五种数列通项求法-2023年高考数学一轮复习讲义与练习（新高考）原卷版

重难点05五种数列通项求法（核心考点讲与练）

U能力拓展

题型一：公式法求数列通项

一、单选题

1.（2022・北京•二模）已知｛%｝为等差数列，首项4=2,公差d=3,若a“+a“,2=28,则〃=（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022.河南•方城第一高级中学模拟预测（文））已知S,,为公差不为0的等差数列｛%｝的前n项和.若q=1,

S∣,S-品成等比数列，则％=（）

A.11B.13C.23D.24

3.（2022•陕西西安,三模（理））“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子

算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩

二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从

小到大的顺序排成一列，构成一个数列14,29,44,则该数列的项数为（）

A.132B.133C.134D.135

4.（2022・新疆・三模（文））已知数列｛4｝是以1为首项，3为公差的等差数列，他,｝是以1为首项，3为公

比的等比数列，设q,=%,Tn=cl+c2++ς,（∕2eN"）,当7；<2021时，"的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

5.（2022•浙江绍兴•模拟预测）已知数列｛q｝的前〃项和S“满足+若存在孙丘河，

使得4册+”则实数2的取值范围是（）

A.（o,ι）B.（-∞,O）5L^KO）

C.（1,-HX>）D.（0,l）U（l,4^）

二、多选题

6.（2021.广东.高三阶段练习）已知5〃为等差数列｛m｝的前〃项和，a?+S5=-18,a6^~a3,则（）

A.an=2n~ς）B.an=2n-l

C.Sn=n2-SnD.Sn=zn2-6n

7.（2022.全国•高三专题练习）我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和弩马发

长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；鸳马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎

号马，九日后二马相逢其大意为今有良马和弩马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前

一天多走13里；鸳马第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国，再返回迎接鸳马，9天

后两马相遇.下列结论正确的是（）

A.长安与齐国两地相距1530里

B.3天后，两马之间的距离为328.5里

C.良马从第6天开始返回迎接鸳马

D.8天后，两马之间的距离为377.5里

8.（2021.福建师大附中高三期中）各项均为正数的等比数列｛七｝的前〃项积为Z,,若%>1,公比4≠1,则

下列命题正确的是（）

A.若7；=勾，则必有几=1B.若4=看，则必有T,是刀,中最大的项

C.若[>（,则必有U>4D.若n>q,则必有4>北

9.（2021•江苏南通♦高三期中）在数列｛4｝中，已知q,生，…,¾）是首项为1，公差为1的等差数列，

可。“，4。“+1，…,4。"的是公差为小的等差数列，其中〃∈N*,则下列说法正确的是（）

A.当d=l时，a20=20B.若/=70,则d=2

C.若4+出+L+生。=320,则d=3D.当0<d<l时，"κχ,田,<£

I-U

三、填空题

10.（2022•河南洛阳,三模（文））设各项为正数的等比数列｛α,,｝的前"项和为s“，且q=l,S3=252+l,则

&=•

IL（2022∙江西景德镇•三模（文））已知数列｛4｝和正项数列｛"｝,其中ɑ,,ʤ",且满足"cosa“=b；-l,

数列｛g｝满足c,ι=gc,,其中％=2sin%-l.对于某个给定4或4的值，则下列结论中：①告L1J；

②c]∈（-l,0）:③数列｛%｝单调递减；④数列也｝单调递增.其中正确命题的序号为.

四、解答题

12.（2022∙河北保定•二模）已知公差为2的等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,且邑=16.

（1）求｛q｝的通项公式.

1ʌ1

⑵若Kf=——，数列f也｝的前〃项和为7；,证明

anan+2ʒ

13.（2022•福建龙岩•模拟预测）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，％+%=18,56=48.

（1）求｛%｝的通项公式；

2

⑵设""=五［函=，数列｛“｝的前〃项和为】，证明：当”23,“eZ时，4η,2>¾.

14.（2022•陕西,西安中学模拟预测（文））记S,为等比数列｛%｝的前〃项和，且公比q>1,已知叼=4,S3=14.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵设=4,+（4—1"，若色｝是递增数列，求实数4的取值范围.

15.（2022•山东临沂♦模拟预测）等比数列｛%｝中，％,a2,%分别是下表第一、二、三行中的某一个数,

且4，a2,%中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

（1）求数列｛q｝的通项公式:

⑵若数列圾｝满足：d=α,,+（-l）ln%,求数列也｝的前2及项和S?..

