《1.1集合的概念》考点讲解、同步练习与培优

《1.1集合的概念》考点讲解与同步练习【思维导图】【常见考点】考点一集合的判断【例1】下列四组对象中能构成集合的是（）.A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数 D．倒数等于本身的数【一隅三反】1．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品2．下列对象能构成集合的是（）A．高一年级全体较胖的学生B．比较接近1的全体正数C．全体很大的自然数D．平面内到三个顶点距离相等的所有点【例2】由实数所组成的集合中，含有元素的个数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．5【一隅三反】1．已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知集合，则中元素的个数为（）A．1 B．5 C．6 D．无数个3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为（）A．1或－1 B．1或3C．－1或3 D．1，－1或3考法二集合的表示方法【例2】用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A、B两点距离相等的点的集合（2）满足不等式的的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）（7）方程的解集【一隅三反】1．用适当的方法表示下列集合：（1）一年中有31天的月份的全体；（2）大于小于12.8的整数的全体；（3）梯形的全体构成的集合；（4）所有能被3整除的数的集合；（5）方程的解组成的集合；（6）不等式的解集.2．用适当的方法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）方程的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.考法三集合中元素的意义【例3】试说明下列集合各表示什么？；；；；.【一隅三反】1．集合是指（）A．第二象限内的所有点 B．第四象限内的所有点C．第二象限和第四象限内的所有点 D．不在第一、第三象限内的所有点2．下列各组中的M、P表示同一集合的是()①；②；③；④A．① B．② C．③ D．④考法四元素与集合的关系【例4】用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.【一隅三反】1．用符号“”或“”填空：0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R.2．设集合，则（）A． B． C． D．3．已知集合，则与集合的关系是（）.A． B． C． D．考法五求参数【例5】若，则a=（）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1【一隅三反】1．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是____．2．已知集合，且，则实数的值为________．3．已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.集合的概念答案解析考点一集合的判断【例1】下列四组对象中能构成集合的是（）.A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数 D．倒数等于本身的数【答案】D【解析】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于，符合集合的定义，正确.故选：.本例题主要考查的是元素的确定性，即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量。本例题主要考查的是元素的确定性，即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量。【一隅三反】1．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品【答案】C【解析】选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C.2．下列对象能构成集合的是（）A．高一年级全体较胖的学生B．比较接近1的全体正数C．全体很大的自然数D．平面内到三个顶点距离相等的所有点【答案】D【解析】因为A中“较胖”、B中“接近”、C中“很大”均没有明确的标准，所以不能构成集合.D中元素能够成集合.故选：D【例2】由实数所组成的集合中，含有元素的个数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】∵，，故当时，这几个实数均为0；当时，它们分别是；当时，它们分别是.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个.故选：A本例题主要考查的是元素互异性，即一个集合中每个元素不能一样或重复本例题主要考查的是元素互异性，即一个集合中每个元素不能一样或重复【一隅三反】1．已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是.综上所述，的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.故选：C2．已知集合，则中元素的个数为（）A．1 B．5 C．6 D．无数个【答案】C【解析】由题得，所以A中元素的个数为6.故选C3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为A．1或－1 B．1或3C．－1或3 D．1，－1或3【答案】B【解析】因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1.考法二集合的表示方法【例2】用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A、B两点距离相等的点的集合（2）满足不等式的的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）（7）方程的解集【答案】（1）集合点，无限集；（2）集合，无限集；（3）集合，无限集；（4）集合，无限集；（5）集合，有限集；（6）集合，有限集；（7）集合，有限集.【解析】（1）因为到A、B两点距离相等的点满足，所以集合点，无限集.（2）由题意可知，集合，无限集.（3）因为偶数能被整除，所以集合，无限集.（4）由题意可知，集合，无限集.（5）因为20以内的质数有，，，，，，，.所以集合，有限集.（6）因为，所以方程的解为，，，，，所以集合，有限集.（7）由题意可知，集合，有限集.