预习02导数的运算（七大考点）

预习02导数的运算一、导数的计算1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数基本初等函数导函数（为常数）2.导数的运算法则若存在，则有：加减运算乘法运算除法运算，则．3.复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：二、求切线方程1.求曲线“在”点处的切线方程：第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2.求曲线“过”点处的切线方程第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.考点01基本初等函数的导数【方法点拨】（1）若求导函数符合导数公式,则直接利用公式求解.（2）对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.【例1】已知，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：C【例2】下列导数公式不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据基本初等函数的导数公式直接判断即可．【详解】根据基本初等函数的导数公式可知，ABD正确；C错误，应为.故选：C.【变式11】下列导数运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据基本初等函数的求导公式即可结合选项求解.【详解】对于A,,故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故C错误，对于D,,故D错误，故选：B【变式12】求下列函数的导数：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式求解；（2）利用基本初等函数的导数公式求解.【详解】（1）.（2）.【变式13】已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求导，然后直接解方程可判断ACD；根据函数与的图象是否有交点可判断B.【详解】对于A：，由解得或，所以存在“巧值点”；对于B：，作函数与的图象，由图可知存在“巧值点”；对于C：，由得，解得，所以存在“巧值点”；对于D：，因为，所以无实数解，所以不存在“巧值点”.故选：D考点02导数运算法则【方法点拨】应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题,要透彻理解函数求导法则的结构特点,熟记公式,还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.注意:当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简,再求导.【例3】已知函数，则（

）A．12 B． C．28 D．【答案】A【分析】由题意对函数求导，然后分别代入求值即可.【详解】由题意得，，所以.故选：A.【例4】（多选）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据导数的计算公式以及导数运算法则，逐项判断即可得出结果.【详解】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：对A，，A正确；对B，，B错误；对C，，C错误；对D，，D正确.故选：AD【变式21】设函数．若，则．【答案】【分析】根据题意，求得，结合，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，因为，可得，即，解得.故答案为：.【变式22】求下列函数的导数：(1)(2)(3)(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】利用基本函数的求导公式及导数的运算法则可得结果.【详解】（1）.（2）.（3）因为，所以.（4）.（5）.（6）因为，所以.【变式23】设，且，则，．【答案】10【分析】先求导，再代入解方程组得出结果.【详解】，由，得解得.故答案为：1；0．考点03复合函数的导数【方法点拨】求复合函数的导数的步骤：①选择中间变量,写出构成它的内、外层函数；②分别求各层函数对相应变量的导数；③把上述求导的结果相乘；④把中间变量回代【例5】（多选）下列求导运算正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据求导公式与求导法则，可得答案.【详解】对于A：，A正确；对于B：，B错误；对于C：，C错误；对于D：，D正确；故选：AD.【例6】求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）利用复合函数求导运算求解即可；（2）利用复合函数求导运算求解即可；（3）利用复合函数求导运算求解即可；（4）诱导公式和二倍角公式先化简，再直接求导；（5）利用复合函数求导运算求解即可；（6）利用复合函数求导运算求解即可.【详解】（1）由，则.（2）由，则.（3）由，则.（4）由，则.（5）由，则.（6）由，则.【变式31】（多选）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】由导数的四则运算和复合函数的导数公式计算.【详解】对A,若，则，A选项不正确；对B,若，则，B选项正确；对C,若，则，C选项正确．对D,若，则，D选项正确．故选：BCD【变式32】求下列函数的导数：(1)(2)【答案】(1)；(2).【分析】（1）应用导数加减、乘法及简单复合函数导数求法求函数的导函数；（2）应用导数除法法则求函数的导函数.【详解】（1）（2）【变式33】若函数满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．1【答案】A【分析】根据给定条件，结合复合函数求导法则两边分别求导，再赋值计算即得.【详解】由两边分别求导得：，当时，，所以.故选：A考点04解析式中含【方法点拨】注意是一个数字，不是一个函数【例7】已知函数，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据导数的求导法则，求导代入即可求解.【详解】对求导可得，所以，所以，故选：C【例8】已知函数，则（