题型二：Sn和an关系法求数列通项

一、单选题

1.（2022•四川・内江市教育科学研究所三檄理））已知等比数列｛为｝的公比为〃,前"项和为S,,.若%=2Sz+l,

α4=2S3+l,贝IJq=（）

A.3B.2C.-3D.-2

2.（2022・福建三明•模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，若2S,,+α,m=2∕（"eN*）,⅛α2022=4048,

则％=（）

A.-8B.-3C.-2D.8

3.（2022・四川・内江市教育科学研究所三模（文））设S,为数列｛α,,｝的前〃项和.若S,,=/--则，2=。，，

是“2%=%+6”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

4.（2022•山东临沂•模拟预测）设数列｛叫的前〃项和为S”,已知2S,,=3"+3.数列也｝满足“也=唾3%，

则（）

C.数列出｝的前“项和毒=S_誓

D.数列也｝的前"项和4=3+普二

IZ4∙ɔ

5.（2022♦江苏江苏•三模）已知各项都是正数的数列｛q｝的前〃项和为S,,,且S,,=£+，-,则（）

A.｛S：｝是等差数列B.5,,+∖+2<2SΠ+I

C.an+l>anD.S,,--^->lnn

三、填空题

6.（2022.辽宁・二模）若数列｛为｝的前n项和S,,=?,则其通项公式为.

7.（2022•安徽•模拟预测（理））己知数列｛%｝满足l+g+§++m=2",则6+4++«„=.

8.（2022•山东淄博•模拟预测）设等差数列｛4｝的前〃项和为5“，若SMT=-3,鼠=-2,5m+,=0,则

m=.

9.（2022・四川绵阳•三模（理））已知数列｛q｝的前〃项和为S“，若q=3,¾+l=5,,+5,则&=.

四、解答题

10.（2022.福建泉州.模拟预测）记数歹∣J｛α,,｝的前〃项和为S”.已知4=1,.

从①«„+2-«„=4；②4用+%=4〃；③Sn=〃4向一水"+D中选出一个能确定｛。”｝的条件，

补充到上面横线处，并解答下面的问题.

（1）求｛4,｝的通项公式：

⑵求数列｛（-1）"况｝的前20项和£）.

11.（2022・湖南•长沙一中一模）已知数列｛叫的前”项和为S"，al=∖,S,川=2S,,+“+l.

（1）证明：数列｛见+1｝为等比数列；

（2）在4和&+|（&eN，）中插入上个数构成一个新数列｛%｝：q,b、,a2,b2,by,%,",bi,b6,ai,

其中插入的所有数依次构成数列也｝,通项公式包=（-1）"2〃.求数歹U｛%｝的前30项和乙.

12.(2022・广东・三模)已知数列｛七｝的前竹项和S,,4=1,an>0,anan+i=4Sn-i.

(1)计算出的值，求｛%｝的通项公式；

,

⑵设bn=(-l)'¾αn+l，求数列｛"｝的前〃项和T1,.

13.(2022•内蒙古呼和浩特•二模(理))从①G+4+…+凡=2””-2,②S,=2α,-2,这两个条件中选择一

个补充到下面问题中，并完成解答.

问题：已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且______,｛2｝为等差数列，⅛,=1,h2,a2,生成等差数列.

(1)写出所选条件的序号，并求数列｛4｝、｛4｝的通项公式；

⑵若O=正'求数列｛与｝的前〃项和τ"-

,

14.(2022.湖南师大附中二模)已知数列｛叫的前〃项和为S“，S,,=2an-2(neN).

⑴求数列｛4,J的通项公式；

(2)若"=Iog,,.2,则在数列也“｝中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数

列？若存在，请举例写出此三项；若不存在，请说明理由.

题型三：累加法求数列通项

一、单选题

ɪ.（2022・陕西•模拟预测（理））已知数列｛q｝满足〃q用=（"+l）4+2,ReN*）,且4=1,则能值=（）

A.6065B.6064C.4044D.4043

2.（2022•江西赣州•二模（理））已知数列｛。“｝满足％=1,当〃为奇数时当〃为偶数时。同=4+2",

则“22时，a2,,.l=()

3.（2022∙黑龙江.哈九中三模（理））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了

一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数

之差或者高次差成等差数列，如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为

等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现

有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第17项为（）

A.139B.160C.174D.188

二、多选题

4.（2022•福建宁德•模拟预测）数列｛%｝中,设＜=4∙%……%.若4存在最大值,则%可以是（）

n

A.%=2"YB.aπ=（-l）

5.(2022•山东日照•二模)已知数列｛《｝满足4=1,¾+1=¼,(ln0,,+l)+l,则下列说法正确的有()

