《第四章 指数函数与对数函数》同步练习及答案解析

《第四章指数函数与对数函数》同步练习4.1指数【题组一根号的运算】1．化简：－＝________.2．化简：________.3．化简：＝________.4．＋的值是________.5．化简：－＝________.6．化简：__________.7．_____________.8．若，则的取值范围是_________；【题组二分数指数幂的运算】1．化简的结果为（）A． B． C． D．2．计算：的值为______．3．计算（其中，）【题组三条件等式求值】1．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.2．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值.3．已知，求的值.4．已知，，求的值.5．（1）已知，化简.（2）设，，，求的值.【题组四综合运算】1．化简：________.2．．3．计算_________.4．=_____________.5计算化简（2（2）21（3）[(（4）(2（5）（6）.(7)已知=3，求的值．（8）（-）（3）（-2）（9）2（-3）÷（-6）（10）；（12）若，求的值．4.1指数答案解析【题组一根号的运算】1．化简：－＝________.【答案】【解析】原式＝.故答案为：2．化简：________.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：.3．化简：＝________.【答案】【解析】原式＝a＋|1－a|＝故答案为：4．＋的值是________.【答案】0或2(a－b)【解析】解析＋＝|a－b|＋(a－b)＝.故答案为：0或2(a－b).5．化简：－＝________.【答案】【解析】因为，，所以－.6．化简：__________.【答案】【解析】原.故答案为：.7．_____________.【答案】【解析】化简得：，整理得：.故答案为：.8．若，则的取值范围是_________；【答案】【解析】由于，所以，解得，故的取值范围是.故答案为：【题组二分数指数幂的运算】1．化简的结果为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】原式.故选：A2．计算：的值为______．【答案】10【解析】故答案为:10．3．计算（其中，）【答案】【解析】原式原式【题组三条件等式求值】1．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）平方得，；（2）由（1），平方得，.2．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值.【答案】－.【解析】＝＝.①∵a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，∴a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－6.③将②③代入①，得＝＝－.3．已知，求的值.【答案】【解析】由题意，，所以原式．故答案为：．4．已知，，求的值.【答案】【解析】原式.5．（1）已知，化简.（2）设，，，求的值.【答案】（1）；（2）8【解析】（1）由，得，∴.（2）令，，则，，，.∴.【题组四综合运算】1．化简：________.【答案】【解析】.2．．【答案】【解析】,所以应填.3．计算_________.【答案】【解析】．故答案为：．4．=_____________.【答案】110【解析】由幂的运算法则及根式意义可知，，故填.5计算化简（（2）21（3）[(（4）(2（5）（6）.(7)已知=3，求的值．（8）（-）（3）（-2）（9）2（-3）÷（-6）（10）；（12）若，求的值．【答案】（1）12.（2）12（3）0（4）1615（5）；（6）（8）；（9）.（10）(11)(12).【解析】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：（21（2）21（3）[(（4）(2（5）原式（6）原式.(7)由，得，即x+2+x-1=9．∴x+x-1=7．两边再平方得：x2+2+x-2=49，∴x2+x-2=47．∴=．（8）（-）（3）（-2）==6x0y1=6y；（9）2（-3）÷（-6）==x2y．（10）原式.（11）原式；（12）若，则，，故．4.2指数函数【题组一指数函数的判断】1.下列函数中，指数函数的个数为()①②y＝ax；③y＝1x；④A．0B．1C．3D．42．下列各函数中，是指数函数的是（）A． B． C． D．3．下列函数是指数函数的是________(填序号)．①y＝4x；②y＝x4；③y＝(－4)x；④y＝4x2.4.下列函数中是指数函数的是________.①；②；③；④；⑤；⑥.5．若函数是指数函数，则（）A． B． C．或 D．且6．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（）A．且 B．且C．且 D．【题组二定义域和值域】1．已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是()A． B．C． D．2．函数的定义域为__________.3．函数的定义域为______________．4．已知函数，则的最小值是_____________.5．已知函数．若，使得，则实数的最大值为__________．6．已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是__________.7．函数的值域为____________.8．函数的值域是_________.9．若函数有最大值3，则实数a的值为__________.10．函数在的最大值为，那么________.11．已知函数的定义域和值域都是，则________．【题组三指数函数性质】1．函数的增区间是________________.2．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．3．已知，，，则，，的大小关系是______．4．已知在上恒成立，则实数的最大值是__________.5．求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.（1）；（2）；（3）；（4）.6．若函数为奇函数．（1）求的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域．【题组四定点】1．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)2．函数且的图象过定点，这个点的坐标为______3．