本例题主要考查集合的表示方法，列举法一般适用于有限集合且元素个数少；描述法一般适用于有限集合但元素个数多或者无限集合本例题主要考查集合的表示方法，列举法一般适用于有限集合且元素个数少；描述法一般适用于有限集合但元素个数多或者无限集合【一隅三反】1．用适当的方法表示下列集合：（1）一年中有31天的月份的全体；（2）大于小于12.8的整数的全体；（3）梯形的全体构成的集合；（4）所有能被3整除的数的集合；（5）方程的解组成的集合；（6）不等式的解集.【答案】（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）；（3）是梯形；（4）；（5）；（6）.【解析】（1）一年中有31天的月份的全体用列举法表示为{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）大于小于12.8的整数的全体用列举法表示为；（3）梯形的全体构成的集合用描述法表示为是梯形；（4）所有能被3整除的数的集合用描述法表示为；（5）方程的解组成的集合用列举法表示为；（6）不等式的解集用描述法表示为.2．用适当的方法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）方程的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）.【解析】（1）解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为.（2）方程有两个相等的实数根1，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为.（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且.（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足，则可用描述法表示为.（5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素y是实数，故可用描述法表示为.考法三集合中元素的意义【例3】试说明下列集合各表示什么？；；；；.【答案】答案见解析【解析】表示的取值集合，由知：，；表示的取值集合，由知：或，或；的代表元素为，表示反比例函数上的点构成的点集；的代表元素为，由知：，表示直线上除了以外的点构成的点集；表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.本例题考查的是集合中的元素的意义，元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。本例题考查的是集合中的元素的意义，元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。【一隅三反】1．集合是指（）A．第二象限内的所有点 B．第四象限内的所有点C．第二象限和第四象限内的所有点 D．不在第一、第三象限内的所有点【答案】D【解析】因为，故或，故集合是指第二、四象限中的点，以及在轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：D2．下列各组中的M、P表示同一集合的是()①；②；③；④A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合研究对象是函数值，集合研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C.考法四元素与集合的关系【例4】用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.【答案】【解析】(1)N为自然数集，2是自然数，所以；(2)Q表示有理数，为无理数，所以；(3)Z为整数集，是分数，所以；(4)R表示实数集，所以；(5)N为自然数集，-3不是自然数，所以；(6)Q表示有理数，是有理数，所以.本例题考查元素与集合的关系，即，开口朝向集合背靠元素本例题考查元素与集合的关系，即，开口朝向集合背靠元素【一隅三反】1．用符号“”或“”填空：0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R.【答案】【解析】是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则；是有理数，则；是无理数，则故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)2．设集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，所以选项A错误，，所以选项B正确，A,，所以选项C，D错误.故选：B3．已知集合，则与集合的关系是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】，∴，故有，∴.故选：B.考法五求参数【例5】若，则a=（）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1【答案】D【解析】当时，，当时，集合为不满足互异性，舍去，当时，集合为，满足；当时，，不满足互异性，舍去.故选：.本例题根据题意求参数时，求完参数记得检验元素之间的互异性！！！本例题根据题意求参数时，求完参数记得检验元素之间的互异性！！！【一隅三反】1．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是____．【答案】或【解析】因为集合中至多有一个元素所以方程至多有一个根，当时解得，满足题意当时，，解得综上：或2．已知集合，且，则实数的值为________．【答案】或0【解析】若则或当时，，符合元素的互异性；当时，，不符合元素的互异性，舍去若则或当时，，符合元素的互异性；当时，，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：或0.3．已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.【答案】（1）且；（2）或.【解析】（1）由于中有两个元素，∴关于的方程有两个不等的实数根，∴，且，即，且.故实数的取值范围是且.（2）当时，方程为，，集合；当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，此时，若关于的方程没有实数根，则中没有元素，此时.综上可知，实数的取值范围是或.《1.1集合的概念》同步练习【题组一集合的判断】1．下列说法中正确的是()A．联合国所有常任理事国组成一个集合B．衡水中学年龄较小的学生组成一个集合C．{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素2．下列几组对象可以构成集合的是（）A．充分接近π的实数的全体 B．