）A．－12 B．12 C．－26 D．26【答案】C【分析】求出导数，令，求出，再求出.【详解】因为函数，所以，令则，，解得，所以，，所以，，所以.故选：C【变式41】设函数的导数为，且，则.【答案】【分析】根据求导法则，建立方程，可得答案.【详解】由题意，可得，所以，即，解得：.故答案为：.【变式42】已知函数，则.【答案】24【分析】求导后代入即可得，代入求解即可.【详解】，故，解得，故，所以.故答案为：24【变式43】已知函数（是的导函数），则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对于原函数和导函数，分别取，代入运算求解即可.【详解】因为，则，又因为，当时，，解得，所以.故选：D.考点05求“在”点处的切线方程【方法点拨】此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.【例9】已知函数，则曲线在点处的切线经过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，由点斜式得切线方程，再由直线方程不受参数的影响找到定点.【详解】因为，所以，则，又，直线过，则直线方程为，即，令，得，即直线不受参数的影响，恒过定点.故选：A.【例10】已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】求导得切点处的导数值，由点斜式求解切线方程，求出截距即可求解面积.【详解】，则，切点坐标为，又，则切线斜率，所以曲线在点处的切线是，即，取，得，取，得，故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：.故选：C.【变式51】求函数在处的切线的斜率及切线的方程．【答案】斜率，切线方程为【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】函数，则，，所以，所以函数在处的切线的斜率，切线的方程为，即.【变式52】函数的图象在处的切线在x轴上的截距为．【答案】【分析】由导数的几何意义先求得切线方程为，再令求解即可.【详解】记函数的图象在处的切线的斜率为，因为，所以，所以切线方程为，即，令得.故答案为：．【变式53】已知函数的图象过点，且.(1)求，的值；(2)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题目条件列出方程组求解；（2）利用导数求出切线斜率，再求直线在坐标轴上的截距即可求三角形面积.【详解】（1）由，得，由题意可得，，解得；（2）由（1）得，，，∴，，∴曲线在点处的切线方程为，即.取，得，取，得.∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.考点06求“过”点处的切线方程【方法点拨】注意题意中的点并不是切点，需假设切点坐标【例11】已知函数，过点作该函数曲线的切线，则该切线方程为（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】函数，求导得：，设切点坐标为，于是，解得，则，所以所求切线方程为，即.故选：D【例12】已知函数的零点为，过原点作曲线的切线，切点为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导得到切线方程，将原点代入切线方程，求出，再由，计算出.【详解】，切点为，则切线方程为，因为过原点，所以，解得，则，由，可得，故.故选：B【变式61】过点作曲线的切线，请写出切线的方程.【答案】或【分析】设切点，求导并写出切线方程，代入点求出值即可.【详解】设切点为，而，所以切线的斜率，故切线方程为，因为切线过点，，化简可得或，则切点为或，则代入得切线方程为：或，故答案为：或.【变式62】已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，，则.【答案】3【分析】设切点，根据导数的几何意义求出曲线的切线方程，将点代入，整理可得，而是此方程的两个实根，结合韦达定理即可求解.【详解】设切点为，由，得，则切线的斜率为，所以切线为，又切线过点，所以，整理得，而是此方程的两个实根，所以.故答案为：3【变式63】已知函数.(1)求在点处的切线方程；(2)过点作曲线的切线，求的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导函数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线的方程.（2）设切点，利用导函数求得切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，再将点代入切线方程，求出，进而求得切线方程.【详解】（1），因此，所以在点处的切线方程为：，即.（2）设切点，则切线的斜率为，切线为过，所以整理得，从而斜率，所以切线的方程为.考点07已知切线（斜率）求参数【例13】已知直线与曲线相切，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义，求出切点坐标，再根据切点在直线上求出的值.【详解】设切点为，由得，因为直线与曲线相切，所以，解得，，所以，又在直线上，所以，解得.故选：B.【例14】若直线与曲线相切，则实数a的值为（

）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义分析运算．【详解】，则，设直线l与曲线的切点，则直线l的斜率，由于直线斜率为，则，解得，所以，即切点为，故，解得．故选：A.【变式71】已知曲线的一条切线的斜率是，则切点的坐标为．【答案】【分析】根据导数的几何意义，即可求解.【详解】设切点坐标为，根据导数的几何意义可知，，得，所以切点坐标为.故答案为：【变式72】已知函数在处的切线方程为，则．【答案】/【分析】求导得到导函数，根据切线方程得到，解得答案.【详解】，，函数在处的切线方程为，即，则，解得或（舍），故.故答案为：【变式73】若直线与曲线相切于点，则．【答案】【分析】将代入得到关于，的方程，当时，导函数的值为，联立解方程即可．【详解】直线与曲线相切于点，则，故．又，当时，，所以，则．故答案为：3一、单选题1．若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由导数运算法则计算即可得.【详解】，则.故选：B.2．已知是奇函数，则在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据得，根据奇函数的以及对数的运算即可求解，求导得切线斜率，即可根据点斜式求解方程.【详解】为奇函数，所以，解得，所以，，故，故，故，解得，由于，所以，所以，定义域为，关于原点对称，符合题意，故，则，切点为，故，故切线方程为.故选：A3．曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得：，则，可知：所求切线的斜率为2，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：B.4．已知函数满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出导函数，代入，即可得出答案.【详解】由已知可得，，则，所以，.故选：A.5．以正弦曲线上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（

）A．∪ B．C． D．∪【答案】A【分析】根据导数求解点的斜率，然后结合三角函数与直线倾斜角范围判断；【详解】因为，所以，∴切线的斜率范围是，∴倾斜角的范围是∪，故选：A.6．在平面直角坐标系中，若曲线（，为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】由题意将点代入得，求导得，由题意将点代入得，联立即可得解.【详解】∵函数的导数为，∴曲线在点处的切线斜率为，由两直线平行可得①.又∵点在曲线上，∴②，由①②解得，.故选：C.二、多选题7．下列求函数的导数正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】分析函数的构成，利用基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导公式逐一判断即可．【详解】对于A选项：，故A正确；对于B选项：令，则，故B正确；对于C选项：利用复合函数的求导公式得：，故C不正确；对于D选项：利用复合函数的求导公式得：，故D不正确．故选：AB．8．定义在上的函数满足，则的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据已知，令，可得，即函数的图象过点，当时，变形为，根据导数的运算法则可得，即，即可得出原函数（为常数），即，即可对选项进行判断.【详解】当时，由，得；当时，可得，则，所以（为常数），所以，选项A，C，D分别符合，故选：ACD.9．若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】AD【分析】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项.【详解】设切点为，，所以切线的斜率，则此曲线在P处的切线方程为，又此切线过坐标原点，所以，由此推出有两个不等的实根，所以，解得或，故选：AD．三、填空题10．已知函数的导数为，则的解集为．【答案】【分析】首先求函数的导数，再求解不等式.【详解】，则，即，解得：或，舍去，所以不等式的解集为.故答案为：11．若，则曲线在处的切线方程为