函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为________.4．函数（且）的图象过定点，则点的坐标为______.【题组五图像】1．二次函数与指数函数的图像的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．函数的图象大致为（）A． B．C． D．3．已知a＞1，则函数y=ax与y=（a-1）x2在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．4．已知,则函数的图像必定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．设且则函数与在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．6．已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（）A． B． C． D．7．若函数的图象不经过第二象限，则有（）A． B． C． D．8．若函数，（，且）的图像经过第一，第三和第四象限，则一定有（）A．且 B．且C．且 D．且9．若函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）．A．且 B．且 C．且 D．且10．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．【题组六综合运用】1．已知函数，.（1）当时，，求函数的值域；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．2．已知函数，.（1）当时，求的值域；（2）若的最大值为，求实数的值.3．已知函数，（1）若，求的单调区间；（2）若有最大值3，求的值.（3）若的值域是，求的取值范围.4．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值．（2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围．4.2指数函数答案解析【题组一指数函数的判断】1.下列函数中，指数函数的个数为()①②y＝ax；③y＝1x；④A．0B．1C．3D．4【答案】B【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．故选B2．下列各函数中，是指数函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据指数函数的定义知，，A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；D正确.故选：D3．下列函数是指数函数的是________(填序号)．①y＝4x；②y＝x4；③y＝(－4)x；④y＝4x2.【答案】①【解析】形如且)的函数，叫指数函数.由指数函数定义，只有①是指数函数；②y＝x4是幂函数；③y＝(－4)x，由于底数，所以③不是指数函数；④y＝4x2不是指数函数.故答案为：①下列函数中是指数函数的是________.①；②；③；④；⑤；⑥.【答案】①④【解析】函数是指数函数，且也是指数函数，其它函数不符合指数函数的三个特征.故答案为：①④.5．若函数是指数函数，则（）A． B． C．或 D．且【答案】B【解析】由指数函数的定义，得，解得．故选：B6．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且.故选：C.【题组二定义域和值域】1．已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是()A． B．C． D．【答案】D【解析】实数且,若函数的值域为,当时,当时,的值域为,与值域为矛盾,所以不成立当时,对于函数,,函数的值域为.所以只需当时值域为的子集即可.即,解得（舍去）综上可知的取值范围为故选:D2．函数的定义域为__________.【答案】【解析】函数的自变量满足：，解得即.故答案为：3．函数的定义域为______________．【答案】【解析】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函数的定义域为，故答案为.4．已知函数，则的最小值是_____________.【答案】【解析】当时，函数单调递增，此时；当时，设，，此时，．综上可知，函数的最小值是．故答案为：．5．已知函数．若，使得，则实数的最大值为__________．【答案】2【解析】由题意可知，函数在的值域是函数在上值域的子集，，，等号成立的条件是，即，成立，即函数在的值域是，是增函数，当时，函数的值域是，所以，解得：，所以实数的最大值是2.故答案为：26．已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是__________.【答案】【解析】因为“对任意，存在，使”是真命题，所以只需，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因为函数在上单调递减，所以所以，故答案为：7．函数的值域为____________.【答案】【解析】，，，，所以，则.故答案为：8．函数的值域是_________.【答案】【解析】设

当时，有最大值是9；当时，有最小值是-9，，由函数在定义域上是减函数，∴原函数的值域是故答案为9．若函数有最大值3，则实数a的值为__________.【答案】2【解析】令，则，由题意有最大值3，则有最小值，所以且，解得.故答案为：210．函数在的最大值为，那么________.【答案】【解析】令，则，对称轴为，在单调递增，所以，解得.故答案为：11．已知函数的定义域和值域都是，则______．【答案】【解析】当时，函数在上单调递增，所以，即，此时方程组无解.当时，函数在上单调递减，所以，即，解得：所以，则故答案为：.【题组三指数函数性质】1．函数的增区间是________________.【答案】【解析】函数的定义域为，令，则，因为在上单调递减，而在上单调递减，所以函数的增区间为.故答案为：2．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】本题等价于在上单调递增，对称轴，所以，得．即实数的取值范围是．3．已知，，，则，，的大小关系是______．【答案】【解析】∵指数函数是单调减函数，，∴,是单调增函数，∴，∴，故答案为：.4．已知在上恒成立，则实数的最大值是__________.【答案】2【解析】由指数函数的性质，可得在为单调递增函数，所以，可得，即最小值为2，又由在上恒成立，所以，即实数的最大值2.故答案为：2.5．