善良的人C．世界著名的科学家 D．某单位所有身高在1.7m以上的人3．下列关于集合的命题正确的有（）①很小的整数可以构成集合②集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一个集合;③1，2，|-|，0.5，这些数组成的集合有5个元素④空集是任何集合的子集A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．已知非零实数，，，则代数式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．【题组二集合的表示方法】1．方程组的解构成的集合是（）A． B． C． D．2．已知集合，则集合中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．集合用列举法表示是（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}4．用适当的方法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）方程的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题组三集合中元素的意义】1．下列命题中正确的有（）①很小的实数可以构成集合；②集合与集合是同一个集合；③集合是指第二和第四象限内的点集.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．下列与集合表示同一个集合的有（）A．B．C．D． E.3．下列集合是否有区别？（1）；（2）；（3）（4）；（5）或【题组四集合与元素的关系】1．已知集合，则有（）.A．且 B．但 C．但 D．且2.已知集合，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．3．设不等式的解集为，下列正确的是（）A． B．C． D．4．已知集合，集合，选项中元素与集合的关系都正确的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且5．已知集合，用列举法表示为____________.【题组五求参数】1．已知集合，若，则______.2．含有三个实数的集合既可表示成又可表示成，_____.3．当集合时，_______,______,_______.4．已知集合，若，则________.5．已知集合，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是____；6．若，则集合中所有元素之和为______.7．已知,,求实数的值.8．已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2017+y2018=______．9．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1.1集合的概念答案解析【题组一集合的判断】1．下列说法中正确的是()A．联合国所有常任理事国组成一个集合B．衡水中学年龄较小的学生组成一个集合C．{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素【答案】A【解析】年龄较小不确定,所以B错;{1，2，3}与{2，1，3}是相同的集合;由1，0，5，1，2，5组成的集合有4个元素,因此选A.2．下列几组对象可以构成集合的是（）A．充分接近π的实数的全体 B．善良的人C．世界著名的科学家 D．某单位所有身高在1.7m以上的人【答案】D【解析】选项，，所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项的标准唯一，故能组成集合．故选：D．3．下列关于集合的命题正确的有（）①很小的整数可以构成集合②集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一个集合;③1，2，|-|，0.5，这些数组成的集合有5个元素④空集是任何集合的子集A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】①很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素确定性，故错误②集合为，需要求出函数的值域，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故错误③l，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故错误④空集是任何集合的子集正确综上只有1个命题正确，故选4．已知非零实数，，，则代数式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当都为正数时，；当都为负数时，.因此，若都为正数，则；若两正一负，则；若一正两负，则；若都为负数，则.所以代数式表示的所有的值的集合是.故选：D.【题组二集合的表示方法】1．方程组的解构成的集合是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵∴∴方程组的解构成的集合是{（1，1）}故选：C．2．已知集合，则集合中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】，所以集合中元素的个数为3.故选：D.3．集合用列举法表示是（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}【答案】D【解析】由题意，又，∴集合为．4．用适当的方法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）方程的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）.【解析】（1）解方程组得故解集可用列举法表示为.（2）方程的实数根为1，因此可用列举法表示为.（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且.（4）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，故可用描述法表示为.【题组三集合中元素的意义】1．下列命题中正确的有（）①很小的实数可以构成集合；②集合与集合是同一个集合；③集合是指第二和第四象限内的点集.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】对于①，集合具有确定性，故①错；对于②，集合相等必须元素的类型相同，而前者为数，后者为点的集合，故②错；对于③，坐标轴上的点不属于任何一个象限，故③错；故选A2．下列与集合表示同一个集合的有（）A．B．C．D． E.