所'.g(l)=(χ-2)+r一4X+4>0,

解得x<l或x>3.

故当χC(—8,1)U(3,+8)时，对任意的机C[-1,1],函数4X)的值恒大于零.

感悟升华1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定

的区间上全部在X轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在X轴

下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.

2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元,

求谁的范围，谁就是参数.

【训练2】函数<x)=∕+αr+3.

(1)若当XeR时，恒成立，求实数α的取值范围；

(2)若当x∈[一2,2]时，火x)2α恒成立，求实数”的取值范围;

(3)若当α∈[4,6]时，T(X)NO恒成立，求实数X的取值范围.

解(I)：当XeR时，Λ2+OX+3-α20恒成立，

需∕=42-4(3-α)W0,即标+44—12W0,

解得一6WαW2,臬实数α的取值范围是[-6,2].

(2)由题意可转化为x2+or+3-420在*6[—2,2]上恒成立，

令g(x)=χ2+αr+3-4，

rj>o,

则有①/WO或②<-^<-2,或

、g(—2)=7—3a20,

∕>0,

-1>2,

{g(2)=7+α20,

解①得一6WαW2,解②得α∈0,解③得一7WaV—6.

综上可得，满足条件的实数。的取值范围是[—7,2].

(3)令h(a)=xa+x2+3.

当α∈[4,6]时,%(α)20恒成立.

Λ(4)≥0,x2+4x+3≥0,

只需即

A(6)≥0,∕2+6x+320,

解得XW—3—或x2—3-∖-y∣6.

J实数尤的取值范围是(一8,—3—Λ∕6JU[―3÷√6,÷o°).

拓展视野/-元二次方程根的分布情况

一元二次方程的根即为对应二次函数的图象与X轴交点的横坐标，因此，一元二次方程的根

的分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来研究.往往根据方程根的情况

结合对应二次函数的图象建立不等关系式(组)，求得参数的取值范围.

【例1】已知二次方程(2m+1)/一2加r+(加-1)=0有一正根和一负根，求实数机的取值

范围.

解设/U)=(2m+1)尤2—2)77”+(〃2—1),

由(2m+l)√(0)V0,即(2m+l)(加-1)<0,

解得一即加的取值范围为(一/1).

【例2】已知方程2A2—(∕n+l)x+m=0有两个不等正实根，求实数,"的取值范围.

解设"r)=2χ2-(〃?+l)χ+,n,

〃/>0,

(加+1)2—8加>0,

一(m+1)

由〈一"今<—1,

jn>O

J(O)>0

fm<3—2啦或机>3+2市，LL

今j,O今0<m<3—2也或加>3+2也，即根的取值范围为(0,3—

2√2)U(3+2√2,+∞).

【例3】已知二次函数yU)=(m+2)χ2-(2m+4)x+3%+3与X轴有两个交点，一个大于1,

一个小于1,求实数机的取值范围.

解由("i+2)√0)<0,

即(nz+2)∙(2πι+1)<0=>-2VmV—

即加的取值范围为(一2,一;)

课后巩固作业r分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.(2021•石家庄模拟)已知集合A={4√—2χ-3>0},B={x∣lg(x+1)≤1),贝IJ(CRA)∩8=()

A.{x∣-l≤x<3}B.{Λ∣-1≤X≤9}

C.{x∣-l<x≤3}D.{Λ∣-1<T<9)

答案C

解析由X2—Zr—3>0,得x<—1或x>3;由lg(x+1)≤1,得0<r+lW10,解得一l<x≤9.

所以A={jφ<-I或x>3},B={x∣-l<x≤9},贝此RA=国一1WxW3},因此，(CRA)∩B={x∣

-l<x≤3},故选C.

2.（2020・汉中二模）若“<X0,则下列不等式中不成立的是（）

ʌ-2以B-⅛Σ

a2>h2

C-a>7bD.

答案B

解析由于α<⅛<0,两个负数中，较小的其绝对值较大，于是⑷>|勿，故A正确；函数人》）

=；在（一8,0）上单调递减，又a<a-b<O,所以故B错误；因为“<*0,所以鉴，

故C正确；两个负数，越小的其平方越大，所以当“<6<0时，α2>b2,故D正确，综上，只

有B项错误.