求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）定义域：，值域：，减区间：；（2）定义域：，值域：，减区间：和；（3）定义域：R，值域：，增区间：，减区间：；（4）值域，减区间：，增区间：【解析】（1）由得，所以定义域为，又，所以，，所以值域中，在上是减函数，所以的减区间是；（2）由得，所以定义域是，又，所以值域是，在和上都是增函数，所以的减区间是和；（3）定义域是，又，所以值域中，在上递增，在上递减，所以的增区间，减区间是；（4）定义域是，令，由，所以，，所以，值域，又在上递减，在上递增，而是减函数，所以的减区间是，增区间．6．若函数为奇函数．（1）求的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）记，∵是奇函数，∴，∴；（2），，∴定义域为；（3）由（1），∵，∴或，∴或，∴或．∴值域为．【题组四定点】1．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【解析】当，即时，，为常数，此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.2．函数且的图象过定点，这个点的坐标为______【答案】【解析】令，，所以函数过定点.故答案为:.3．函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为________.【答案】【解析】由指数函数过定点且图像向右平移1个单位，向上移动1个单位得到图像，所以函数过定点故答案为：4．函数（且）的图象过定点，则点的坐标为____.【答案】【解析】由得,此时,即函数过定点，故答案为:.【题组五图像】1．二次函数与指数函数的图像的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】二次函数，且时，；时，.指数函数,当时，；时，.两个函数上均单调递减，在坐标系中画出与的图象，如图所示，由图可得，两个函数图像的交点个数为1.故选：C.2．函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】作出函数的图象，如下图所示，将的图象向左平移个单位得到图象.故选：B3．已知a＞1，则函数y=ax与y=（a-1）x2在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵a＞1，∴函数y=ax为增函数，函数y=（a-1）x2在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．故选：A．4．已知,则函数的图像必定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】此题考查指数函数的图像的性质和指数函数的上下平移；有已知得到：此指数函数是减函数，分布在第一，二象限，渐近线是轴，即；（）是由指数函数向下平移大于1个单位得到的，即原来指数函数所过的定点向下平移到原点的下方了，所以图像不经过第一象限，所以选A，如下图所示：5．设且则函数与在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】对A，中的，中的，不能统一，错误；对B，中的，中的，不能统一，错误；对C，中的，中的，正确；对D，中的，中的，不能统一，错误；故选：C.6．已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】很显然，均大于1；与的交点在与的交点上方，故，综上所述:.故选:C.7．若函数的图象不经过第二象限，则有（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，当时，，所以函数的图象不经过第二象限，则有，解得，故选：D.8．若函数，（，且）的图像经过第一，第三和第四象限，则一定有（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【解析】根据指数函数的图象和性质可知，要使函数y＝ax﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则函数为增函数，∴a＞1，且f（0）＜0，即f（0）＝1﹣b＜0，解得b＞1，故选：B．9．若函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）．A．且 B．且 C．且 D．且【答案】C【解析】，经过二、三、四象限，则其图像应如图所示：所以，，即，故选B.10．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得，的定义域为，排除C,D；当时，，∵，∴在上单调递减，排除A，故选B.【题组六综合运用】1．已知函数，.（1）当时，，求函数的值域；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，令，由，得，，当时，；当时，．∴函数的值域为；（2）设，则，在对任意的实数x恒成立，等价于在上恒成立，∴在上恒成立，∴，设，，函数在上单调递增，在上单调递减，∴，∴．2．已知函数，.（1）当时，求的值域；（2）若的最大值为，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，在上单调递减，故，，所以的值域为.（2），令，则原函数可化为，其图象的对称轴为.①当时，在上单调递减，所以，无解；②当时，，即，解得；③当时，在上单调递增，所以，解得，不合题意，舍去.综上，的值为.3．已知函数，（1）若，求的单调区间；（2）若有最大值3，求的值.（3）若的值域是，求的取值范围.【答案】（1）函数f(x)的递增区间是(−2,+∞),递减区间是(−∞,−2)；（2）a=1；（3）{0}【解析】(1)当a=−1时,，令，由于g(x)在(−∞,−2)上单调递增,在(−2,+∞)上单调递减，而在R上单调递减，所以f(x)在(−∞,−2)上单调递减,在(−2,+∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(−2,+∞),递减区间是(−∞,−2).(2)令,,由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值−1，因此=−1，解得a=1.即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y=h(x)的值域为(0,+∞).应使的值域为R，因此只能有a=0.因为若a≠0,则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是{0}.4．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值．