A.言「5B.%-d≤d+l

3〃1〃

C.若“22,则—7<1D.∑ln(a,+l)≤(2n-l)ln2

4/=1ai÷1/=1

6.(2022・重庆•二模)设数列｛q｝的前〃项和为5“，己知6=2,且2(〃+1)%-We=θ(n∈N"),则下列结

论正确的是（）

A∙卜？｝是等比数列B.1皆｝是等比数列

C.an=n-2"D.S“=(〃-1)∙2"+2

三、填空题

7.(2022.安徽.巢湖市第一中学高三期中(文))已知首项为1的数列｛4｝的前〃项和为S,,,正项等比数列｛〃,｝

满足4+H=5,⅛-⅛1=∣5,若S向+d=S,,+4+3,且在数列｛4｝中，仅有5项不小于实数4,则实数几的

取值范围为.

8.(2022・安徽滁州•二模(文))已知数列｛4｝满足：ai=∖,a2=4Aa,^-3an-an+2=0,设

“画中布西而,-N，-则伉+4++如L-----------

四、解答题

9.(2022•河南•灵宝市第一高级中学模拟预测(文))已知数列｛为｝满足署—=而匕y(〃eN),且—I.

(1)求数歹(]｛6｝的通项公式：

⑵若数列｛bn｝满足"=券，求数列出｝的前〃项和S”.

10.(2022♦广东茂名♦二模)已知数列｛。“｝满足4=2,%=8,¾+2=4¾+l-3a,,.

(1)证明：数列｛(“-4｝是等比数歹U；

(-l),,∙(2n2+6π+5)

(2)若打，求数列｛2｝的前〃项和

ɪog^(l+¾,l)∙Iog^(1+。"+2)

H.(2022.全国.模拟预测)已知数列｛4｝("€")满足47=胆%+，，q=l.

(1)求｛4｝的通项公式；

4(〃一l)∙3'i,

⑵若2=一^一，求也｝的前"项和小

(2"+l)%

12.(2022・全国•模拟预测)若无穷数列｛4｝满足是公差为人的等差数列，则称｛q｝为“％)数列.

⑴若也｝为d(0)数列，(=1,瓦=4,求数列出｝的通项公式；

(2)数列｛q｝的前"项和为S“,C1=I,q=5,⑸｝为d⑵数列，求证:Sn≤ncl,.

题型四：累乘法求数列通项

一、单选题

,、1cιn-2%+111

1.（2022.河南.模拟预测（理））已知数列｛%｝中，«,=4，"ʌ"=-则满足α,,>77λλ的〃的最大

'"4⅛+2¾+ln+∖1000

值为（）

A.3B.5C.7D.9

2.（2022•浙江省义乌中学模拟预测）已知数列｛%｝、｛〃｝、｛%｝满足

it

«i=⅛1=cl=Lς,=«„,-«„>%+2=⅞∙C"（"eN"）,Sn=-j-+→+-Cn≥2）,7；,=-1--+-ɪ-++—1—（"≥3）

b

,,44b“ɑɜ-ɜ4-4all-n

则下列有可能成立的是（）

A.若㈤｝为等比数列，则嗑2>/22

B.若｛c,｝为递增的等差数列，则％）22<%22

C.若｛4｝为等比数列，则Wg<%22

D.若匕J为递增的等差数列，则邑。22>/22

二、多选题

3.（2022•湖南•长郡中学高三阶段练习）已知数列｛%｝满足4=1,q+宫+…+禧=而力，令

2=焉佟τ）,则（）

2021n）

A.%=100B.数列｛2｝是等差数列

C.打⑶为整数D.数列卜+2cos2[7b,J｝的前2022项和为4044

4.（2020•全国•高三专题练习）己知数列｛%｝满足q=l,%=4,nan+l≈λ（n+l）a,l,MN：若存在正整数

p,q,厂（*2,”「）使得等式翡+黑=》+半成立，则下列结论正确的有

A.Λ=2B.q,=（"+l）∙2"T

n

C.an=n-2-'D.4〃-2'=4

三、填空题

5.（2022・山西太原•二模（文））已知数列｛4｝的首项为1,前”项和为S“，且"S,,M=（"+2）S,,,则数列｛α,,｝

的通项公式％=.

19

6.（2022・全国•高三专题练习）数列｛4｝中，若4=1,“7=—%”"，则Z4=.