3.若a>0,且a≠7,则（）

A.l1aa<Ta1

B.I1Oa=Td1

C.l7cta>7aa,

D.77相与7。4的大小不确定

答案C

解析器

7

则当4>7时，0<-<l,7-α<0,

则（今7]>1,.∙.779>7%7;

当0<q<7时，]>l,7-4>0,则（今7-“>1,

77"">7"H.综上，η∖e>∏ud,.

4.（2021・武汉调研）已知实数a,b,C满足c<Xα,那么“αc<0''是"">砒”成立的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析已知c<b<a,若ac<O,则必有c<0<a,由b>c,可得而><zc,即ac<O=>ab>ac;若ab>ac,

且c<⅛<q,则α>0,b,C符号不确定，不一定有4c<0.因此，"nc<0''是"">"c''成立的充分不

必要条件.

5.（2020・廊坊调研）已知函数√（x）=（αX-I）（X+6）,如果不等式y（x）>O的解集为（一1,3）,那么

不等式式一2x）<0的解集为（）

解析由Xx)=(^-l)(x+⅛)>O的解集是(一1,3),

则α<O,故5=一匕—b=3,

即a=-∖,h=-3.

—X2H-2X+3,

/.y(—2τ)z=-4x2-4x÷3,

1、3

由-4x2-4x÷3<0,解得x>∕或x<—2»

故不等式式一2r)<O的解集是

(-8,-I)U(g,+8).故选A.

6.己知Xe(O,+∞),不等式9'一加3工+根+1>0恒成立，则相的取值范围是()

A.(2-2√2,2+2√2)B.(-∞,2)

C.(-8,2+2√2)D.[2+2√2,+∞)

答案C

解析法一令f=3p>l),则由已知得，函数用)=-一皿+根+1在户(1,+8)上的图象

恒在X轴的上方，

则有J=(-w)2-4(w+l)<0

//20,

或<当Wl,解得根<2+2啦.

J(I)=1—m+加+120,

法二因为x∈(0,+∞),所以3・\13-1>0,

9Λ+1

所以由9^v-7∏∙3v÷m÷1>0得机<怎~7.

3—1

人Z9x+l

令/劝=3工_1

nv_|_12

因为TU)=#=7=3，—1+于口+222啦+2(当且仅当3'=1+也时取“=”),所以根<2+

2√2.

二、填空题

7.若不等式N+αr+4<0的解集不是空集，则实数”的取值范围是.

答案(一8,—4)U(4,+∞)

解析由题意得/=层-4X4>0,即∕>i6.

.∙.α>4或〃<—4.

8.已知集合A={-5,—124,5},请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集

合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是.

答案(x+4)(X—6)>0(答案不唯一)

解析因为不等式(x+4)(χ-6)>0解集为{x∣x>6或XC-4},解集中只有一5在集合4中.

9.设α<0,若不等式一cos2χ+(α-1)COSX+/20对于任意的XeR恒成立，则α的取值范

围是.

答案(-8,-2]

解析令f=cosX,f∈[一1』]，则不等式刖=尸一3-1»一屏忘0对f∈[-l,l]恒成立，因此

Λ-1)≤O,[α-tι2≤0,

n,Vα<O,Λα≤-2.

∣Λ1)≤O[2-<z-α2≤0,

Ξ^解答题

10.已知y(x)=-3x2+α(6-α)x+6.

(1)解关于。的不等式yu)>o；

(2)若不等式兀v)>b的解集为(一1,3),求实数α,6的值.

解(1)由题意知y(l)=—3+α(6—a)+6=—α2+6α+3>0,即d1—6a—3‹0,解得3—2^∖∣3‹

Λ<3+2√3.

所以不等式的解集为{“∣3-2√5<4V3+2√5}.

(2);/(x)>b的解集为(一1,3),

方程一3χ2+α(6—4)x+6—b=0的两根为一1,3,

1I-4(6—")

∖,

I(1)十33a=3±∖∣3

解得，

I6—bb=-3.

∣^(-1)×3=--

故。的值为3丸份，力的值为-3.

II.甲厂以X千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求IWxWlO),每小时可获得的利

润是100(5犬+1一0元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求X的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利

润.

解⑴根据题意，得200（5工+1—：）》3000,

3

整理得5χ-14—嚏20,即5Λ2-14X—320,

又IWXWI0,可解得3WxW10.

故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，X的取值范围是［3,10］.

（2）设利润为y元，则

γ=≡,θθ（5χ+l-∣

=9Xlθ{5+q)

=9×lθ{-3g-∣)+⅜

故当x=6时，yιraχ=457500元.

即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500

元.

B级能力提升

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