（2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围．【答案】（I）(II)【解析】（1）已知函数为奇函数，由，求得的值；（2）恒成立问题通常是求最值，将原不等式整理为对恒成立，进而求在上的最小值，得到结果.试题解析：（1）因为是奇函数，所以，即所以对一切恒成立，所以.（2）因为，均有即成立，所以对恒成立，所以,因为在上单调递增，所以，所以.4.3对数【题组一指数对数的转化】1．将下列指数式改为对数式：（1），对数式为_____________；（2），对数式为___________；（3），对数式为_____________；（4），对数式为_____________.2．用对数的形式表示下列各式中的x：（1）；（2）；（3）；（4）.3．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【题组二对数式求值】1．下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有()A．个 B．个 C．个 D．个2.求下列各式中的x的值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；(3)log(eq\r(3)＋1)eq\f(2,\r(3)－1)＝x.【题组三对数式化简】1．计算下列各式：（1）___________；（2）_________；（3）_________；（4）________；（5）________．2.计算、化简下列各式的值：①4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；②eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8).③eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).④lg5·lg8000＋(lg2eq\r(3))2＋lg0.06－lg6；⑤eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).⑥； ⑦.⑧log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3))；【题组四换底公式】1．计算（）A．3 B．4 C．5 D．62．（1）计算：.（2）已知，，试用，表示.3．计算下列各式：（1）；（2）；（3）．【题组五指数对数运算的综合】1．已知，，若，，则的最大值为____.2．若，则（）A． B． C． D．23．设，则（）A． B． C． D．4．设，则（）A．1 B．4 C．6 D．25．已知，则______．4.3对数答案解析【题组一指数对数的转化】1．将下列指数式改为对数式：（1），对数式为_____________；（2），对数式为___________；（3），对数式为_____________；（4），对数式为_____________.【答案】【解析】(1)利用互化公式可得，.(2)利用互化公式可得，(3)利用互化公式可得，(4)利用互化公式可得，.故答案为:；；；.2．用对数的形式表示下列各式中的x：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）根据指数式与对数式的相互转化（2）根据指数式与对数式的相互转化∴（3）根据指数式与对数式的相互转化（4）根据指数式与对数式的相互转化3．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】见解析【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【题组二对数式求值】1．下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有()A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】对①，因为，，所以，故①正确；对②，因为，，所以，故②正确；对③，因为，故③错误；对④，因为，故④错误.故选：B.2.求下列各式中的x的值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；(3)log(eq\r(3)＋1)eq\f(2,\r(3)－1)＝x.【答案】（1）3（2）32（3）1【解析】(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.(3)eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\f(2\r(3)＋1,2)＝eq\r(3)＋1，所以log(eq\r(3)＋1)eq\f(2,\r(3)－1)＝log(eq\r(3)＋1)(eq\r(3)＋1)＝1，所以x＝1.【题组三对数式化简】1．计算下列各式：（1）___________；（2）_________；（3）_________；（4）________；（5）________．【答案】-262【解析】（1）；（2）（3）（4）（5）故答案为：；；；；.2.计算、化简下列各式的值：①4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；②eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8).③eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).④lg5·lg8000＋(lg2eq\r(3))2＋lg0.06－lg6；⑤eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).⑥； ⑦.⑧log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3))；【答案】①4②1③eq\f(11,5).④1⑤eq\f(1,2)⑥；⑦1.⑧2【解析】①原式＝lgeq\f(24×53,\f(1,5))＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.②原式＝eq\f(lg4＋lg3,1＋lg\r(0.36)＋lg\r(3,8))＝eq\f(lg12,1＋lg0.6＋lg2)＝eq\f(lg12,lg12)＝1.③原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,4－3lg3)＝eq\f(11,5).④原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2＋lg6－2－lg6＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝1.