【答案】AC【解析】由得即,所以根据集合的表示方法知A,C与集合M表示的是同一个集合故选：AC3．下列集合是否有区别？（1）；（2）；（3）（4）；（5）或【答案】有区别【解析】由题意可知：（1），表示大于或等于的全体实数构成的集合；（2），表示大于或等于的全体实数构成的集合；（3），表示曲线上所有的点构成的集合；（4），表示点构成的集合；（5）或，表示直线或直线上的点所构成的集合.综上所述，以上5个集合有区别.【题组四集合与元素的关系】1．已知集合，则有（）.A．且 B．但 C．但 D．且【答案】B【解析】由，即集合A，则，.故选：B2.已知集合，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合，所以，，，故选：D3．设不等式的解集为，下列正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解不等式：，可得：，所以，显然，故选：B.4．（已知集合，集合，选项中元素与集合的关系都正确的是（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【解析】因为，所以；又，所以，故C正确.故选：C5．已知集合，用列举法表示为____________.【答案】【解析】由，得，.故答案为:.【题组五求参数】1．已知集合，若，则______.【答案】2【解析】依题意或，解得或；由集合中元素的互异性可知当时，集合的两个元素相等，不合题意；所以.故答案为：2.2．含有三个实数的集合既可表示成又可表示成，______.【答案】1【解析】由题意可知，两个集合相等，，由所以只能是，即，所以，由集合互异性可知，则，解得，符合题意，所以，故答案为：1.3．当集合时，_______,______,_______.【答案】【解析】由于两个集合相等，所以两个集合的元素完全一样，左边集合有元素0，所以右边集合也有元素0，且只能c=0,其余元素要一样，所以a=1,,填．4．已知集合，若，则________.【答案】0【解析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同.,又,故答案为0.5．已知集合，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是______；【答案】【解析】若中至少有一个元素，则方程至少有一个解．当时，方程等价为，即，满足条件．当，判别式，解得且．综上所述，的取值范围为，即故答案为：6．若，则集合中所有元素之和为______.【答案】2【解析】因为，所以，即.此时即为，所以元素之和为2.故答案为：27．已知,,求实数的值.【答案】【解析】因为，所以有或，显然，当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；当时，解得，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故.8．已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2017+y2018=______．【答案】-1【解析】∵集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，A=B，∴，解得x=-1，y=0，

则x2017+y2018=（-1）2017+02018=-1．故答案为：-1．9．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或【解析】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，（2）若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)若a∈A，则∈A.又∵2∈A，∴＝－1∈A.∵－1∈A，∴＝∈A.∵∈A，∴＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，.(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．《1.1集合及其表示方法》培优同步练习一、单选题1．下列四组对象中能构成集合的是（）.A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数 D．倒数等于本身的数2.集合用列举法表示是A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}3.已知集合，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．4．已知集合，则集合中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．设集合，，则集合B中元素的个数为（）A．1 B．2C．3 D．46．已知集合，则与集合的关系是（）.A． B． C． D．7．下面四个命题正确的个数是（）.①集合中最小的数是1；②若，则；③若，则的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．38．有下列四个命题：①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39.已知非零实数，，，则代数式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．10．若，则a=（）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1二、多选题11．下列表示正确的是（）A． B． C． D． E.12．（多选）下面四个说法中错误的是（）A．10以内的质数组成的集合是B．由1，2，3组成的集合可表示为或C．方程的所有解组成的集合是D．0与表示同一个集合13．下列是集合中元素的有（）A． B． C． D． E.14.实数1是下面哪一个集合中的元素（）A．整数集Z B． C．D． E.三、填空题15．已知集合，用列举法表示为____________.16．已知集合，若，则______.17．用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.18．用符号“”或“”填空：（1）0______；（2）_______；（3）_______；（4）2017_______.19.用列举法表示集合是_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是_____________________．20．由实数，，，，所组成的集合中最多含______个元素，最少含______个元素.21．（1）若，则实数_____；（2）若，则实数a的取值范围是______.四、解答题22．用列举法表示下列集合:(1);(2);(3).23．试说明下列集合各表示什么？