7.（2022・全国•高三专题练习）数列｛“〃｝的前〃项和为S〃，数列｛6〃｝的前〃项和为T”，满足α∕=2,

3Sj,=（"+M）为（"eN*M∈R）,且4∙d="+l.若对任意,j∈N∖衣&-北恒成立，则实数/1的最大值为

四、解答题

8.(2022•浙江绍兴•模拟预测)设等差数列｛q｝的各项为正数，其前"项和为S“，且可,阿二TM,用构成等

比数列.

(1)求4及s“；

(2)若数列也｝满足4=1,%=*^,求证：%+∣GJ,=4".

9.(2022•浙江杭州•二模)已知数列｛4｝满足4产0,∕j∈N*.

⑴若anan+2=ka∖∖>0且a”>0.

(i)当｛lg%｝成等差数列时，求人的值；

(ii)当&=2且q=l,4=160时，求的及。“的通项公式.

(2)若a„““+2=一万Ian+3'4一-1,a2<0,4«4,8].设S,,是｛4｝的前〃项之和，求Sz02O的最大值.

10.(2022•全国•模拟预测(理))已知数列｛%｝满足q=g,2(〃-l)q,—〃a,i=0.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)设数列｛《,｝的前”项和为S“，若2022Sz,+”>4042,则正整数〃的最小值.

题型五：构造法求数列通项

一、单选题

1.（2022•河南洛阳♦三模（文））若数列｛%｝和也｝满足4=2,bl=O,2w,,+l=3aιl+bll+2,2⅛,,+l=α,,+3⅛,,-2,

贝1]¾022+%21=（）

A.2∙32020+lB.3∙22020-lC.3∙22020+lD.3∙2202,-1

2.（2022•河南商丘•三模（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用

他的名字定义的函数称为高斯函数/（X）=[x],其中[x]表示不超过X的最大整数.已知数列｛4｝满足q=2,

4=5,%+2+40,,=5αW若d=[log√7,,+J,S“为数列|粤Q”的前〃项和，则区3,]=（）

I她+1J

A.249B.499C.749D.999

3.（2022.江苏.涟水县第一中学高三期中）定义：在数列｛0,,｝中，若满足--纵=d（"eN",d为常数），

an+∖an

称｛4｝为“等差比数列”，已知在“等差比数列”｛%｝中，q=%=l,%=3,则弧等于（）

“2017

A.4×20172-lB.4×20182-lC.4×20192-lD.4×20202-l

4.（2022・安徽黄山•二模（理））已知数列｛叫满足4=l,（2+4）（l--）=2,设[工]的前"项和为5“，则

lan）

α2022（S2022+2022）的值为（）

A.22022-2B.22022-lC.2D.1

二、多选题

5.（2022•福建•三模）已知..AAC（"=1,2,3,）是直角三角形，儿是直角，内角4、B八C"所对的边分

别为4、"、％，面积为S.，若伉=4,。=3,死尸生产，匕产生詈L,则（）

A.苗2.｝是递增数列B.（S2.）是递减数列

C.也-加｝存在最大项D.也-%｝存在最小项

6.（2021・辽宁•高三阶段练习）如图所示，邛（x∣,χ）,%,%），…，*,，%），…，是函数C：y=卡上

的点,4（⑥0）,A2（a2,0）,...,A（4,0）,…是X轴正半轴上的点,且工4£,AyA2P2,…，An,lAnPn,…,

均为等腰直角三角形（4为坐标原点）.（）

B,.中，券=丁，（n≥2）

2

C.an=n-n+l

1112021

D.1------------------1-…H-------------=-------------

“∣a2a2O2∖ɪθɪɪ

7.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛风｝满足4=-2,¾=2,αn+2-2¾=1,则（）

A.｛%κ｝是等比数列B.∑（¾.l+2）=-10

I=I

IO

C.｛/“｝是等比数列D.Zq=52

Z=I

8.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛α,,｝满足4=0,=e%+I（〃wN*）,前〃项和为S“，则下列

选项中正确的是（）（参考数据：In2≈0.693,ln3≈1.099）

A.a,,+an+l≥∖n2B.S2020<666

C.In∣≤¾≤ln2（n≥2）D.｛%｝是单调递增数列，｛%,｝是单调递减数列

三、填空题

9.（2022•湖北•宜城市第一中学高三阶段练习）五名运动员A、B、C、。、E相互传球.每个人在接到球

后随机传给其他四人中的一人.设首先由A开始进行第1次传球，那么恰好在第5次传球把球传回到A手中

的概率是（用最简分数表示）.

10