⑤原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\f(1,2).⑥因为，，所以.⑦.⑧原式＝log2[eq\r(8＋4\r(3))eq\r(8－4\r(3))]＝log2eq\r(82－4\r(3)2)＝log2eq\r(64－48)＝log24＝2.【题组四换底公式】1．计算（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】故选：A2．（1）计算：.（2）已知，，试用，表示.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）原式（2）∵，∴，又，∴.则.3．计算下列各式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）0【解析】（1）（2）（3）【题组五指数对数运算的综合】1．已知，，若，，则的最大值为______.【答案】4【解析】因为，若，所以，所以，所以；又，所以，所以，当且仅当时等号成立.所以，当且仅当时等号成立.故答案为：4.2．若，则（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由题意根据指数式与对数式的转化可得由换底公式可得由对数运算化简可得故选:A3．设，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故选：B.4．设，则（）A．1 B．4 C．6 D．2【答案】D【解析】因为，所以，，所以.故选：D.5．已知，则______．【答案】【解析】由可得所以，，所以，故答案为：.4.4对数函数【题组一对数函数的概念辨析】1．下列函数是对数函数的是（）A． B． C． D．2．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为()A．－2 B．2 C． D．－3．如果函数（且）的图象经过点，那么的值为（）A． B． C．2 D．44．下列函数是对数函数的是()A．y＝log3(x＋1) B．y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)C．y＝logax2(a>0，且a≠1) D．y＝lnx5．已知对数函数，则______。【题组二单调性（区间）】1．函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．2．函数的单调递增区间是()A． B． C． D．3．已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为A．（–∞，–1） B．（–3，–1）C．[–1，+∞） D．[–1，1）4．函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．或B．C．D．5．已知是上的减函数，那么的取值范围是______.【题组三定义域和值域】1．函数的定义域是（）A． B． C． D．2．函数的定义域为()A． B． C． D．3．若定义在上的函数的值域为，则的最小值为（）A． B． C． D．4．函数的定义域为__________．5.（1）函数的值域为________.（2）若函数.则函数的值域是.6.函数的值域为，则实数的取值范围为（） B． C． D．（2）已知函数f(x)=(a-1)x+4-2a, x<1A.(1,2]B.(－∞，2]C.(0,2]D.[2，＋∞)【题组四比较大小】1．已知，，，则有（）A． B． C． D．2．设，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b3．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．4．若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b5．已知，，，则（）A． B． C． D．6．设则A． B．C． D．7．设，，，则（）A． B． C． D．【题组五解不等式】1．设函数，则使得(1)成立的的取值范围是()A． B．，，C． D．，，2．已知函数为上的偶函数，当时，，则关于的不等式的解集为（）．A． B． C． D．【题组六定点】1．若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是______．2．已知函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________.3．函数且的图象所过定点的坐标是________.4．函数y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A，则点A的坐标为______．【题组七图像】1．函数与在同一平面直角坐标系下的图像大致是（）A． B．C． D．2．且）是增函数，那么函数的图象大致是（）A． B． C． D．3．若函数的图象如图，则函数的图象为（）A． B． C． D．4．函数的大致图象可能是（）A． B．C． D．5．图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【题组八对数函数综合运用】1．已知，函数．（1）当时，解不等式；（2）若对于任意在区间上的最大值与最小值的和不大于1，求m的取值范围．2．已知．（1）求的定义域；（2）证明：在上为单调递增函数；（3）求在区间上的值域．3．已知函数（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数的值域为，求的取值范围.4．已知函数.(1)当时,求；(2)求解关于的不等式；(3)若恒成立,求实数的取值范围.5．设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）＝2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0,]上的最大值和最小值．4.4对数函数答案解析【题组一对数函数的概念辨析】1．下列函数是对数函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.故选D2．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为()A．－2 B．2 C． D．－【答案】B【解析】函数的图象过点，则故选3．如果函数（且）的图象经过点，那么的值为（）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】因为图象经过点，所以，所以且且，解得：，故选：C.4．下列函数是对数函数的是()A．