；；；；.24．用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A、B两点距离相等的点的集合（2）满足不等式的的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）（7）方程的解集25已知,,求实数的值.26．当实数、满足什么条件时，集合是有限集、无限集、空集？27．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.(1)若A是单元素集合，求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．1.1集合及其表示方法答案解析一、单选题1．下列四组对象中能构成集合的是（）.A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数 D．倒数等于本身的数【答案】D【解析】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于，符合集合的定义，正确.故选：.2.集合用列举法表示是A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}【答案】D【解析】分析：解出不等式得，小于5的自然数有5个．详解：由题意，又，∴集合为．3.已知集合，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合，所以，，，故选：D4．已知集合，则集合中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】，所以集合中元素的个数为3.故选：D.5．设集合，，则集合B中元素的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】因为x∈B，－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，又1－x∉A，则当0∈B时，1－0＝1∈A，不符合题意；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A，不符合题意；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A，不符合题意；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，符合题意.所以，故集合B中元素的个数为1.故选：A6．已知集合，则与集合的关系是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】，∴，故有，∴.故选：B.7．下面四个命题正确的个数是（）.①集合中最小的数是1；②若，则；③若，则的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当时，，但，故②错误；若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④错误.故选：C8．有下列四个命题：①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；②中当时不成立，不正确；③中有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；④中集合是有限集，正确，故选：B9.已知非零实数，，，则代数式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当都为正数时，；当都为负数时，.因此，若都为正数，则；若两正一负，则；若一正两负，则；若都为负数，则.所以代数式表示的所有的值的集合是.故选：D.10．若，则a=（）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1【答案】D【解析】当时，，当时，集合为不满足互异性，舍去，当时，集合为，满足；当时，，不满足互异性，舍去.故选：.二、多选题11．下列表示正确的是（）A． B． C． D． E.【答案】ADE【解析】对于A,0是自然数,则,故A正确；对于B,不是整数,则,故B错误；对于C,是整数,则,故C错误；对于D,是无理数,则,故D正确；对于E,是有理数,则,故E正确故选：ADE12．（多选）下面四个说法中错误的是（）A．10以内的质数组成的集合是B．由1，2，3组成的集合可表示为或C．方程的所有解组成的集合是D．0与表示同一个集合【答案】CD【解析】10以内的质数组成的集合是，故A正确；由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确；方程的所有解组成的集合是，故C错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D错误.故选CD.13．下列是集合中元素的有（）A． B． C． D． E.【答案】ABC【解析】∵,∴或或,∴故选：ABC14.实数1是下面哪一个集合中的元素（）A．整数集Z B． C．D． E.【答案】ABD【解析】1是整数，因此实数1是整数集Z中的元素，故A选项正确；由得或，因此实数1是集合中的元素，故B选项正确；1不满足，因此实数1不是集合中的元素，故C选项不正确；当时，，因此实数1是集合中的元素，故D选项正确；当时，无意义，因此实数1不是集合中的元素，故E选项不正确.故选：ABD.三、填空题15．已知集合，用列举法表示为____________.【答案】【解析】由，得，.故答案为:.16．已知集合，若，则______.【答案】2【解析】依题意或，解得或；由集合中元素的互异性可知当时，集合的两个元素相等，不合题意；所以.故答案为：2.17．用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.【答案】【解析】【分析】N为自然数集，Q为有理数，Z为整数集，R为实数集，判断元素与集合之间的关系用相应的符号填写即可.【详解】(1)N为自然数集，2是自然数，所以；(2)Q表示有理数，为无理数，所以；(3)Z为整数集，是分数，所以；(4)R表示实数集，所以；(5)N为自然数集，-3不是自然数，所以；(6)Q表示有理数，是有理数，所以.18．用符号“”或“”填空：（1）0______；（2）_______；（3）_______；（4）2017_______.【答案】【解析】(1)为不含有任何元素的集合，所以；(2)，；(3)(4)因为2017不能被表示为的形式，所以；19.用列举法表示集合是_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是_____________________．【答案】【解析】分析：由，且，则取值只能为，求出对应的可得集合中的各元素，被4除余1的整数可表示为（）形式．详解：由题意，所有被4除余1的整数组成的集合为．