y＝log3(x＋1) B．y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)C．y＝logax2(a>0，且a≠1) D．y＝lnx【答案】D【解析】形如的函数为对数函数，只有D满足.故选D.5．已知对数函数，则______。【答案】2【解析】由对数函数的定义，可得，解得。故答案为：．【题组二单调性（区间）】1．函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，可得函数在单调递减，在单调递增，又由函数，满足，解得或，根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.故选：C.2．函数的单调递增区间是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，故选：A3．已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为A．（–∞，–1） B．（–3，–1）C．[–1，+∞） D．[–1，1）【答案】B【解析】由，得,当时，函数单调递增，函数单调递增；当时，函数单调递减，函数单调递减,选B.4．函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．或 B．C． D．【答案】B【解析】，因为在上单调递增，当时，外函数为减函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数不满足题意，当时，外函数为增函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数且，所以满足题意，故选择B．5．已知是上的减函数，那么的取值范围是_______.【答案】【解析】因为是上的减函数，所以，解得，故答案为：【题组三定义域和值域】1．函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由对数函数的定义域只需，解得，所以函数的定义域为.故选：C2．函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】D【解析】函数有意义等价于，所以定义域为，故选D.3．若定义在上的函数的值域为，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C，∴在是单调递减，在上单调递增，，又，由题意，，且和中至少有一个取到．即，，此时，若，则，，∴的最小值是．故选：C．4．函数的定义域为__________．【答案】【解析】由题意得，得，解得，所以函数的定义域为，故答案为：5.（1）函数的值域为________.（2）若函数.则函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】（1）（2）A【解析】（1）且值域为：本题正确结果：（2）因为时，；时，所以函数的值域是，故选A.6.函数的值域为，则实数的取值范围为（） B． C． D．（2）已知函数f(x)=(a-1)x+4-2a, x<1A.(1,2] B.(－∞，2]C.(0,2] D.[2，＋∞)【答案】（1)D(2)A【解析】(1)若函数的值域为R，故函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．当a＝0时符合条件；当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故0<a≤1，综上知实数a的取值范围是．故选D.(2)当x≥1时，fx当x＜1时，f(x)=(a-且值域区间的右端点的值大于或等于1，才能满足f(x)的值域为R，可得a-1>0a-【题组四比较大小】1．已知，，，则有（）A． B． C． D．【答案】B【解析】,,而在上单调递增，，，，故选：B2．设，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【答案】C【解析】∵9＞8，∴3＞，故，从而有，故选：C3．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由对数函数和指数函数的性质可知，故选：D．4．若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b【答案】B【解析】因为，，，所以c＞a＞b．故选：B．5．已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】,,,故选：D6．设则A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，那么，所以.7．设，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，又，∴，因为，所以.故选：B.【题组五解不等式】1．设函数，则使得(1)成立的的取值范围是()A． B．，，C． D．，，【答案】B【解析】根据题意，函数，其定义域为，有，即函数为偶函数，当时，，函数和函数都是，上为增函数，则在，上为增函数，(1)(1)，解可得或，即的取值范围为，，；故选：.2．已知函数为上的偶函数，当时，，则关于的不等式的解集为（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由于函数在上为增函数，所以，函数在区间上为增函数，由于函数为上的偶函数，由可得，，可得，解得.因此，关于的不等式的解集为.故选：C.【题组六定点】1．若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是________．【答案】(1，3)【解析】令，则，所以函数过定点.故答案为：.2．已知函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是_________.【答案】（2,4）【解析】令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函数得，所以定点P的坐标为（2,4）.故答案为：（2,4）3．函数且的图象所过定点的坐标是________.【答案】【解析】由可令，解得，所以图象所过定点的坐标是4．函数y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A，则点A的坐标为______．【答案】（-1，1）【解析】由对数函数的性质，令x+2=1可知y=1所以y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A（－1，1），故答案为：（－1，1）.【题组七图像】1．函数与在同一平面直角坐标系下的图像大致是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，由指数函数的图象知，将函数的图象向左平移一个单位，即可得到的图象，从而排除选项A,C；将函数的图象向上平移一个单位，即可得到的图象，从而排除选项B，故选D．2．且）是增函数，那么函数的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵可变形为，若它是增函数，则，，∴为过点（1，0）的减函数，∴为过点（1，0）的增函数，∵图象为图象向左平移1个单位长度，∴图象为过（0，0）点的增函数，故选D．3．若函数的图象如图，则函数的图象为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数单调递减可得，当时，，解得.可知函数，定义域为，值域为，因为，.故选：C.4．函数的大致图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】取，得到，即函数过点，排除A；因为为单调增函数，故在，单调递减，排除BC.故选：D5．图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数的图象，由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，由取，，，四个值，故，，，的值依次为，，，，故选：．【题组八对数函数综合运用】1．已知，函数．（1）当时，解不等式；（2）若对于任意在区间上的最大值与最小值的和不大于1，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，则解得不等式的解集为；（2）由题易知：为增函数，则在区间上的最大值与最小值分别为．对于任意在区间上的最大值与最小值的和不大于1，等价于对于任意恒成立，即对于任意恒成立．设，因为，所以在上单调递增，所以，令，解得．综上，m的取值范围为．2．已知．（1）求的定义域；（2）证明：在上为单调递增函数；（3）求在区间上的值域．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1），，，的定义域为，（2）在上为增函数，在上也为增函数，根据复合函数的单调性，在上为单调递增函数；（3）由（2）可知在区间上单调递增，，，，在区间上的值域为．3．已知函数（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数的值域为，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1）函数的定义域为，对任意的都成立则，解得（2）若函数的值域为，则函数的值域包含则，解得或4．已知函数.(1)当时,求；(2)求解关于的不等式；(3)若恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）当时，（2）由得：或当时，解不等式可得：或当时，解不等式可得：或综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为（3）由得：或①当时，，或，解得：②当时，，或，解得：综上所述：的取值范围为5．设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）＝2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0,]上的最大值和最小值．【答案】（1）a＝2，定义域为（﹣1,3）；（2）最大值为f（1）＝2，最小值为f（0）＝log23．【解析】（1）由题意知，，解得﹣1＜x＜3；故f（x）的定义域为（﹣1,3）；再由f（1）＝2得，loga（1+1）+loga（3﹣1）＝2；故a＝2.综上所述：函数定义域为，.（2）f（x）＝log2（1+x）（3﹣x），∵x[0,]，∴（1+x）（3﹣x）[3,4]，故f（x）在区间[0,]上的最大值为f（1）＝2；f（x）在区间[0,]上的最小值为f（0）＝log23．4.5函数的应用（二）【题组一零点的求解】1.若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是A．和B．和C．和D．和2．已知函数，那么方程f（x）＝0的解是（）A． B．x＝1 C．x＝e D．x＝1或x＝e3.若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是A．和B．和C．和D．和【题组二零点区间的判断】1．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．2．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A． B．C． D．3.在下列个区间中，存在着函数的零点的区间是（）A． B． C． D．4．函数f(x)＝ln(2x)－1的零点位于区间()A．(2,3) B．(3,4)C．(0,1) D．(1,2)【题组三零点个数的判断】1．函数在区间（0,1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．32．函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．03．函数零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．在下列区间中，函数f（x）＝ex+3x﹣4的零点所在的区间为（）A.（0，14） B.（14，12） C.（【题组四根据零点求参数】1．已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．若函数f(x)=x－(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是()A．－2 B．0 C．1 D．34．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围是________.6．函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是______．7．若函数,在上单调且有一个零点，k的取值范围__________【题组五二分法】1．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.52．如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]3．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0．1）为（）A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．54.下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是（）A． B．C． D．5．用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（）A． B． C． D．6．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在的区间和等二次应计算的函数值分别为（）A．， B．，C．， D．，7．若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）f（1）=-2f（1.5）=0.625f（1.25）=-0.984f（1.375）=-0.260f（1.438）=0.165f（1.4065）=-0.052A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.58．某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为A．f（0.5） B．f（1.125）C．f（1.25） D．f（1.75）【题组六函数模型】1．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：，）2．为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长．(1)写出第年(2018年为第一年)该企业投入的资金数(万元)与的函数关系式，并指出函数的定义域(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？(参考数据，)3．某种树木栽种时高度为A米为常数，记栽种x年后的高度为，经研究发现，近似地满足，其中，a，b为常数，，已知，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍参考数据：，．4．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，1你认为谁选择的模型较好？需说明理由2至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题．4.5函数的应用（二）答案解析【题组一零点的求解】1.若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是A．和B．和C．和D．和【答案】B【解析】函数的两个零点是2和3,由函数的零点与方程根的关系知方程的两根为2和3.结合根与系数的关系得,即,∴,∴g(x)的零点为和,故选B.2．已知函数，那么方程f（x）＝0的解是（）A． B．x＝1 C．x＝e D．x＝1或x＝e【答案】C【解析】依题意，所以.故选：C3.若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是A．和B．和C．和D．和【答案】B【解析】函数的两个零点是2和3,由函数的零点与方程根的关系知方程的两根为2和3.结合根与系数的关系得,即,∴,∴g(x)的零点为和,故选B.【题组二零点区间的判断】1．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数在上连续单调递增，且,所以函数的零点在区间内，故选C.2．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为根据题意可知,当x=1时，则,而当x=2时，则，故选B.3.在下列个区间中，存在着函数的零点的区间是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由.由零点存在定理知函数在上必有零点。故选C.4．函数f(x)＝ln(2x)－1的零点位于区间()A．(2,3)B．(3,4)C．(0,1)D．(1,2)【答案】D【解析】由题意，函数，可得函数为单调递增函数，且是连续函数又由f(1)＝ln2－1＜0，f(2)＝ln4－1＞0，根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上．故选D.【题组三零点个数的判断】1．函数在区间（0,1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个．2．函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由，由，所以函数的零点个数为2，故选B.3．函数零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】函数，由，可得，作出和的图象，可得它们有1个交点，则的零点个数为1，故选B.4．在下列区间中，函数f（x）＝ex+3x﹣4的零点所在的区间为（）A.（0，14） B.（14，12） C.（【答案】C【解析】f′（x）＝ex+3＞0，f（x）为R上的增函数，f（12）=因为e＜254，所以e12＜52，所以f（12）＜0，但f（1）＝所以f（x）的零点在区间（12，1），故选：C【题组四根据零点求参数】1．已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数在区间内有唯一零点，故在区间上只有一个根.又在上单调递减，其值域为.故要满足题意，只需.故选：D.2．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由条件可知，即a(a－3)<0，解得0<a<3.故选C．3．若函数f(x)=x－(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是()A．－2 B．0 C．1 D．3【答案】D【解析】因为，又当时，，故此时函数在区间有零点，故选：D.4．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由基本初等函数的性质，可得函数单调递增,函数的一个零点在区间内由题意可得，解得.故选D.5．已知函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】根据题意，分2种情况讨论：①时，函数的草图如图：若且与的图象有两个交点，必有，即，又由，故；②时，函数的草图如图：，若且与的图象有两个交点，必有，分析可得，综合可得：的取值范围为．故答案为：6．函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】因为函数是单调递增函数，且函数的一个零点在区间内，所以，，解得,实数的取值范围是,故答案为.7．若函数,在上单调且有一个零点，k的取值范围_____________【答案】【解